KŪNŲ TEORIJA

RIMANTAS GRIGUTIS

1.Kūnų plėtiniai
2.Galua grupės
3.Polinomų Galua grupės
4.Mažos eilės grupių klasifikacija

Pradėkime nuo grupių, kurių eilė neviršija 15, lentelės.

Eilė	Komutatyvi grupė	Nekomutatyvi grupė
2	Z₂	-
3	Z₃	-
4	Z₄ , Z₂ x Z₂	-
5	Z₅	-
6	Z₆	S₃
7	Z₇	-
8	Z₈ , Z₄ x Z₂ , Z₂ x Z₂ x Z₂	D₄ , Q
9	Z₉ , Z₃ x Z₃	-
10	Z₁₀	D₅
11	Z₁₁	-
12	Z₁₂ , Z₆ x Z₂	A₄ , D₆ , Z₃ Z₄
13	Z₁₃	-
14	Z₁₄	D₇
15	Z₁₅	-

Mums yra gerai pažįstamos Abelio grupės Z_n. Tai ciklinės adicinės grupės generuotos elementu 1 : Z_n = <1>. Kai n yra pirminis skaičius, tai egzistuoja tik viena n - osios eilės grupė - būtent Z_n.

Parodysime, kad grupės, kurių eilė yra lygi p², čia p - pirminis skaičius, yra Abelio grupės.

Grupės G elementas z vadinamas centriniu, jeigu zg = gz su visais g Î G. Visų grupės G centrinių elementų aibė Z ( G ) yra pogrupis, vadinamas grupės G centru. Viena iš svarbiausių centro savybių yra ta, kad grupės G, kurios eilė yra p^m, čia p - pirminis, centras Z ( G ) yra netrivialus, t.y. jame yra nevienetiniai elementai.

Teiginys 4.1 Tegu G - nekomutatyvioji grupė. Tada faktorgrupė G / Z ( G ) ne ciklinė.

Įrodymas. Sakykime priešingai, G / Z ( G ) = - ciklinė grupė. Tada bet kuris grupės elementas reiškiamas a^kz, čia z Î Z ( G ). Turime, kad visi tokie elementai yra perstatomi: (a^kz₁) (a^lz₂) = a^kz₁a^lz ₂ = a^ka^lz₂z₁ = a^la^kz₂z₁ = a^lz₂a^kz₁ = (a^lz₂) (a^kz₁). Bet tai prieštarauja prielaidai apie grupės G nekomutatyvumą.

Įrodyta.

Teiginys 4.2 Grupė G, turinti p² elementų, yra Abelio grupė.

Įrodymas. Minėjome, kad grupės G centras Z ( G ) yra netrivialus, todėl arba | Z ( G ) | = p, arba | Z ( G ) | = p². Pirmuoju atveju faktorgrupė G / Z ( G ) yra p elementų ir todėl ji yra ciklinė grupė, antruoju atveju faktorgrupė G / Z ( G ) yra vienas elementas, t.y. grupė irgi yra ciklinė. Įrodymui baigti pakanka pasinaudoti Teiginiu 4.1.

Įrodyta.

Teorema 4.3 Tegu p - pirminis skaičius.

(1) Egzistuoja tik dvi neizomorfinės grupės, turinčios p² elementų:

Z_p² ir Z_p x Z_p.

(2) Egzistuoja penkios grupės, turinčios p³ elementų: trys Abelio grupės

Z_p³, Z_p² x Z_p ir Z_p x Z_p x Z_p.

ir dvi nekomutatyvios grupės:

kaip p = 2, tai

diedro grupė D₄ = ( a, b| a⁴ = 1, b² = 1, bab = a^-1),

kvaternionų grupė Q = ( a, b| a⁴ = 1, b² = a, b^-1ab = a^-1);

kai p > 2, tai

G1 = ( a, b| a^p² = 1, b^p = 1, b^-1ab = a^1+p)

G2 = ( a, b, c| a^p = 1, b^p = 1, c^p = 1, [a, b] = c, [a, c] = [b, c] = 1).

Dabar apsistokime ties grupėmis, turinčiomis pq, čia p ir q - pirminiai, elemantais. Pasinaudosime klasikine L. Silovo teorema.

Teorema 4.4 ( Silov ) Tegu G - baigtinė grupė, kurios eilė |G| dalijasi iš pⁿ ir nesidalija iš pⁿ⁺¹, čia p - pirminis.

(1) Su kiekvienu r ≤ n egzistuoja grupės G pogrupis, kurio eilė yra p^r.

(2) Pogrupių, kurių eilė yra pⁿ ( šie pogrupiai vadinami Silovo p - pogrupiais ), skaičius lygsta 1(mod p) ir dalija |G|.

Nagrinėkime grupę G, kurios eilė |G| = pq, čia p ir q - pirminiai ir p < q. Silovo p - ir q - grupės G pogrupiai, t.y. pogrupiai, kurių eilės yra p ir q, yra cikliniai. Tegu (a) ir (b) yra šie Silovo pogrupiai: |(a)| = p ir |(b)| = q. Iš Silovo teoremos matome, kad Silovo q - pogrupių skaičius yra lygus 1 + kq ir yra pq daliklis. Taigi, Silovo q - pogrupis yra vienintelis - tai pogrupis (b). Tai normalusis pogrupis. Iš Silovo teoremos taip pat matome, kad Silovo p - pogrupių skaičius yra lygus 1 + kp ir yra q daliklis. Šiuo atveju galimi du variantai:

(i) Silovo p - pogrupis (a) yra vienintelis. Tada jis yra normalusis ir G = (ab), t.y. G ≈ Z_pq.

(ii) Yra q Silovo p - pogrupių. Tai teisinga tik tada, kada q ≡ 1 (mod p). Kadangi(b) normalusis pogrupis, tai a^-1ba Î (b), t.y. a^-1ba = b^r:

α) jeigu r = 1, tai G = (ab) ir G ≈ Z_pq.

β) jeigu r ≠ 1, tai r^p ≡ 1 (mod q), r **?** 1 (mod q) ir sandaugos formulė a^xb^y. a^zb^t = a^x+zb^{yr^z+t} apibrėžia nekomutatyvią pq eilės grupę G.

Gavome, kad yra galimi tik du pq eilės grupių tipai: tai komutatyvi grupė Z_pq ir nekomutatyvi grupė, kai q ≡ 1 (mod p).

Pavyzdys. Tegu p = 2, q = 3. Turime 3 ≡ 1 (mod 2). Gerai mums žinomos 6-os eilės grupės: komutatyvi Z₆ ir nekomutatyvi S₃, ir sudaro visą grupių, kurių eilė lygi 6, sąrašą.

Dabar aptarkime grupes, turinčias p²q elementų, čia p, q - pirminiai skaičiai. Predėsime apibrėžimu.

Apibrėžimas 4.5 Tegu G - grupė, o A ir B - tokie jos pogrupiai, kad:

(i) A ir B yra normalieji G pogrupiai;

(ii) A ∩ B = < e >;

(iii) A · B = G.

Tada grupę G vadina pogrupių A ir B vidine tiesiogine sandauga: G = A B.

Pavyzdys. Simetrinė grupė S₃ yra savo normaliųjų pogrupių B = {id, (12)} ir A = {id, (123), (132)} vidinė tiesioginė sandauga: G = A B.

Teorema 4.6 Tegu G - grup4, turinti p²q elementų, čia p ir q - pirminiai. Tada G yra savo Silovo pogrupių vidinė tiesioginė sandauga.

Teorema 4.7 12-osios eilės nekomutatyvioji grupė yra izomorfinė arba A₄ , arba D₆ , arba Z₃ Z₄ .

Įrodymas. Tegu G - grup4 ir |G| = 12. Silovo 2 - pogrupis yra izomorfinis arba Z₄ , arba Z₂ x Z₂, o Silovo 3 - pogrupis yra izomorfinis Z₃ . Išnegrinėkime visas galimas vidines tiesiogines šių pogrupių sandaugas.

(i) Z₄ Z₃ yra izomorfinė Z₄ x Z₃ ≈ Z₁₂ .

(ii) (Z₂ x Z₂) Z₃ yra izomorfinė A₄ .

(iii) Z₃ (Z₂ x Z₂) yra izomorfinė D₆ .

(iv) Z₃ Z₄ yra taip vadinama "T" izomorfinė grupė.

Įrodyta.

Kai kurių baigtinių grupių veiksmų lentelės

D₄:	·	a	b	c	d	e	f	g	h
	a	a	b	c	d	e	f	g	h
	b	b	c	d	a	h	e	f	g
	c	c	d	a	b	g	h	e	f
	d	d	a	b	c	f	g	h	e
	e	e	f	g	h	a	b	c	d
	f	f	g	h	e	d	a	b	c
	g	g	d	e	f	c	d	a	b
	h	h	e	f	g	b	c	d	a

Q:	·	a	b	c	d	e	f	g	h
	a	a	b	c	d	e	f	g	h
	b	b	c	d	a	h	e	f	g
	c	c	d	a	b	g	h	e	f
	d	d	a	b	c	f	g	h	e
	e	e	f	g	h	a	b	c	d
	f	f	g	h	e	d	a	b	c
	g	g	d	e	f	c	d	a	b
	h	h	e	f	g	b	c	d	a

D₅:	·	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j
	a	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j
	b	b	c	d	e	a	j	f	g	h	i
	c	c	d	e	a	b	i	j	f	g	h
	d	d	e	a	b	c	h	i	j	f	g
	e	e	a	b	c	d	g	h	i	j	k
	f	f	g	h	i	j	a	b	c	d	e
	g	g	h	i	j	f	e	a	b	c	d
	h	h	i	j	f	g	d	e	a	b	c
	i	i	j	f	g	h	c	d	e	a	b
	j	j	f	g	h	i	b	c	d	e	a

D₆:

Z₃

Z₄:

D₇:

Visų grupių, kurių eilė neviršija 15, veiksmo lenteles galima rasti čia