Algebros kurso klausimai. 2001 metų pavasario semestras.
(Teiginių, kuriuos reikia mokėti įrodyti, sąrašas)
Dalumo su liekana teorema žiede Z. [1 paskaita,.pdf]
Didžiausio bendro dalikio egzistavimas ir tiesinė jo išraiška. [1] Euklido algoritmas.[1]
Tarpusavyje pirminiai skaičia
i ir jų savybės. [1] Pirminiai skaičiai ir jų savybės.[1]Pagrindinė aritmetikos teorema apie kanoninį skaičiaus skaidinį. [1]
Pagrindinės lyginių savybės[2]. Likinių klasių žiedas. [2]
Primityviosios klasės.[2] Likinių klasių žiedo tapimo kūnu sąlygos.[2]
Eulerio ir mažoji Ferm
a teoremos. [2] Vilsono teorema.[2]Pirmojo laipsnio lyginių sprendimas. [2]
Polinomų žiedo apibrėžimas[3]
. Hornerio schema ir Bezu teorema[3].Teorema apie polinomo šaknų kiekį. [3]
Teorema apie formalų ir funkcionalų polinomų tapatumą.[3]
Dalumo su liekana teorema polinomų žiede virš kūno [4]
.Pagrindinės dalumo savybės polinomų žiede. [4] Didžiausio bendro daliklio egzistavimas ir vienatinumas. [4] Euklido algoritmas. [4]
Tarpusavyje pirminiai polinomai ir jų savybės. [4] Neredukuojami polinomai ir jų savybės. [4] Kanoninis polinomo [4]
Lyginia
i polinomo atžvilgiu polinomų žiede.[4] Savybės. [4] Likinių klasių žiedas.[4]Likinių klasių žiedo tapimo kūnu sąlygos( polinominis variantas).[4]
Teorema apie polinomo šaknų kartotinumą. [4]
Neredukuojami polinomai virš R ir virš C [5].
Kompleksiniai skaičiai kaip likinių klasių kūnas. [5] Geometrinė interpretacija, trigonometrinė forma.[5]
Muavro formulė, n-ojo laipsnio šaknys iš kompleksinio skaičiaus [5]
.Kvadratinės formos ir tiesinis kintamųjų keitinys. [9] Kanoninis kvadratinės formos pavidalas [9]
.Kvadratinių formų inercijos dėsnis. [9] Teigiamai apibrėžtų kvadratinių formų kriterijai. [9] Jakobio teorema. [9]
Vektorinės erdvės. [6]Vektorių sistemų savybės. [6]Vektorės erdvės bazė [6]
. Veiksmai su poerdviais.[8]Teorema apie poerdvių sumos ir sankirtos dimensijas [8]
.Keitimo vienos bazės kita baze matrica ir jos savybės. [7]
Tiesiniai atvaizdžiai. [11] Branduolys ir vaizdas. [11] Tiesinio atvaizdžio matrica ir jos kitimas keičiantis bazei. [11]
Vektorinės erdvės poerdvių tiesioginė suma. [8]
Operatoriaus matrica vektorinėje erdvėje su invariantiniu poerdviu arba vektorinėje erdvėje, kuri yra tiesioginė invariantinių poerdvių suma. [12] Charakteristinis tokio operatoriaus polinomas. [12]
Operatoriaus cikliniame poerdvyje matrica (Frobeniuso matrica) ir charakteristinis polinomas. [12] Minimalusis operatoriaus polinomas. [12]
Kanoninės operatoriaus matricų formos: Frobeniuso-Žordano ir Žordano formos. [13]
Tikrinės operatoriaus reikšmės ir vektoriai. [14]
Šakniniai vektoriai, šakniniai poerdviai. [14] Kompleksinės vektorinės ervės tiesioginis skaidinys šakninių poerdvių suma. [14]
Matricos konstravimas Žordano bazėje. [14]
Oper
atoriaus realioje vektorinėje erdvėje kanoninė bazė ir matrica.[15]Euklido erdvė. [10] Košy nelygybė [10]. Pavyzdžiai.[10]
Ortogonaliosios sistemos tiesinis nepriklausomumas. [10] Gramo-Šmidto ortogonalizacijos procesas [10]
. Ortonormuotos bazės egzistavimas. [10] Ortogonalusis papildinys ir jo savybės.[10]Gramo matricos geometrinė prasmė [10]
.