Ar žinojote, kad sudėtingomis matematinėmis lygtimis galima įvertinti pranešimo socialiniame tinkle virusiškumą? Net tinklo duomenų analitikai rado praktinių būdų, kaip pritaikyti matematinius principus, pavyzdžiui, garsiąją Poincaré hipotezę, geresnei informacijos sklaidos socialiniuose tinkluose analizei, sako Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto (VU MIF) tyrėjas dr. Daniele Ettore Otera.
VU MIF tyrėjas dr. Daniele Ettore Otera. Vytauto Karpausko nuotr.
Poincaré hipotezė – vienas didžiausių šiuolaikinės matematikos iššūkių, kuris daugiau nei šimtą metų buvo neįveiktas. Šis sudėtingas matematinis teiginys, pirmą kartą prancūzų matematiko Henri Poincaré suformuluotas daugiau nei prieš šimtmetį, teigia, kad bet kurią trimatę erdvę, kuri yra uždara ir neturi skylių, galima deformuoti į trimatę sferą. Nors ši hipotezė buvo įrodyta XXI a. pradžioje, ji vis dar yra labai svarbus matematikos tyrimų objektas.
„Atsižvelgdami į daugybę atradimų, kuriuos ji leido padaryti topologijos ir trimatės geometrijos tyrimuose, ir daugybę jos taikymo sričių, net ir labai nutolusių nuo topologijos, norėtume pabandyti paaiškinti šios problemos matematiką ir tai, kas susiję̨ su jos sprendimu“, – sako mokslininkas dr. D. E. Otera.
Ilgai neįminta mįslė ir jos sprendimo reikšmė
Pasak tyrėjo, gilūs matematiniai klausimai dažnai atskleidžia įdomias sąsajas tarp skirtingų matematikos sričių. Kadangi Poincaré hipotezė yra gili, jos įrodymas trimatę topologiją susiejo su kitomis matematikos sritimis, ypač su analize.
Poincaré hipotezė padėjo suprasti ir suklasifikuoti trimates erdves, o tai padės suprasti erdvę, kurioje šiuo metu gyvename. Tiesa, ši matematinė teorija turi realų poveikį, prie kurio prisideda ir fizikos srities mokslininkai. Iš tikrųjų topologija ir diferencialinė geometrija reikšminga fizikoje, įskaitant kosmologiją, reliatyvumo, stygų teorijas ir kt. Pavyzdžiui, pasirodo, kad naujos Grigorijaus Perelmano idėjos rado pritaikymą statistinėje fizikoje, taip pat ir juodųjų skylių termodinamikos srityje.
Dr. D. E. Otera pabrėžia, kad Poincaré hipotezės įrodymas atvėrė naujas galimybes ir sužadino didelį susidomėjimą topologijos ir kitų matematikos sričių tyrimais.
Pavyzdžiui, vadinamąjį geometrinį Ricci srautą, kurį G. Perelmanas naudojo savo įrodymui, galima išmatuoti entropija, taikant tam tikras netiesines difuzijos lygtis. Pasirodo, kad socialiniai tinklai paprastai pasižymi panašiomis geometrinėmis savybėmis, todėl tam tikro įrašo virusiškumą taip pat galima išmatuoti panašiu būdu.
Poincaré hipotezės pritaikymas XXI amžiuje
„Nors Poincaré hipotezė yra grynai teorinė, jos įrodymas turi ir praktinę reikšmę šiuolaikiniam pasauliui. XXI a. daugelis sričių, tokios kaip duomenų analizė, kompiuterių mokslas ir net medicinos tyrimai, naudojasi topologijos ir kitų susijusių matematikos sričių įžvalgomis“, – paaiškina mokslininkas.
G. Perelmano sukurti Poincare hipotezės įrodymo metodai pademonstravo didelį potencialą sprendžiant įvairias problemas daugelyje mokslinių tyrimų sričių, kurios iki šiol sunkiai įveikiamos alternatyviais metodais. „Pavyzdžiui, Ricci srauto teorija praktiškai taikoma skaičiavimo algoritmams, formų analizei ir parametrizavimui kompiuterinėje grafikoje, medicininiams vaizdams kurti, kompiuterinei topologijai ir belaidžių jutiklių tinklui“, – pasakoja dr. D. E. Otera.
Poincaré hipotezės svarba matematikos architektūroje
Matematika – mokslas, kuriame kiekvienas objektas ar problema turi svarbią vietą. Daugdaros, įskaitant n-mates sferas, yra pagrindiniai šiuolaikinės matematikos elementai. „Poincaré hipotezė yra kertinis akmuo norint suprasti ir klasifikuoti šiuos objektus“, – sako dr. D. E. Otera. Matematikai siekia visiškai suprasti daugdaras ir jų savybes, nes jos yra esminės topologijos dalys.
Norint paaiškinti Poincaré hipotezės svarbą, reikia pradėti nuo pagrindų. Vienmatė daugdara gali būti tiesė, apskritimas arba kreivė, o dvimatės daugdaros yra paviršiai, tokie kaip mūsų trimatės erdvės paviršiai. Trimatis sferos paviršius gali būti įsivaizduojamas kaip keturmatės erdvės paviršius. Mokslininko teigimu, šių sudėtingų struktūrų supratimas yra labai svarbus ne tik matematikoje, bet ir fizikoje, informatikoje bei inžinerijoje.
Poincaré hipotezės įrodymas turi didelę reikšmę tiek teorinėje matematikoje, tiek jos praktiniuose pritaikymuose. Tai rodo, kad net ir sudėtingiausios matematikos problemos gali turėti realų poveikį mūsų kasdieniam gyvenimui ir mokslo pažangai.
Istorinė reikšmė
Nors Poincaré hipotezė buvo įrodyta praėjus šimtmečiui nuo jos pirmojo suformulavimo, per visą tą laiką buvo sukurti ir išbandyti įvairūs problemos sprendimo būdai, nes ji susijusi su įvairiomis matematikos sritimis: nuo grupių teorijos iki diferencialinių lygčių, nuo fizikos iki bendrojo reliatyvumo. „Nors sprendimo ieškota šimtą metų, dėl įrodinėjant sukurtų metodų buvo gauta daug naujų svarbių rezultatų“, – aiškina tyrėjas.
Poincaré hipotezė ilgą laiką buvo matematikų dėmesio centre. 1900 m. Paryžiuje vykusioje Tarptautinėje matematikų konferencijoje Davidas Hilbertas sudarė 23 neišspręstų matematikos problemų sąrašą. Po šimtmečio, 2000 m., Clay’aus matematikos institutas išrinko septynis tūkstantmečio uždavinius, kurių sprendimas buvo apdovanotas vieno milijono JAV dolerių premija. Tarp šių uždavinių buvo ir Poincaré hipotezė, kurios teisingumą 2003 m. įrodė G. Perelmanas.
Poincaré hipotezės įrodymas ne tik pelnė G. Perelmanui prestižinį Fildso medalį, bet ir sulaukė susidomėjimo visuomenėje, ypač dėl to, kad jis atsisakė 1 mln. JAV dolerių vertės premijos. Pasak dr. D. E. Oteros, tai rodo, kad mokslinė aistra ir atsidavimas tyrimams gali būti svarbesni už materialinį atlygį.