Matematikos mokymo(si) tikslų klausimas išlieka nuolat aktualus: ar didesnis dėmesys turėtų būti skiriamas teoremų įrodinėjimui, ugdančiam loginį mąstymą ir argumentavimo gebėjimus, ar uždavinių sprendimui, kai remiamasi iš anksto pateikta veiksmų seka ir standartizuotais algoritmais?
Asociatyvi nuotr. Unsplash.com
Ši įtampa tarp konceptualaus supratimo ir procedūrinės praktikos iškelia fundamentalią problemą – kokios kompetencijos matematikos pamokose yra laikomos prioritetinėmis ir kokį vaidmenį jos atlieka platesniame ugdymo kontekste.
Dažnai mokyklose matematika pateikiama kaip uždavinių sprendimo rinkinys: rasti skaičių, įrašyti atsakymą, gauti pažymį. Tačiau tikroji matematikos esmė slypi procese – kodėl taip yra, kokiu būdu prie to prieiname, kas iš to seka.
Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto profesorius Rimas Norvaiša teigia, kad teoremų įrodinėjimas leidžia mokiniams pažinti matematiką iš vidaus, suvokti ją kaip gyvą ir kūrybingą veiklą, o ne tik taisyklių ir formulių rinkinį.
„Kai vaikas pats sugeba įrodyti teoremą, jis patiria pažinimo džiaugsmą, kuris stiprina motyvaciją mokytis. Savarankiškai atradęs teisingą kelią, jis ne tik supranta rezultatą, bet ir išmoksta vertinti pačią kelionę. Tokie potyriai ugdo smalsumą, kūrybiškumą ir atkaklumą – savybes, kurios reikalingos bet kurioje srityje“, – pažymi profesorius.
Rimas Norvaiša. VU nuotr.
Dabar mokyklose nugali standartiniai uždaviniai, o būtent tai, kas matematikoje įdomiausia ir naudingiausia – klausimo įvertinimas ir atsakymo paieška – dingsta, kartu panaikindama ir pačios matematikos tikrąją vertę – mokymą mąstyti.
Teoremos kilmė ir filosofinė prasmė
Žodis „teorema“ kilęs iš senosios graikų kalbos ir pažodžiui reiškia „tai, kas matoma, apmąstoma“. Vis dėlto Senovės Graikijoje šis žodis turėjo ne tik matematinę, bet ir filosofinę bei sakralinę reikšmę. Žmogus, kuris stebėjo religines iškilmes – dieviškąjį reginį, buvo vadinamas „theōros“. Todėl kultūriniuose ir filosofiniuose tekstuose dažnai sakoma, kad teorema gali būti suprasta kaip „Dievo žvilgsnis“ arba „regėjimas Dievo akimis“, nes tai reiškia aukštesnį, gryną mąstymą, pakylėtą virš kasdienybės.
Kai graikai sakė „theorema“, jie turėjo omenyje ne „žmogišką išradimą“, o tiesą, kurią protas atranda ir „pamato“. Tokia tiesa jiems atrodė amžina, nepriklausoma nuo žmogaus – tarsi dieviškojo kosmoso dalis. Tad ir pats žodis išlaiko tą „šventą žvilgsnį“ – regėjimą į tvarką, kurią sukūrė dievai ar pati būtis.
Matematikams tai reiškė, kad teorema nėra atsitiktinė mintis, spėjimas, tiesiog faktas, o atrasta, amžina tiesa, slypinti pačioje tikrovėje. Tad kiekvienas teoremos įrodymas yra tarsi mėginimas pakilti virš kasdienybės ir priartėti prie aukštesnės, gilesnės prasmės.
Teoremų įrodymas – universalus mąstymo įrankis
Šiuolaikinės švietimo sistemos nuolat ieško būdų, kaip lavinti mokinių kritinį mąstymą, kūrybiškumą ir gebėjimą savarankiškai spręsti problemas. Technologijų ir informacijos pertekliaus bei greitai kintančio pasaulio akivaizdoje tampa vis aiškiau, kad vien tik faktų atkartojimas ar formulių taikymas nėra pakankamas. Reikalingi įgūdžiai, kurie leistų ne tik pasinaudoti turima informacija, bet ir ją analizuoti, vertinti, tikrinti bei kurti naujas žinias.
Ir būtent ugdant šiuos įgūdžius nepamainoma yra matematika – ypač teoremų įrodinėjimas.
Asociatyvi nuotr. Unsplash.com
VU Matematikos ir informatikos fakulteto profesorius teigia, kad teoremų įrodinėjimas dažnai laikomas abstrakčiu ir sudėtingu užsiėmimu, prieinamu tik gabiems arba specialiai matematikai besiruošiantiems mokiniams. Tačiau, žvelgiant plačiau, šis gebėjimas turėtų būti laikomas universaliu įrankiu, kurį privalėtų lavinti kiekvienas vaikas. Įrodinėjimo procesas nėra tik matematikos žaidimas – tai logikos, argumentavimo, sąžiningo mąstymo ir disciplinuotos analizės mokykla.
„Įrodymas yra logiškai nuoseklus procesas, kuris moko vaikus dėlioti mintis tvarkingai. Skirtingai nuo paprasto atsakymo pateikimo, įrodymas reikalauja parodyti, kodėl sprendimas yra teisingas, kokiais principais jis grindžiamas ir kaip vienas žingsnis seka iš kito“, – pabrėžia R. Norvaiša.
Tokia disciplina ugdo gebėjimą mąstyti struktūruotai ir moko argumentuoti, remiantis faktais, o ne emocijomis ar nuojauta. Mokiniai, kurie įpranta prie įrodinėjimo, natūraliai pradeda kelti klausimus: ar tai tikrai tiesa, kodėl tai veikia, kas nutiktų, jei pakeistume sąlygas. Tai yra kritinio mąstymo pagrindas, kuris neleidžia aklai priimti informacijos, bet skatina ją patikrinti, analizuoti ir vertinti. Tokie įgūdžiai yra būtini šiuolaikinėje visuomenėje, kur gausu klaidinančios ar netikros informacijos.
Gyvenimo įgūdžiai per įrodymus
Įrodinėjimas moko ne tik logiškai mąstyti, bet ir gebėti savo mintis aiškiai bei įtikinamai išreikšti. Tai tiesiogiai pritaikoma kasdienėse situacijose – diskutuojant, ginant savo nuomonę, derantis ar sprendžiant konfliktus. Įrodymas moko, kad argumentas turi būti nuoseklus ir patikimas, o ne paremtas vien autoritetu ar emocijomis. Be to, įrodinėjimo procesas dažnai kupinas bandymų ir klaidų, todėl mokiniai išmoksta, kad klaida nėra nesėkmė, bet būtina kelio dalis.
Tokia patirtis ugdo psichologinį atsparumą ir moko atkaklumo – savybių, kurios reikalingos tiek profesinėje veikloje, tiek privačiame gyvenime. Matematikos profesorius teigia, kad nors įrodymas turi būti griežtas ir logiškas, jis gali būti pasiektas įvairiais būdais: vieni mokiniai renkasi algebrinį kelią, kiti – geometrinį ar loginį. Ši įvairovė moko kūrybiškumo: nėra vieno teisingo metodo, yra daug kelių, vedančių į tiesą. Tokia patirtis padeda vaikams suprasti, kad problemos turi ne vieną sprendimą, o tai itin vertinga realiame gyvenime.
„Kai mokinys pateikia įrodymą, jis prisiima atsakomybę už savo mintis ir žingsnius. Negalima pasislėpti už abstraktaus „taip yra, nes taip sakė mokytojas“. Įrodinėjimas moko sąžiningumo mąstyme: jei negali pagrįsti, negali ir teigti“, – atkreipia dėmesį R. Norvaiša. Ši praktika įskiepija intelektinę etiką – negalima pasitenkinti paviršutinišku atsakymu, būtina gilintis, tikrinti, ieškoti pagrindo. Tai yra esminis įprotis, saugantis nuo manipuliacijos ir melagingų naujienų.
Mitai apie teoremų įrodinėjimą
Žinoma, egzistuoja mitai ir klaidingos prielaidos, dėl kurių teoremų įrodinėjimas mokyklose kartais nuvertinamas. Vienas dažniausių – kad įrodinėjimas reikalingas tik tiems, kurie planuoja studijuoti matematiką ar inžineriją. Tačiau įrodymo įgūdžiai yra universalūs: jų reikia teisėje, filosofijoje, politikoje, net mene, kur argumentavimas ir sąmoningas pasirinkimų pagrindimas yra esminiai.
Kitas mitas – kad tai per sunku paprastiems mokiniams. Iš tiesų mokymą galima pritaikyti pagal amžių ir gebėjimus. Net pradinukai gali pradėti nuo paprastų įrodymų – pavyzdžiui, kodėl trikampio kampų suma yra 180 laipsnių arba kodėl lyginis skaičius padalytas iš dviejų duoda sveiką rezultatą. Laipsniškas sudėtingumo didinimas padeda ugdyti įgūdžius visiems mokiniams, o ne tik gabiausiems.
Asociatyvi nuotr. Unsplash.com
Dažnai teigiama ir tai, kad programoje nėra laiko, nes mokymo turinys jau per daug apkrautas. Tačiau klausimas kitas, kas svarbiau – kiekybė ar kokybė? Geriau išmokti mažiau faktų, bet juos suvokti giliai ir gebėti pagrįsti, nei atmintinai iškalti formules, kurių prasmė taip ir lieka anapus mąstymo.
Investicija į šalies ateitį
Ilgalaikė įrodinėjimo praktikos vertė visuomenei akivaizdi. Visuomenė, kurioje žmonės mokomi įrodinėti, tikrai atsparesnė manipuliacijoms. Tokie piliečiai nesileidžia lengvai suklaidinami, jie reikalauja argumentų ir patikimumo, o tai yra stiprios demokratijos pagrindas. Be to, inovacijos gimsta ne iš aklo kartojimo, o iš gebėjimo klausti, analizuoti, kvestionuoti ir kurti nauja. Įrodinėjimas ugdo būtent tokias savybes, todėl jo mokymas mokykloje yra investicija į šalies ateitį.
Istoriniai pavyzdžiai tik dar labiau sustiprina šią mintį. Senovės Graikijoje matematikas Euklidas sukūrė savo garsiuosius „Pradmenis“ (lot. „Euclidis Elementorum“), kuriuose pateikė ne tik geometrijos žinias, bet ir nuoseklų įrodinėjimo metodą. Šis darbas daugiau nei du tūkstančius metų buvo naudojamas kaip logikos vadovėlis, formavęs ištisas kartas. Pitagoro teorema, turinti šimtus įrodymų, yra dar vienas pavyzdys, kaip įrodinėjimas įkvepia kūrybiškumą ir lavina loginę discipliną – netgi 20-tasis JAV prezidentas Jamesas Garfieldas buvo pasiūlęs savo originalų įrodymą. Viduramžių islamo pasaulyje Al-Chorezmis ir kiti mąstytojai plėtojo algebrą bei geometriją, pabrėždami įrodymų būtinybę. Būtent jų darbų dėka ši tradicija perėjo į Europą ir padėjo pamatą Renesansui bei mokslinei revoliucijai, kurios vaisiais ir dabar maitinamės.
Kiekviename civilizacijos raidos etape įrodinėjimas buvo raktas į pažangą. Jei graikų mokyklos naudojo Euklido „Pradmenis“ kaip logikos vadovėlį, jei islamo mokslininkai skatino argumentų tikrinimą, jei Newtonas savo teoremas grindė griežtais įrodymais, kodėl šiuolaikinė mokykla turėtų apsiriboti tik mechaniniu uždavinių sprendimu? Mokiniai, supažindinti su šia tradicija, suvokia, kad įrodinėjimas nėra abstrakti prievarta, bet gyva grandinė, siejanti mus su šimtmečiais kauptu intelektiniu paveldu.
Teoremų įrodinėjimas mokykloje yra ne tik matematikos užduotis, bet ir civilizacijos pamoka. Nuo Euklido ir Pitagoro iki Newtono ir moderniausių matematikos mokyklų, žmonės visais laikais siekė įrodyti, kad tiesa yra ne tai, ką pasako autoritetas, o tai, ką galima pagrįsti nuosekliais argumentais.
Įtraukdami teoremų įrodinėjimą į kiekvieno vaiko mokymosi kelią, mes ne tik ugdome loginį mąstymą, bet ir perduodame dalį šios didžiosios tradicijos. Tai yra būdas paruošti žmogų ne egzaminams (tai tik detalė), bet gyvenimui pasaulyje, kuriame reikia atsakingai vertinti informaciją, pagrįsti savo sprendimus ir nebijoti ieškoti tiesos.