KŪNŲ TEORIJA

• 1. Kūnų plėtiniai
• 2. Galua grupės
• 3. Polinomų Galua grupės
• 4. Mažos eilės grupių klasifikacija
• 5. Fundamentalioji teorema

Norint skaičiuoti sudėtingesnes Galua grupes reikia įrodyti pagrindinę Galua teorijos teorema.

Teorema 5.1 (Fundamentalioji Galua teorijos teorema, I dalis) Tegu F/K yra baigtinio laipsnio Galua plėtinys. Egzistuoja abipus vienareikšmė atitiktis tarp tarpinių kūnų aibės ir grupės Gal(F/K) pogrupių aibės, reiškiamos priskirimu E ® E' < Gal(F/K) su visais tarpiniais kūnais E. Su visais tarpiniais kūnais E Í L teisinga [L : E] = [E' : L'].

Pastebėsime, kad pagal Teoremą 2.4, norint gauti norimą atitiktį, pakanka įrodyti, kad su kiekvienu tarpiniu kūnu E teisinga [E" : E] = 1 ir su kiekvienu pogrupiu H <Gal(F/K) teisinga [H" : H] = 1. Pradėsime nuo nelygybių tarp šių laipsnių.

Lema 5.2 Tegu F/K yra baigtinio laipsnio Galua plėtinys. Su visais pogrupiais H < J <Gal(F/K) teisinga nelygybė [H' : J'] <[J : H].

Įrodymas. Tegu n = [J : H] ir turime n + 1 elementą u₁,..., u_n+1 Î H'. Norime parodyti, kad šie elementai yra tiesiškai priklausomi virš J'. Neapribojant bendrumo, galima tarti, kad u_i ¹ 0 su visais i = l,...,n + 1, nes priešingu atveju sistema u₁,..., u_n+1 būtų tiesiškai priklausoma jau ir be įrodymo.

Tegu grupės J visi kairieji sluoksniai pogrupio H atžvilgiu yra: H, t₂ H,..., t_nH ir tegu t₁ = id_F. Nagrinėkime n lygčių su n +1 nežinomaisiais homogeninę tiesinių lygčių sistemą

t₁ (u₁) x₁ + × × × + t₁ (u_n+1) x_n+1 = 0

t₂ (u₁) x₁ + × × × + t₂ (u_n+1) x_n+1 = 0

× × ×(1)

t_n (u₁) x₁ + × × × + t_n (u_n+1) x_n+1 = 0

Ši sistema visada turi nenulinį sprendinį kūne H' . Pastebėsime, kad norint įrodyti lema, reikia parodyti, kad egzistuoja nenulinis sistemos sprendinys kūne J'. Tikrai, kiekvienas toks sprendinys x₁ = c₁,...,x_n+1 = c_n+1 tenktų. pirmąją sistemos lygtį: t₁ (u₁) c₁ + × × × + t₁ (u_n+1) c_n+1 = u₁ c₁ + × × × + u_n+1 c_n+1 = 0, o tai ir reikštų, kad sistema u₁, ... , u_n+1 yra tiesiškai priklausoma.

Tegu x₁= c₁,...,x_n+1 = c_n+1 yra mažiausiai turintis nenulinių c_j nenulinis sistemos (1) sprendinys. Neapribojant bendrumo, galima tarti, kad c₁,...,c_r yra nelygūs nuliui, o c_r+1 = × × × = c_n+1 = 0. Beto, tegu c₁ = 1.

Su kiekvienu s Î J turime, kad kairieji sluoksniai s t₁ H, s t₂ H,..., s t_nH sudaro visų kairiųjų sluoksnių sistemą, nes jeigu s t_i H = s t_j H, tai s t_i = s t_j Þ t_i = t_jh ir todėl būtų t_i H = t_j H. Bet tai yra teisinga tik tada, kai i = j. Taigi, { H, t₂H,..., t_nH } = {s t₁ H, s t₂ H,..., s t_nH } su kiekvienu s Î J. Todėl su kiekvienu 1 £ i £ n egzistuoja toks 1 £ k_i £ n, kad s t_i H = t_ki H, t.y. s t_i Î t_ki H. Gavome, kad su kiekvienu 1 £ j £ n + 1 ir u_j Î H' turime s t_i (u_j) = t_ki h(u_j) = t_ki (u_j), čia h Î H.

Su kiekvienu 1 £ i £ n iš sistemos (1) turime, kad

0 = s (t_i (u₁) c₁ + × × × + t _i (u_n+1) c_n+1) = s t _i (u₁) s ( c₁) + × × × + s t _i (u_n+1) s ( c_n+1). Gavome, kad elementai x₁ = s (c₁) = s (1) = 1, x₂ = s (c₂),..., x_n+1 = s (c_n+1)

yra sistemos

t _k1 (u₁) x₁ + × × × + t _k1 (u_n+1) x_n+1 = 0

t _k2 (u₁) x₁ + × × × + t _k2 (u_n+1) x_n+1 = 0

× × ×(2)

t _kn (u₁) x₁ + × × × + t _kn (u_n+1) x_n+1 = 0

sprendinys.

Kadangi {t _k1,…,t _kn} yra pilnoji kairiųjų sluoksnių H atžvilgiu sistema, t.y. {t _kiH,..., t _knH} = { t ₁H, t ₂H,..., t _nH }, tai {t _k1,…,t _kn} = {t ₁, t ₂,..., t _n }. Tai reiškia, kad sistemos (1) ir (2) sutampa ir x₁ = s (c₁) = s (1) = 1, = s (c₂),..., x_n+1 = s (c_n+1) yra (1) sistemos sprendinys.

Homogeninės sistemos (1) sprendiniu bus taip pat ir x₁ = c₁– s (c₁) = 0, x₂ = c₂– s (c₂),…, x_r = c_r – s (c_r), x_r+1 = c_r+1 – c_r(c_r+1) = 0, ..., x_r = c_r – s (c_r) = 0. Šiame sprendinyje yra mažiau negu r nenulinių skaičių, todėl jis turėtų būti nuliniu sprendiniu: x₁ = × × × = x_n = 0, t.y. su visais 1 £ i £ n + 1 teisinga s (c_i) = c_i. Kitais žodžiais sakant, c₁, ...,c_n+1 Î J' ir todėl sistema {u₁, ...,u_n+1} yra tiesiškai priklausoma virš J'.

Įrodyta.

Teoremos 5.1 įrodymas. Norint gauti abipus vienareikšmę atitiktį tarp tarpinių kūnų ir grupės Gal(F/K) pogrupių pagal Teorema 2.4 pakanka parodyti, kad visi tarpiniai kūnai ir visi pogrupiai yra uždari.

Tegu E yra tarpinis kūnas. Pagal Teiginį (6) turime, kad E Í E". Bet plėtinys F/K yra Galua plėtinys, K = K"', todėl pagal Lemas 3.4 ir 5.2 turime, kad [E" : K] ³ [E : K] ³ [K' : E'] ³ [E" : K"] = [E" :K].Iš čia pagal Teorema 1.8 turime [E" : E] = [E" : K]/[E : K] = 1 ir todėl E" = E, t.y. E yra uždaras.

Tegu dabar H < Gal(F/K). Iš Teiginių (1), (3) ir (6) turime, kad á id_Fñ yra uždaras ir H < H". Pagal Lemas 3.4 ir 5.2 turime, kad [H" : á id_Fñ ] ³ [H : á id_Fñ ] ³ [á id_Fñ ' : H'] ³ [H" : á id_Fñ "] = [H" : á id_Fñ ]. Iš čia pagal Lagranžo teorema turime [H" : H] = [H" : á id_Fñ ] / [H : á id_Fñ ] = 1 ir todėl H" = H, t.y. H ,yra uždaras.

Pagaliau, su bet kuriais tarpiniais kūnais L Í E turime, kad [E : L] ³ [L': E'] ³ [E" : L"] = [E : L] ir todėl [E : L] = [L' : E'].

Įrodyta.

Iš teoremos mes matome, kad, norint tirti Galua plėtinio Galua grupę, reikia mokėti kiekvienam tarpiniam kūnui priskirti plėtinio Galua grupės pogrupį. Šis priskirimas palengvina taip pat ir polinomo Galua grupės radimą.

Pavyzdys. Rasime kūno F = Q(i,) Galua grupę virš Q ir visus plėtinio F/Q tarpinius kūnus. Aišku, kad x² + 1 yra minimalusis i polinomas, o x² – 2 yra minimalusis polinomas. Iš čia turime, kad kūnas F yra polinomo f(x) = (x² + 1) (x² – 2) = x⁴ — x² — 2 skaidymo kūnas ir todėl Gal(F/Q) yra polinomo f(x) Galua grupė.

Kiekvienas grupės Gal(F/Q) elementas Q yra kūno F automorfizmas virš Q ir todėl yra polinomo f(x) šaknų , –, i ir –i keitinys. Galimi 4 variantai: Q () = ± ; Q (i) = ±i.

1.Q ₁ () = ; Q ₁ (i) = i.

2.Q ₂ () = ; Q ₂ (i) = –i.

3.Q ₃ () = – ; Q ₃ (i) = i.

4.Q ₄ () = – ; Q ₄ (i) = –i. Pastebėsime, kad Q ₄ = Q _{3Q 2}.

Taigi, grupės Gal(F/Q) veiksmų lentelė yra

Matome, kad ši lentelė sutampa su grupės Z₂ ´ Z₂ veiksmų lentele:

Taigi Gal(F/Q) » Z₂ x Z₂. Grupėje Gal(F/Q) yra trys netrivialūs pogrupiai: A = {Q ₁, Q ₂} = á Q _2ñ , B = {Q ₁, Q ₃}= á Q _3ñ ir C = {Q ₁, Q ₄} = á Q _4ñ ir todėl A' = Q () , B' = Q (i) ir C' = Q ( × i). Pagal Fundamentaliosios teoremos I dalį tai ir yra visi plėtinio Q (i, )/Q tarpiniai kūnai. Visi šie tarpiniai kūnai yra Galua kūnai virš Q: A" = (Q ())' = Gal(Q () /Q) = A, B" = (Q (i))' = Gal(Q (i) /Q) = B ir C" = Q ( × i))' = Gal(Q (× i) /Q) = C. Pastebėsime, kad visos grupės A, B, C yra izomorfinės vienintėlei grupei iš 2 elementų Z₂.

Kita išvada yra ta, kad su kiekvienu Galua plėtiniu F/K ir kiekvienu tarpiniu kūnu E teisinga E =Gal(F/E)'. Bet ką galėtume pasakyti apie Gal(E/K)? Sunkumai kyla jau ir todėl, kad kūnas E gali nebūti kūno K Galua plėtinys. Pavyzdžiui, nagrinėjant kūnų grandinę Q Ì Q () Ì F, čia F – polinomo x³ – 5 Î Q [x] skaidymo kūnas, matome, kad Q () /Q nėra Galua plėtinys, nes (Gal (Q () /Q))' = (á idQ _()ñ )' = Q () ¹ Q. Antroji Fundamentaliosios teoremos dalis yra skirta kaip tik šiai problemai spręsti.

Tegu E yra plėtinio F/K tarpinis kunas. Sakysime, kad E yra stabilus F/K atžvilgiu, jeigu su visais c Î Gal(F/K) teisinga s (E) Í E. Tai tarp kitko reiškia ir tai, kad apribojus s apibrėžimo sritį kūnu E gauname E automorfizma, kurio atvirkštinis yra s ^-1 siaurinys kūne E.

Lema 5.3 Tegu F/K yra kūno plėtinys, o E - stabilus tarpinis kūnas. Egzistuoja homomorfizmas Y :Gal(F/K) ® Gal(E/K), kurio ker Y = E' =Gal(F/E).

Įrodymas. Su visais s Î Gal(F/K) apibrėžkime Y (s) = s |_E . Kūnas E yra stabilus, todėl Y (s) Î Gal(E/F). Aišku, kad taip apibrėžtas Y yra homomorfizmas (patikrinkit!). Pagaliau, s Î ker Y – s |_E = id_E – s Î E'.

Įrodyta.

Lema 5.4 Tegu F/K yra kūno plėtinys.

1. Jeigu E yra stabilus tarpinis kūnas, tai E' yra normalusis Gal(F/K) pogrupis E' v Gal(F/K).

2. Jeigu H v Gal(F/K), tai H' yra stabilus tarpinis kūnas.

Įrodimas. 1. Iš Lemos 5.3 mes žinome, kad E' = ker Y, o kiekvieno homomorfizmo branduolys yra normalusis pogrupis.

2. Tegu s Î Gal(F/K) ir u Î H'. Tada su visais t Î H turime s ^{-1t s} Î H ir todėl s ^{-1t s} (u) = u. Iš čia t (s (u)) = (s(u)) ir todėl s (u)Î H' , t.y. H' yra stabilus tarpinis kūnas.

Įrodyta.

Teorema 5.5 (Fundamentalioji Galua teorijos teorema, II dalis) Tegu F/K yra baigtinio laipsnio Galua plėtinys. Tada F yra Galua kūnas virš bet kurio tarpinio kūno E. Savo ruožtu, kūnas E yra Galua kūnas virš K tada ir tik tada, kada E'v Gal(F/K). Šiuo atveju Gal(E/K) » Gal(F/K) /E'.

Įrodymas. Iš Fundamentaliosios Teoremos I dalies mes žinome, kad kiekvienas tarpinis kūnas E yra uždaras, todėl F yra Galua kūnas virš E. Jeigu E'v Gal(F/K), tai E = E" yra stabilus tarpinis kūnas (Lema 5.4, 2). Dabar belieka parodyti, kad grupės Gal(E/K) nekintantis kūnas yra K : (Gal(E/K))' = K. Tegu u Î E ir u Ï K. Tada egzistuoja toks s Î Gal(F/K), kad s (u) ¹ u ir todėl Y (s)(u) ¹ u, čia Y : Gal(F/K) ® Gal(E/K) homomorfizmas iš Lemos 5.3 ir Y (s) Î Gal(E/K). Gavome, kad grupės Gal(E/K) nekintantis kūnas yra K ir todėl E yra Galua kunas virš K.

Atvirkščiai, jeigu E yra Galua kūnas virš K, tai pagal Lema 5.4 pakanka parodyti, kad E yra stabilus. Tegu u Î E. Elementas u yra algebrinis, nes [E : K] yra baigtinis (Teorema 1.7) ir tegu u minimalusis polinomas yra p Î K [x]. Tegu u = u₁,u₂,...,u_r yra skirtingos polinomo p šaknys kūne E. Aišku, kad 1 £ r £ n = deg (p) ir pagal Teorema 2.2 kiekvienas r Î Gal(E/K) yra šaknų u₁,u₂,...,u_r keitinys. Todėl unitaraus polinomo g (x) = (x – u₁)(x – u₂) × × × (x – u_r) koeficientai yra stabilūs su kiekvienu t Î Gal(E/K), taigi g(x) Î K [x]. Turime, kad g(u)=0 Þ g Î ker(f _u) = á pñ , taigi deg(g) £ deg(p). Bet abu polinomai yra unitarūs, todėl g = p ir beto polinomo p visos šaknys yra skirtingos ir yra kūno E elementais. Iš čia aišku, kad su visais s Î Gal(F/K) s (u) yra polinomo p šaknis, taigi s (u)Î E. Tai ir rodo, kad E yra stabilus ir todėl E' v Gal(F/K).

Pagaliau, jeigu E yra Galua kūnas virš K, tai parodysime, kad Gal(E/K) » Gal(F/K)/E' . Iš Lemos 5.3 ir Izomorfizmo Teoremos grupėms pakanka parodyti, kad Y yra siurjekcija. Iš Fundamentaliosios Teoremos I dalies mes žinome |Gal(F/K)/E'| = [Gal(F/K):E'] = [E : K] = |Gal(E/K)|, taigi Im(Y) = Gal(E/K) ir todėl Gal(E/K) » Gal(F/K) /E'.

Įrodyta.

Išvada 5.6 Tegu F/K yra baigtinis Galua plėtinys, o p Î K [x] yra neredukuojamas polinomas. Jeigu kūne F yra nors viena polinomo p šaknis, tai visos polinomo p šaknys yra skirtingos ir yra kūne F.

Ši išvada pateisina apibrėžimą.

Apibrėžimas 5.7 Tegu K yra kūnas. Polinomas f Î K [x] vadinamas separabiliuoju, jeigu visų jo neredukuojami daugikliai turi skirtingas šaknis, kurios yra polinomo f skaidymo kūne. Kūnas K vadinamas tobuluoju, jeigu visi žiedo K [x] polinomai yra separabilieji. Algebrinis plėtinys F/K vadinamas separabiliuoju, jeigu visų kūno F elementų minimalieji polinomai yra separabilieji. Alge-brinis plėtinys F/K vadinamas normaliuoju, jeigu su kiekvienu u Î F, kūne F yra elemento u minimalaus polinomo skaidymo kūnas.

Taigi, jeigu f Î K [x] yra neredukuojamas n–ojo laipsnio polinomas, turintis šaknį kūne F, tai

Pavyzdžiai. 1. Kūnas Q() yra separabilusis, bet ne normalusis virš Q, nes Q() nėra polinomo x³ – 2 skaidinio kūnas.

2. Kūnas GF (p) (u) yra normalusis, bet ne separabilusis virš GF (p), nes tai yra neseparabilaus polinomo x^p – u^p skaidinio kūnas.

Dabar galime performuluoti Išvadą 5.6: kiekvienas baigtinis Galua plėtinys yra normalusis separabilusis plėtinys. Kitame skyrelyje rnes parodysime, kad teisingas ir atvirkščias teiginys.

Baigdami šį skyrelį, grįžkime prie polinomo x³ – 5 skaidymo kūno virš Q.

Pavyzdys. Naudodamiesi Fundamentaliąja Galua teorijos teorema, mes aprašysime visus plėtinio F/Q tarpinius kūnus, čia F – polinomo x³ – 5 skaidymo kūnas. Naudosime aukščiau apibrėžtus žymenis. Išvardinsime visus grupės S₃ = á s ,t ñ pogrupius. Visų pirma tai alternuojanti grupė A₃ = á s ñ. Tai normalusis pogrupis, nes t s t ^-1 = s ^-1 Î A₃. Kiti grupės pogrupiai - tai 2 -osio eilės ciklinės grupės P₁ = á t ñ , P₂ = á s t ñ ir P₃ = á s ²t ñ . Pagal Fundamentaliaja Galua teorijos teoremą egzistuoja lygiai keturi tarpiniai kūnai, virš kurių šie pogrupiai yra pastovūs. Iš visų šių tarpinių kūnų tik A^'₃ yra Galua kūnas virš Q ir plėtinio A^'₃/Q laipsnis turi būti lygus [S₃ : A₃] = 2. Grupės S₃ pogrupius ir juos atitinkančius tarpinius kūnus pavaizduosime diagramomis:

čia D = (– )(– )( – ). Iš visų tarpinių kūnų tik Q(D) yra Galua kūnas virš Q ir Gal(Q (D) /Q) = (t|_Q(D)) » Z₂.