Ieva Girčytė, VU Matematikos ir informatikos fakulteto Rinkodaros ir komunikacijos skyriaus vadovė
Ar matematika gali būti tokia pat kūrybinga kaip muzika? O gal muzika – tai tik skaičių žaidimas, paverstas garsu? Iš pirmo žvilgsnio šios dvi sritys atrodo visiškai skirtingos – viena griežta, loginė, kita – emocinga ir jausminga. Tačiau vos pažvelgus giliau tampa aišku, kad matematika ir muzika yra neatskiriamai susijusios. Skaičiai, proporcijos ir ritmai slypi kiekviename kūrinyje, net jei patys muzikantai to neretai sąmoningai nepastebi.
Asociatyvi nuotr. Unsplash.com
VU Matematikos ir informatikos fakulteto mokslininkai pabrėžia, kad net ir muzikoje matematika reikalinga: padeda kompozitoriams ne tik struktūruoti kūrinius, bet ir kurti harmoniją, ritmą, o šiandien – net generuoti muziką algoritmais. Kitaip tariant, matematika yra nematomas muzikinės kūrybos pagrindas.
Kur pirmiausiai pajuntama matematika muzikoje? Žinoma, intervaluose virstančiuose harmonija.
Kiekvienas garsas muzikoje turi savo dažnį, kurį galima išreikšti skaičiais. Pavyzdžiui, garsas A dažniausiai vibruoja 440 Hz dažniu. Jei šį dažnį padvigubinsime, gausime garsą A’ (880 Hz), esantį oktava aukščiau. Santykis 2:1 – tai matematinė taisyklė, kurią mūsų ausys suvokia kaip darnų ryšį.
Panašiai ir kiti intervalai – kvinta, tercija ar kvartas – paremti paprastais skaičių santykiais. Būtent jie lemia, ar akordas mums skamba „švelniai“ ar disonuojančiai. Nuo senovės graikų Pitagoro laikų iki šiuolaikinės muzikos matematiniai dažnių santykiai išlieka harmonijos pamatu.
Muzikoje naudojamos skalės taip pat yra matematiškai apibrėžtos. Pavyzdžiui, diatoninė C-Dur skalė susideda iš septynių natų, tarp kurių tonai ir pustoniai sudaro griežtą seką. Šią struktūrą galima užrašyti skaičiais, o tai leidžia analizuoti ir kurti naujas skambesio sistemas.
Chromatinė skalė, turinti dvylika pustonių, yra dar vienas matematinis modelis, tapęs šiuolaikinės muzikos pagrindu. Įdomu tai, kad tokia tvarka leidžia sukurti neįtikėtiną įvairovę melodijų, nors matematiškai ji paremta vos keliais paprastais santykiais.
Jei harmonija yra muzikos vertikalė, tai ritmas – jos horizontali linija. Ritmas remiasi laiko padalijimu į lygias ar nelygias dalis. Dvejetainiai (2/4, 4/4) ir trimetriniai (3/4, 6/8) skaičiavimai sukuria pagrindinius ritmus, kuriuos girdime daugelyje klasikinių kūrinių.
Tiesa, tarkime indų klasikinė muzika ar džiazo bei roko kūrėjai eina toliau ir derina kelias ritmines struktūras. Tokie eksperimentai, vadinamoji poliritmika, atsiranda tada, kai viena tema atliekama trijų dalių ritmu, o kita – keturių dalių. Taip matematinis derinimas kuria patrauklų muzikinį pulsavimą.
Asociatyvi nuotr. Unsplash.com
Muzika – tai ne tik meno, bet ir fizikos reiškinys. Garsai sklinda kaip bangos, o jų sąveiką galima aprašyti matematiškai. Skirtingų dažnių santykiai lemia harmoniją, rezonansą ar disonansą. Todėl matematiniai skaičiavimai padėjo sukurti muzikos instrumentus: nuo styginių, kurių ilgis ir stygos įtempimas lemia toną, iki vargonų, kuriuose vamzdžių ilgis tiksliai apskaičiuotas, kad išgautų norimą garsą.
Matematinius pagrindus turi ne tik pavieniai garsai, bet ir ištisos muzikinės formos.
Daugelis kompozitorių savo kūrinių struktūroje naudojo Fibonacci seką arba auksinę proporciją (1:1,618). Ji pasireiškia fragmentų ilgiais, kulminacijų vietomis ar dinamika. Kadangi tokia matematine logika paremtuose kūriniuose mūsų ausis jaučia proporcijas, muzikos kūrinys mums skamba „natūraliai“.
Klasikinėje muzikoje dažnai naudojamos griežtos struktūros. Pavyzdžiui, sonatos struktūra – ekspozicija, plėtotė, repriza – primena matematinį modelį, kuriame temos dėstomos, plėtojamos ir vėl grąžinamos apibendrinti. Matematika čia pasirodo kaip kūrinio architektas, padedantis kompozitoriui kurti balansą tarp tvarkos ir kūrybiškumo.
Muzikos istorijoje gausu pavyzdžių, kai garsiausi kompozitoriai pasitelkdavo matematinius principus.
Fugos, kurias taip mėgo kurti Johannas Sebastianas Bachas, yra matematiškai tiksli struktūra, paremta pasikartojimu, simetrija ir proporcijomis.
Wolfgangas Amadeus Mozartas garsėjo ne tik savo nepaprastu talentu, bet ir potraukiu tvarkai. Muzikologai pastebi, kad daugelyje jo kūrinių slypi matematinė logika. Vienas įdomiausių faktų – Mozartas buvo sukūręs net „muzikinį lošimo kauliukų žaidimą“, kuriame pagal kauliukų metimo rezultatą buvo galima sugeneruoti menuetą. Tai ankstyva algoritminės muzikos forma, parodanti, kaip jis jungė žaidimą, matematiką ir kūrybą. Be to, jo simfonijose ir sonatose dažnai galima aptikti simetrišką struktūrą, griežtą temų išdėstymą, primenantį matematinį planą.
Prabėgus šimtmečiui garsus prancūzų impresionistas Claudeas Debussy, įkvėpimo ieškojęs gamtoje ir filosofijoje, nepamiršo ir matematikos. Tyrinėtojai atkreipė dėmesį, kad kai kuriuose jo kūriniuose, pavyzdžiui, garsiuosiuose „La Mer“ (liet. „Jūra“) ar „Reflets dans l’eau“ (liet. „Atspindžiai vandenyje“), galima rasti Fibonacci sekos ir auksinės proporcijos pėdsakų. Tam tikros kulminacijos ar perėjimai pasirodo būtent ten, kur atitinka šiuos matematinius santykius. Gal todėl C. Debussy muziką dažnai lygina su fraktalais: motyvai kartojasi, plečiasi, bet visada išlaiko vidinę tvarką.
Asociatyvi nuotr. Unsplash.com
Šie pavyzdžiai rodo, kad net tokie skirtingi kūrėjai kaip klasikinės simfonijos meistras W. A. Mozartas ir impresionizmo poetas C. Debussy sąmoningai ar intuityviai naudojosi matematiniais principais. Skaičiai jiems buvo ne kliūtis, o galimybė atrasti naujas muzikos formas.
Beje, ir šiuolaikinėje popmuzikoje galima atpažinti tam tikrus matematinius dėsnius – nuo akordų progresijų iki ritmo modelių. Matematinė logika čia virsta garsine patirtimi, kuri sukelia emocijas.
Pastarosiomis dienomis matematika muzikoje įgauna dar vieną dimensiją – technologinę. Algoritminis komponavimas leidžia kurti muziką remiantis formulėmis ir programomis. Kompozitoriai gali generuoti melodijas ar harmonijas pagal matematinį modelį, o kartais net leisti kompiuteriui sukurti visą kūrinį.
Kai kurie šiuolaikiniai menininkai pasitelkia fraktalų principus muzikai generuoti. Kaip fraktalas kartojasi vis kitame mastelyje, taip ir muzikiniai motyvai gali daugintis, keistis, bet išlaikyti struktūrą. Tokiu būdu gimsta ne tik eksperimentinė elektroninė muzika, bet ir visiškai naujos formos, kurios keičia mūsų supratimą apie kūrybą.
Muzika nėra tik emocija ar garsų žaismas – tai ir matematikos išraiška. Skaičiai slypi kiekviename akorde, ritme ar melodijoje. Jie sukuria struktūrą, harmoniją ir ritmą, be kurių muzika prarastų savo formą.
Galbūt todėl muzika tokia universali: nesvarbu, kurioje pasaulio dalyje esame, skaičių santykiai ir ritmai veikia visus vienodai. Matematika ir muzika – tai dviejų pasaulių sąjunga, kurioje logika susitinka su jausmu, o tikslumas virsta grožiu.