Matematika yra mokslų motina, viena svarbiausių žmonijos civilizacijos kultūros dalių. Naujos matematinės idėjos padeda gilinti suvokimą apie pasaulį ir tobulėti įveikiant gamtos, buities ir visuomenės keliamus iššūkius. Be matematikos iki šiol gyventume olose kaip pirmykščiai žmonės. Šiame straipsnyje pateikiamos kelios matematinės idėjos, leidusios žmonijai žengti platų žingsnį pirmyn ir šių dienų matematikos pasaulyje užimančios itin reikšmingą vietą.
Duobutės smėlyje
Daugelis esame įpratę mūsų naudojamą dešimtainę skaitmenų sistemą vadinti arabiškais skaitmenimis. Patys arabai juos vadina indiškais skaitmenimis, nes jie kilo iš Indijos tarp I ir IV a. Bet kadangi indai perdavė šią skaičiavimo sistemą Arabijos tautoms, o jos perdavė europiečiams, šis netikslumas tęsiasi iki pat šių dienų.
Svarbus veiksnys indiškiems skaitmenims įsigalint pasaulyje buvo tas, kad tai draugiškesnė vartotojui sistema nei, tarkime, romėniškoji. Jei norėtume užrašyti du tūkstančius aštuonis šimtus aštuoniasdešimt aštuonis, indiškais skaitmenimis tai bus tik keturi simboliai (2888). Taikant romėniškus skaitmenis prireiks net 14 simbolių (MMDCCCLXXXVIII)! Sudėties, atimties, daugybos ir dalybos veiksmai indiškai atliekami taip pat kur kas lengviau. Kiekvienas antrokas jums stulpeliu prie 2888 pridės 2888. Romėniškai tai nėra taip elementaru, veiksmo atlikimas reikalauja daugiau laiko ir įgudimo.
Arabų šalys, garsėjančios savo pirkliais ir prekyba, sparčiai perėmė indiškus skaičius kaip ekonomiką skatinantį veiksnį. Europoje šiai skaitmenų sistemai įsigalėti prireikė gerokai daugiau laiko. Ji kilo iš Rytų religijų atstovų, o Katalikų bažnyčia, turėjusi ypač daug įtakos Europoje, įtariai žiūrėjo į viską, kas ateidavo iš „netikėlių“ kraštų. Tik pasibaigus viduramžiams, kai bažnyčia prarado didžiąją dalį savo galios, šie skaitmenys galutinai pakeitė romėniškuosius.
Indiškoji skaitmenų sistema yra pirmoji sistema pasaulyje su nulio simboliu, kuris žymi kiekio nebuvimą. Čaturbhudžos (Chaturbhuj) šventykloje Indijoje yra iškaltas seniausias mums žinomas nulio atvaizdas. Pats simbolis kildinamas iš ant smėlio akmenėliais atliekamų skaičiavimų. Skaičiuojant akmenėliai žymėdavo kokį nors kiekį, o juos nuėmus ant smėlio paviršiaus likdavo apskriti pėdsakai, kurie ir įkvėpę nulio vaizdavimą.
Begalinės problemos
Vienas įstabiausių žmogaus intelekto gebėjimų – kurti objektus, kurie peržengia Visatos, laiko ir erdvės ribas. Begalybė yra vienas iš tokių objektų. Su begalybės sąvoka mūsų protai susiduria labai ankstyvame amžiuje. Prisiminkime vaikiškus ginčus:
– Aš turiu šimtą draugų.
– Aš tūkstantį.
– O aš milijoną.
– O aš... milijonų milijoną.
– O aš!.. milijonų milijonų milijonų...
Tokios varžybos baigdavosi tik tada, kai viena iš pusių pavargdavo, bet abu ginčo dalyviai suvokdavo, kad nė vienas negali šio ginčo laimėti, juk skaičiai niekada nesibaigia.
Įtempti žmonijos santykiai su begalybe šiais vaikiškais žaidimais tik prasideda. Ilgą laiką didelę problemą Europos mąstytojams kėlė žmogaus proto atrandamų begalybių suderinamumas su visagalio Dievo vaizdiniu. Jie pastebėjo, kad nors ir kokį didelį skaičių sugalvosime, prie jo pridėję vienetą gausime dar didesnį skaičių. Vadinasi, skaičiai negali turėti ribų ir neįmanoma jų visų žinoti. Bet jeigu Dievas – visagalis, tai jis turi sugebėti suskaičiuoti visus skaičius, nes antraip jis bus ribotas ir egzistuos kažkas už, o gal net virš Dievo. Šią viduramžių teologijos dilemą puikiai apibendrina taip ir neatsakytas žymusis klausimas: „Kiek angelų Visagalis gali sutalpinti ant adatos smaigalio?“
Begalybių pasaulis šiuolaikinėje matematikoje yra kupinas keisčiausių paradoksų ir rebusų. Surikiuokime natūraliuosius skaičius, kuriais skaičiuojame daiktus (1, 2, 3, 4, 5...). Gausime dailią begalinę eilutę skaičių:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...
Padauginkime kiekvieną skaičių šioje eilutėje iš 2. Gausime naują begalinę eilutę lyginių skaičių:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24...
Pirmojoje ir antrojoje eilutėse skaičių yra po tiek pat, nes antroji eilutė yra ta pati pirmoji, tik padauginta iš 2. Turime dvi skaičių eilutes, kuriose yra vienodas begalinis skaičius elementų. Paradoksas – begalybėje natūraliųjų skaičių yra tokio pat dydžio lyginių skaičių begalybė. Kitaip pasakius – lyginių skaičių yra tiek pat, kiek ir visų natūraliųjų skaičių.
Visą MIF doktorantų Aido Medžiūno ir Vytenio Šumsko straipsnį „Spectrum“ žurnale galite perskaityti čia.
Naujas žurnalo „Spectrum“ numeris čia.