K ir K(r1,...,rm)
Šiame skyriuje mes įrodysime, kad polinomas virš nulinės charakteristikos kūno yra išsprendžiamas tada ir tik tada, kada jo Galua grupė yra išsprendžiama.
Apibrėžimas 9.1 Kūno plėtinys F / K vadinamas radikaliniu K plėtiniu, jeigu egzistuoja tokie elementai r1,...,rm , kad
1.F = K(r1,...,rm) ir
2. Egzistuoja tokie teigiami sveiki skaičiai n1,...,nm, kad K ir K(r1,...,rm)
Polinomas f(x)K[x] vadinamas išsprendžiamu radikalais, jeigu egzistuoja toks radikalinis plėtinys F / K; kad visos f(x) šaknys yra kūne F.
Taigi, polinomas f(x)K[x] yra išsprendžiamas radikalais, jeigu egzistuoja tokia kūnų grandinė K = K0
K1...Km = F, kad
(1) Ki = Ki-1(ri), čia Fi-1, ni N ir
(2) F yra polinomo f(x) skaidinio kūnas.
Norint sukonstruoti radikalinį plėtinį, reikia nagrinėti dvinario xn -aK[x], čia nN,aK; skaidinio kūną. Pradėsime atskiru atveju, dvinario xn -1 tyrimu. Šio dvinario šaknis vadina n -ojo laipsnio šaknimis iš 1. n-ojo laipsnio šaknis vadinama primityviąja n -ojo laipsnio šaknimi iš 1, jeigu jos eilė polinomo xn -1 skaidinio kūno multiplikacinėje grupėje yra lygi n.
Teiginys 9.2 Tegu K yra kūnas, kurio charakteristika yra lygi 0, o F yra polinomo xn -1 skaidinio kūnas. Tada
( 1) Kūne F egzistuoja primityvioji n -ojo laipsnio šaknis iš 1.
(2) Jeigu 
yra primityvioji n -ojo laipsnio šaknis iš 1, tai F = K().
(3) Gal(F/K) yra komutatyvi grupė.
(4) Jeigu 
, tai su visais aE polinomo xn -aE[x Galua grupė yra ciklinė ir jos eilė yra n daliklis.
Įrodymas. (1) Polinomas xn -1 yra separabilus, nes (xn -1)' = nxn-1 ir BBD(xn -1,nxn-1) = 1, ir todėl kūne F yra n skirtingų n -ojo laipsnio šaknų iš 1. Visos n -ojo laipsnio šaknys iš 1 sudaro Fx baigtinį pogrupį C ir šis pogrupis yra ciklinis. Kievienas generuojantis šią grupę elementas ir yra primityvioji n ojo laipsnio šaknis iš 1.
(2) Visos n -ojo laipsnio šaknys iš 1 yra laipsniai, todėl F = K(C) = K().
(3) Parodysime, kad funkcija 
, jeigu 
() = 
, yra injektyvus homomorfizmas, t.y. Gal(F/K) yra komutatyvios grupės pogrupis ir todėl irgi yra komutatyvi grupė. Jeigu yra primityvioji n ojo laipsnio šaknis iš 1; tai likusios primityviosios n -ojo laipsnio šaknys iš 1 yra , kai BBD(j,n) = 1. Elementas () su visais Aut(F)
Gal(F/K) yra primityvioji n -ojo laipsnio šaknis iš 1; tai jis yra lygus su tokiu j, kad BBD(j,n) = 1. Taigi, funkcija 
yra injekcija, nes F = K(): Ši funkcija yra homomorfizmas, nepriklausantis nuo primityvaus elemento pasirinkimo (patikrinti paliekame skaitytojui).
(4) Tegu r yra polinomo xn -a šaknis šio polinomo skaidinio kūne virš E. Tegu E yra primityvioji n -ojo laipsnio šaknis iš 1. Tada nesunku patikrinti, kad aibė 
yra visų skirtingų polinomo šaknų aibė. Gavome, kad polinomo xn -a skaidinio kūnas yra E(r) ir visi Gal(E(r)/E) yra visiškai apibrėžti savo reikšme (r). Tegu 1Gal(E(r)/E) apibrėžtas formule 1(r) = r. Tada Gal(E(r)/E) = <1> ir 1n = 1.
Įrodyta.
Teiginys 9.3 Tegu K yra nulinės charakteristikos kūnas ir E/K yra radikalinis plėtinys. Tada egzistuoja toks tarpinis kūnas 
; kad F/K yra normalusis radikalinis plėtinys.
Įrodymas. Tegu E/K yra radikalinis plėtinys r1,...,rmE ir n1,...,nmN yra tokie elementai, kad (1) E = K(r1,...,rm) ir (2) = K(r1,...,ri-1) su 
. Tegu fi yra elemento ri minimalusis polinomas virš K() ir f = f1...fm. Polinomas f yra separabilus ir pagal Teoremą 6.7 polinomo f skaidinio kūnas F yra normalusis plėtinys. Iš Fundamentaliosios Teoremos II dalies įrodymo žinome, kad kiekviena polinomo f šaknis yra reiškiama (ri), čia ir Gal(F/K). Iš čia su visais Gal(F/K) ir visais turime, kad (ri)K((r1),...,(ri-1)). Taigi, jeigu Gal(F/K) = {1,...,k}, tai 
yra normalusis radikalinis plėtinys.
Įrodyta.
Dabar mes jau pasiruošę pagrindinio skyriaus teiginio įrodymui.
Teorema 9.4 Tegu K yra nulinės charakteristikos kūnas. Teigiamo laipsnio polinomas fK(x) yra išsprendžiamas radikalais tada ir tik tada, kada yra išsprendžiama polinomo f Galua grupė.
Įrodymas. Mes įrodysime tik tokį teiginį: jeigu teigiamo laipsnio polinomas fK(x) yra išsprendžiamas radikalais, tai yra išsprendžiama ir polinomo f Galua grupė.
Tegu E/K yra radikalinis kūno plėtinys ir polinomo f skaidinio kūnas F yra tarpinis kūnas: . Iš Teiginio 9.3 galime tarti, kad E yra normalusis radikalinis plėtinys. Tegu r1,...,rmE ir n1,...,nm N yra tokie elementai, kad (1) E = K(r1,...,rm) ir (2) = K(r1,...,ri-1) su . Tegu n = MBK(n1,...,nm) ir yra primityvioji n - ojo laipsnio šaknis iš 1 virš K. Tada 
yra primityvioji ni - ojo laipsnio šaknis iš 1. Turime, kad plėtinys E()/K() yra normalusis radikalinis plėtinys ir E()/K yra Galua plėtinys (Teorema 6.7). Iš Fundamentaliosios teoremos II dalies, žinodami, kad F/K yra Galua plėtinys (Teorema 6.7), turime, kad Gal(F/K) yra grupės Gal(E()/K) faktorgrupė. Taigi, gavę tai, kad Gal(E()/K) yra išsprendžiama, pagal Teoremą 8.9 turėtume, kad ir grupė Gal(F/K) yra išsprendžiama ir tuo pačiu įrodytume mūsų teiginį.
Tegu su visais , Fi = K(r1,...,ri). Mes parodysime kaip sukonstruoti grupei G = Gal(E()/K) normaląją pogrupių grandinę. Kūnas F0 = K() yra seprabilaus polinomo xn -1K[x] skaidinio kūnas, todėl pagal Fundamentaliosios teoremos II dalį N0 = Gal(E()/K()) normalusis grupės G pogrupis ir G/N
Gal(K()/K) yra komutatyvi grupė pagal Teiginį 9.2 (3). Su visais kūne Fi-1 yra visos ni - ojo laipsnio šaknys iš 1 ir Fi yra polinomo 
skaidinio kūnas ir todėl plėtinys Fi/Fi-1 yra Galua plėtinys. Pagal Fundamentaliosios teoremos II dalį Ni = Gal(E()/Fi) yra normalusis grupės Ni = Gal(E()/Fi) pogrupis ir Ni-1/NiGal(Fi/Fi-1). Pagal Teoremą 9.2 (4) grupė Gal(Fi/Fi-1) yra ciklinė ir todėl komutatyvi. Visą konstrukciją pavaizduosime lentele:
Gavome, kad
yra normalioji grupės G pogrupių grandinė. Taigi, G = Gal(E()/K) ir tuo pačiu, grupė Gal(F/K) yra išsprendžiamos.
Įrodyta.