%Failo paskutinio keitimo informacija
%$Id: vzmag.tex 25 2005-05-09 10:34:00Z mpiktas $

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,lithuanian]{babel}
\usepackage[dvips,unicode]{hyperref}
\usepackage[QX]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
%\usepackage{ucshyper}
\usepackage{lmodern}
\pagestyle{plain}

\theoremstyle{change}\newtheorem{teorema}{Teorema.}[section]
\theoremstyle{change}\newtheorem{teiginys}{Teiginys.}[section]
\theoremstyle{change}\newtheorem{corollary}{Išvada.}[section]
\theoremstyle{change}\newtheorem{lema}{Lema.}[section]
\theoremstyle{change}{\theorembodyfont{\rmfamily}\newtheorem{apibrezimas}{apibrėžimas.}[section]}

%{\theorembodyfont{\rmfamily}\newtheorem{defin}{Definition}}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi)}

\DeclareMathOperator{\seq}{seq}
\newcommand{\ab}[1]{#1_{\alpha}}
\newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}
\newcommand{\wab}[2][\delta]{w_{\alpha}(#2,#1)}
\newcommand{\normab}[1]{\lVert#1\rVert_{\alpha}}
\DeclareMathOperator{\vt}{vert}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\Lip}{Lip}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}
\newcommand{\norms}[1]{\lVert#1\rVert_{\alpha}^{\seq}}
\setlength{\theorempreskipamount}{12pt}
\newcommand{\cp}{\buildrel P\over\longrightarrow}

\makeatletter
\DeclareRobustCommand{\qed}{%
  \ifmmode % if math mode, assume display: omit penalty etc.
  \else \leavevmode\unskip\penalty9999 \hbox{}\nobreak %\hfill
  \fi
  \quad\hbox{\qedsymbol}}
\newcommand{\openbox}{\leavevmode
  \hbox to.77778em{%
  \hfil\vrule
  \vbox to.675em{\hrule width.6em\vfil\hrule}%
  \vrule\hfil}}
\newcommand{\qedsymbol}{\openbox}
\newenvironment{proof}[1][\proofname]{\par
  \normalfont
  \topsep 6pt \trivlist
  \item[\hskip\labelsep\itshape
    #1\@addpunct{.}]\ignorespaces
}{%
  \qed\endtrivlist
}
\newcommand{\proofname}{Įrodymas}
\makeatother

\topmargin=0cm
\textheight=600pt
%\headsep=0pt
%\headheight=0pt


\begin{document}
\begin{titlepage}

\centerline{\bf \large VILNIAUS UNIVERSITETAS}
\bigskip
\centerline{\large MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS}

\vskip 120pt
\centerline{\bf \Large Vaidotas Zemlys}
\vskip 50pt
\begin{center}
    {\bf \LARGE Funkcinė ribinė teorema\\
    \smallskip  
    \smallskip
    dvimačio indekso sumavimo procesams}
\end{center}
\bigskip
\centerline{\Large Magistro darbas}
\vskip 110pt
\vskip 160pt
\centerline{\large VILNIUS 2004}
%\newpage
\end{titlepage}
\begin{titlepage}
{\large Darbas atliktas \textbf{Matematinės analizės katedroje}}

\vskip 150pt
{\large Darbo vadovas \textbf{prof. A. Račkauskas}

Recenzentas \textbf{prof. V. Paulauskas} }

\vskip 150pt

{\large Darbas apgintas \underline{\textbf{\textit{2004 m. birželio mėn. 3 d.}}}

Gynimo posėdžio protokolo Nr. \underline{\hskip 94pt }}

\vskip 150pt

{\large Registravimo NR. 1102 / 06 -

2004-05-20 \underline{\hskip 140pt}}
\end{titlepage}
\addtocounter{page}{-1}


\tableofcontents

\thispagestyle{empty}

\newpage

\pagestyle{plain}

\numberwithin{equation}{section}

\section{Įvadas}

Šis darbas yra Erickson\cite{Erickson:1981} rezultatų tam tikras papildymas, bei
Račkausko ir Suquet \cite{Rackauskas:2001} rezultatų apibendrinimas.
Erickson nagrinėjo daugiamačio indekso sumavimo procesų konvergavimą Hiolderio
erdvėse, Račkauskas ir Suquet pateikė būtinas ir pakankamas sąlygas laužčių
proceso (vienmačio indekso sumavimo proceso) konvergavimui Hiolderio erdvėse.
Šiame darbe įrodomos būtinos ir pakankamos sąlygos dvimačio indekso sumavimo
proceso konvergavimui Hiolderio erdvėse. 

Darbe taip pat trumpai apžvelgiami
įvairių autorių rezultatai gauti nagrinėjant sumavimo procesų konvergavimą.

\section{Sąvokos ir apibrėžimai}
\subsection{Hiolderio erdvės}

Pažymėsime $T=[0,1]^d$. Erdvę $\mathbb{R}^d$ nagrinėsime su norma
\begin{align}\label{l:R2norma}
    |\bm{t}| := \max\{|t_1|,\ldots,|t_d|\}, \quad \bm{t}=(t_1,\ldots,t_d)\in \mathbb{R}^d.
\end{align}

Tegu $\bm{t}=(t_1, \dots, t_d)$, $\bm{s}=(s_1, \dots, s_d)\in \mathbb{R}^d$.
Laikysime, kad  $\bm{t}\le \bm{s}$ tada ir tik tada, kai $t_i\le s_i$ visiems
$i=1,\ldots,d.$ Žymėjimas $[a]$, reikš realaus skaičiaus $a\in\mathbb{R}$
sveikąją dalį.


%\begin{apibrezimas}
$C(T)$ žymėsime realių tolydžių aibėje $T$ funkcijų erdvę su norma
\begin{align*}
    \norm{x}= \sup_{t\in T}|x(t)|,\quad x\in C(T).
\end{align*}
%\end{apibrezimas}

Su šia norma $C(T)$ yra Banacho erdvė. Šiame darbe nagrinėsime Hiolderio
erdves $\ab{H}^o(T)$, kurioms priklauso funkcijos  $x\in C(T)$, tenkinančios salygą
\begin{align*}
 \lim_{\delta\to 0}\ab{w}(x,\delta)=0,
\end{align*}
čia
\begin{align*}
    \wab{x}=\sup_{\bm{t},\bm{s}\in T,\:
    0<|\bm{t}-\bm{s}|<\delta}\dfrac{|x(\bm{t})-x(\bm{s})|}{|\bm{t}-\bm{s}|^\alpha}.
\end{align*}
%\end{apibrezimas}

Aibė $\ab{H}^o(T)$ yra separabili Banacho erdvė su norma:
\begin{align*}
    \normab{x}=|x(0)|+\wab[1]{x}.
\end{align*}

Tegu
\begin{align*}
    W_j=\{k2^{-j};0\le k\le 2^j\}^2
\end{align*}
ir tegu $V_0=W_0$, $V_j=W_j\backslash W_{j-1}$. $V_j$ yra tokių diadinių taškų
$\bm{v}=(k_12^{-j},k_22^{-j})$ poaibis aibėje $W_j$, kuriems bent vienas $k_i$ yra
nelyginis.
Apibrėžkime
\begin{align*}
    \lambda_{0,\bm{v}}(x)&=x(\bm{v}),\quad \bm{v}\in V_0,\notag \\
    \lambda_{j,\bm{v}}(x)&=x(\bm{v})-\dfrac{1}{2}(x(\bm{v}^-)+x(\bm{v}^+)),\quad
    \bm{v}\in V_j,\ \ j\ge 1,
\end{align*}
čia
\begin{align*}
  v_i^-=
  \begin{cases}
    v_i-2^j, & \text{if}\; k_i\; \text{yra nelyginis};  \\
     v_i,& \text{if}\; k_i\; \text{yra lyginis}.
  \end{cases}
\qquad v_i^+=
  \begin{cases}
    v_i+2^j, & \text{if}\; k_i\; \text{yra nelyginis}; \\
    v_i,& \text{if}\; k_i\; \text{yra lyginis}.
  \end{cases}
\end{align*}

Bakalauro darbe \cite{Zemlys:2002} įrodoma tokia erdvės $\ab{H}^o(T)$ kompaktiškas aibes
charakterizuojanti teorema.
\begin{teorema}\label{t:AA}
Erdvės $\ab{H}^o$ poaibis $A$ yra reliatyviai kompaktiška aibė tada ir tik
tada, kai tenkinamos sąlygos
\begin{align*}
  \sup_{x\in A}\sup_{t\in T}|x(t)|<\infty  \\%label{AApirma:salyga}\\
  \intertext{ir}
  \lim_{J\to\infty}\sup_{x\in A}\sup_{j\ge J}\max_{v\in V_j}2^{\alpha
  j}|\lambda_{j,v}(x)|=0.%\label{AAantra:salyga}
\end{align*}
\end{teorema}

\subsection{Apibrendrintos sekos}
%\begin{apibrezimas}
    Sakysime, kad aibė $A$ yra kryptinė aibė, jei joje apibrėžtas binarinis sąryšis
    $\le$ tenkinantis sąlygas:
    \begin{itemize}
	\item $a\le a$ su visais $a$ iš $A$,
	\item jei $a\le b$ ir $b\le c$, tai $a\le c$,
	\item bet kokiems $a$ ir $b$ iš $A$ egzistuoja toks $c$, kad $a\le c$ ir
	    $b\le c$.
    \end{itemize}
%\end{apibrezimas}

Tegu $X$ -- topologinė erdvė.  Apibendrinta seka ervdėje $X$ vadinama funkcija atvaizduojanti 
kryptinę aibę erdvėje $X$. Jei $\{x_\alpha\}$ yra apibendrinta seka,
tai sakome, kad ji turi ribą $x$, tada ir tik tada, jei kiekvienai $x$ aplinkai
$U$ egzistuoja toks $\alpha_0$, kad $x_\alpha\in
U$. su visais $\alpha_0\le\alpha$.

Erdvės $\mathbb{R}^d$ poaibis $\mathbb{N}^d$ su sąryšiu $\bm{j}\le\bm{n}$ yra kryptinė aibė.

\begin{lema}\label{l:ekvkonv}
    Apibendrintos sekos $(x_{\bm{n}},\bm{n}\in \mathbb{N}^d$ konvergavimas topologinėje erdvėje $X$ yra
ekvivalentus $(x_{\bm{n}})$ konvergavimui, kai $n_1\wedge\ldots\wedge n_d\to\infty$.
\end{lema}
\begin{proof}\textit{Būtinumas.} Tegu apibendrinta seka $(x_{\bm{n}})$ konverguoja į $x$. Tada
kiekvienai $x$  aplinkai $U$ egzistuoja toks $\bm{n}_0\in \mathbb{N}^2$, kad
$x_{\bm{n}}\in U$, kai  $\bm{n}_0=(n_{01},\ldots, n_{0d})\le \bm{n}=(n_1,\ldots,n_d)$. Tegu 
$N=n_{01}\vee\ldots\vee n_{0d}$ ir $\bm{n}$ tokie, kad $n_1\wedge\ldots\wedge
n_d>N$. Bet tokiems
$\bm{n}$ teisinga $\bm{n}_0\le \bm{n}$, taigi kiekvienai $x$ aplinkai $U$
egzistuoja toks $N$, kad jei $\bm{n}$ tenkina sąlygą $n_1\wedge\ldots\wedge n_d>N$, tai visi
$x_{\bm{n}}$ yra aplinkoje $U$. Taigi $x_{\bm{n}}\to x$, kai
$n_1\wedge\ldots\wedge n_d\to\infty$.

\noindent \textit{Pakankamumas}. Tegu $x_{\bm{n}}$ konverguoja į $x$, kai
$n_1\wedge\ldots\wedge n_d\to\infty$. Tada kiekvienai $x$ aplinkai $U$ egzistuoja toks $N$, kad
jei $n_1\wedge\ldots\wedge n_d>N$, tai $x_{\bm{n}}\in U$. Tegu $n_0=(N+1,\ldots,N+1)$, tada 
jei $\bm{n}_0\le \bm{n}$, tai $x_{\bm{n}}\in U$.
\end{proof}

\subsection{Nelygybės}

Darbe naudosimės keliomis nelygybėmis nepriklausomų dydžių sumų momentams.
Suformuluosime jas kaip teiginius. 

\begin{teiginys}[Doob'o nelygybė]\label{n:Doob}
    Tegu $p>1$ ir $\eta_{\bm{n}}$, $\bm{n}\in\mathbb{N}^d$ yra nepriklausomi
    atsitiktiniai dydžiai turintys nulinius vidurkius ir
    $E|\eta_{\bm{k}}|^p<\infty$, $\bm{k}\le \bm{n}$. Tuomet
    \begin{align*}
	E\Big|\max_{1\le \bm{m}\le
	\bm{n}}\sum_{1\le\bm{j}\le\bm{m}}\eta_{\bm{j}}\Big|^p\le
	4^{d-1}E\Big|\sum_{1\le\bm{j}\le\bm{n}}\eta_{\bm{j}}\Big|^p.
    \end{align*}
\end{teiginys}
\begin{proof}
    Šį teiginį įrodė Wichura \cite{Wichura:1969}.
\end{proof}

\begin{teiginys}[Rosenthal'io nelygybė]\label{n:Rosenthal} Tarkime, $p\le 2$
    ir $\eta_1,\ldots,\eta_n$ yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai turintys
    nulinius vidurkius ir $E|\eta_k|^p<\infty$, $k=1,\ldots,n$. Tuomet
    egzistuoja konstanta $c(p)$ priklausanti tik nuo $p$ tokia, kad
    \begin{align*}
	E\Big|\sum_{k=1}^n\eta_k\Big|^p\le
	c\Big(\Big(\sum_{k=1}^nE\eta_k^2\Big)^{p/2}+\sum_{k=1}^nE|\eta_k|^p\Big).
    \end{align*}
\end{teiginys}


\subsection{Silpnas konvergavimas}

Tegu $S$ yra metrinė erdvė, $\mathcal{S}$ yra jos Borelio $\sigma$-algebra ir
$P_\alpha$ yra apibendrinta tikimybinių matų seka erdvėje $(S,\mathcal{S})$.
Sakysime, kad $(P_\alpha,\alpha\in I)$ silpnai konverguoja į tikimybinį matą $P$, jei
$\int_SfdP_\alpha\xrightarrow[\alpha]{} \int_SfdP$ kiekvienai aprėžtai realiai tolydžiai erdvės $S$
funkcijai. 

Tegu $X$ yra funkcija atvaizduojanti tikimybinę erdvę
$(\Omega,\mathcal{B},\mathbf{P})$ į erdvę $S$. Jei $X$ yra mati funkcija
($X^{-1}\mathcal{S}\subset \mathcal{B}$), tai $X$ vadiname atsitiktiniu erdvės
$S$ elementu. Atsitiktinio elemento $X$ pasiskirstymu vadiname erdvės
$(S,\mathcal{S})$ tikimybinį matą $P=\mathbf{P}X^{-1}$:
\begin{align*}
    P(A)=\mathbf{P}(X^{-1}A)=\mathbf{P}(w:X(w)\in A)=\mathbf{P}(X\in A), \quad
    A\in \mathcal{S}
\end{align*}

Tegu $(X_\alpha,\alpha\in I)$ yra apibendrinta atsitiktinių $S$ elementų seka. Tada sakome,
kad $X_\alpha$ konverguoja pagal pasiskirstymą (arba silpnai konverguoja) į
atsitiktinį elementą $X$, jei į $X$ pasiskirstymą silpnai konverguoja $X_\alpha$
pasiskirstymų apibendrinta seka.

Tikimybinį matą $P$ vadinsime tirštu, jei kiekvienam $\eps>0$ egzistuoja toks
kompaktas $K_\eps\subset S$, kad
\begin{align*}
    P(K_\eps)>1-\eps
\end{align*}
Tegu $\Pi$ yra $(S,\mathcal{S})$ tikimybinių matų šeima. Sakysime, kad
$\Pi$ yra tiršta, jei kiekvienam $\eps>0$ egzistuoja toks kompaktas
$K_\eps\subset S$, kad
\begin{align*}
    P(K_\eps)>1-\eps, \text{ visiems } P\in\Pi 
\end{align*}

Vadinsime $\Pi$ reliatyviai kompaktiška jeigu iš kiekvienos $\Pi$ elementų sekos
galima išrinkti silpnai konverguojantį posekį.

\begin{teorema}[Prochorovo]\label{t:proch} Jei tikimybinių matų šeima yra tiršta,
    tai ji yra reliatyviai kompaktiška
\end{teorema}
\begin{proof}
    Šios teoremos įrodymą galima rasti \cite{Bilingsley:1968}, 37 psl, 6.1 teorema.
\end{proof}


\section{Sumavimo procesai}

\subsection{Apibrėžimas}

Tegu ($X_{\bm{j}}$, $\bm{j}\in \mathbb{N}^d$) yra vienodai pasiskirstę realūs atsitiktiniai dydžiai su nuliniu
vidurkiu. Tada daugiamačio indekso sumavimo procesas 
$\xi_{\bm{n}}(\bm{t}), \bm{t}=(t_1, \dots, t_d)\in [0, 1]^d$ yra apibrėžiamas
šitaip:
\begin{align}\label{f:sumprocd}
    \xi_{\bm{n}}(\bm{t})=\sum_{\bm{j}\le \bm{n}}|R_{\bm{n},\bm{j}}|^{-1}|R_{\bm{n},\bm{j}}\cap
    [0,t_1]\times\cdots\times[0,t_d]|X_{\bm{j}}
\end{align}
čia $|A|$ žymime aibės $A\in \mathbb{R}^d$ Lebego matą ir
\begin{align*}
    R_{\bm{n},\bm{j}} := [(j_1-1)/n_1, j_1/ni_1]\times\cdots\times
[(j_d-1)/n_d, j_d/n_d].
\end{align*}

Nagrinėsime $\xi_{\bm{n}}$ ribinį pasiskirstymą, kai $\bm{n}\to\infty$.
Darbe $\bm{n}\to\infty$ tai reikš, kad $n_1\wedge\ldots\wedge n_d\to\infty$.

\subsection{Vienmatis indeksas}

Kai $d=1$, $\xi_{\bm{n}}(t)$ sutampa su įprastu laužčių procesu:
\begin{align*}%\label{f:sumproc1}
    \xi_n(t)=S_{[nt]}+(nt-[nt])X_{[nt]+1},\quad  t\in [0,1],
\end{align*}
čia $S_0=0$ ir $S_k=X_1+\cdots+X_k$, kai $k\ge 1$.

Klasikinis Donskerio-Prochorovo principas teigia, kad 
\begin{align}
    \label{f:donsker}
    n^{-1/2}\xi_n\xrightarrow{\mathcal{D}}W
\end{align}
erdvėje $C[0,1]$. Čia $W=(W(t),t\in \mathbb{R})$ yra standartinis Brauno procesas ir
$\xrightarrow{\mathcal{D}}$ reiškia konvergavimą pagal pasiskirstymą.

Lamperti \cite{Lamperti:1962} nagrinėjo konvergavimą \eqref{f:donsker} erdvėje
$\ab{H}^o([0,1])$. Lamperti įrodė, kad \eqref{f:donsker} galioja $\ab{H}^o([0,1]),$ $0<\alpha<1/2,$ jeigu 
$\mathbf{E}|X_1|^q<\infty$ with $q>1/(1/2-\alpha).$ Račkauskas ir Suquet
\cite{Rackauskas:2001} išplėtė Lamperti
rezultatą įrodydami, kad \eqref{f:donsker} galioja erdvėje
$\ab{H}^o([0,1]),$ $0<\alpha<1/2,$ tada ir tik tada, kai
\begin{align}
    \label{f:racsuq}
    \lim_{t\to\infty}t^pP(|X_1|\ge t)=0 \ \
    \textrm{with}\ \ p=\frac{1}{1/2-\alpha}.
\end{align}

\subsection{Dvimatis indeksas}

Dvimačiu atveju ($d=2$) sumavimo procesas atrodo taip:
\begin{align}\label{f:dvimsum}
    \xi_{\bm{n}}(\bm{t})&=\xi_{(n_1,\ n_2)}(t_1,\ t_2)=   S_{([n_1t_1],\
    [n_2t_2])}\notag\\
    &+(n_1t_1-[n_1t_1])S^{(1)}_{([n_1t_1]+1,\
    [n_2t_2])}+(n_2t_2-[n_2t_2])S^{(2)}_{([n_1t_1],\ [n_2t_2]+1)}\notag\\
    &+ (n_1t_1-[n_1t_1])(n_2t_2-[n_2t_2])X_{([n_1t_1]+1,\ [n_2t_2]+1)},
\end{align}
čia
\begin{align*}
S_{(k,\ m)}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^m X_{(i,\ j)},\ \ S^{(1)}_{(k,\
m)}=\sum_{j=1}^m X_{(k, \  j)},\ \  S^{(2)}_{(k,\
m)}=\sum_{i=1}^k X_{(i,\ m)}.
\end{align*}

Sumavimo procesus dvimačiu atveju nagrinėjo Kuelbs \cite{Kuelbs:1968}. Jis
apsiribojo indeksu $\bm{n}=(n,n)$ ir įrodė, kad
\begin{align*}
    \xi_{(n,n)}\xrightarrow{\mathcal{D}}W_2
\end{align*}
erdvėje $C([0,1]^2)$, jei $E|X_{(1,1)}|^{3+\delta}<\infty$, kokiam nors
$\delta>0$.

Dvimačio indekso sumavimo proceso skirtumus charakterizuoja tokia lema. 
\begin{lema}\label{l:psizeta}
Tegu
\begin{align*}
    \Delta_{\bm{n}}(t, t'; s)=|\xi_{(n_1, n_2)}(t', s)-\xi_{(n_1,n_2)}(t, s)|.
\end{align*}
Tada su visais $t',t\in [0, 1], t'>t,i$ 
\begin{align*}
    \sup_{s\in [0, 1]}\Delta_{\bm{n}}(t, t'; s)\le \min\big\{1,[n_1(t'-t)]
    \big\}\psi_{\bm{n}}(t',t)+2\min\big\{1, n_1(t'-t)\big\}\zeta_{n_1, n_2},
\end{align*}
čia
\begin{align*}
    \psi_{\bm{n}}(t',t)= \max_{1\le k\le n_2}
    \Big|\sum_{i=[n_1t]+1}^{[n_1t']}S^{(1)}_{(i,\ k)}\Big|
    +\max_{1\le k\le n_2}\Big|\sum_{i=[n_1t]+1}^{[n_1t']}X_{(i,k)}\Big|
\end{align*}
ir
\begin{align*}
 \zeta_{n_1, n_2}=\max_{1\le i\le
 n_1}\max_{1\le k\le n_2}|S^{(1)}_{(i,\ k)}|
+\max_{1\le i\le n_1}\max_{1\le k\le n_2}|X_{(i,\ k)}|.
 \end{align*}
\end{lema}
\begin{proof} Jei $[n_1(t'-t)]=0$ tai arba $(t,s)$ ir $(t',
s)$ yra tame pačiame stačiakampyje $R_{\bm{n},\bm{m}}$, arba jie yra gretimuose
stačiakampiuose $R_{\bm{n},\bm{m}}$ ir $R_{\bm{n},(m_1+1,m_2)}$, kokiam nors
$\bm{m}=(m_1,m_2)$. Jei jie yra tame pačiame stačiakampyje tai
$[n_1t]=[n_1t']=m_1-1$ ir pastebėję, kad $[n_2s]=m_2-1$  iš \eqref{f:dvimsum}
gauname
\begin{align*}
    \xi_{\bm{n}}(t',s)-\xi_{\bm{n}}(t,s)=n_1(t'-t)S_{(m_1,m_2-1)}^{(1)}+n_1(t'-t)(n_2s-[n_2s])X_{(m_1,m_2)}.
\end{align*}

Kadangi $n_2s-[n_2s]<1$, turime
\begin{align}\label{f:onerec}
    |\xi_{\bm{n}}(t',s)-\xi_{\bm{n}}(t,s)|&\le
    n_1(t'-t)[|S_{(m_1,m_2-1)}^{(1)}|+|X_{(m_1,m_2)}|]\notag\\
    &\le n_1(t'-t)\zeta_{n_1,n_2}.
\end{align}
Jei $t'$ and $t$ yra gretimuose stačiakampiuose, tai $n_1t<[n_1t']\le
n_1t'$ ir
\begin{align}\label{f:adjrec}
    |\xi_{\bm{n}}(t',s)-\xi_{\bm{n}}(t,s)|&\le
    |\xi_{\bm{n}}(t',s)-\xi_{\bm{n}}([n_1t']/n_1,s)| +
    |\xi_{\bm{n}}([n_1t']/n_1,s)-\xi_{\bm{n}}(t,s)|\notag\\
    &\le (n_1t'-[n_1t'])\zeta_{n_1,n_2} + ([n_1t']-n_1t)\zeta_{n_1,n_2}\notag\\
    &\le 2n_1(t'-t)\zeta_{n_1,n_2}.
\end{align}
Jei $[n_1(t'-t)]\ge 1$, tai $[n_1t]\le n_1t<[n_1t]+1\le[n_1t']\le n_1t'$ ir
\begin{align}\label{f:3nariai}
    |\xi_{\bm{n}}(t',s)-\xi_{\bm{n}}(t,s)|&\le
    |\xi_{\bm{n}}(t',s)-\xi_{\bm{n}}([n_1t']/n_1,s)|\notag\\
    &+|\xi_{\bm{n}}([n_1t']/n_1,s)-\xi_{\bm{n}}([n_1t]/n_1,s)|\notag\\
    &+|\xi_{\bm{n}}([n_1t]/n_1,s)-\xi_{\bm{n}}(t,s)|.
\end{align}
Iš \eqref{f:dvimsum} išplaukia
\begin{align*}
    \xi_{\bm{n}}([n_1t']/n_1,s)-\xi_{\bm{n}}([n_1t]/n_1,s)&=
    S_{([n_1t'],[n_2s])}-S_{([n_1t],[n_2s])}\\
    &+(n_2s-[n_2s])\big(S^{(2)}_{([n_2t'],[n_2s]+1)}-S^{(2)}_{([n_2t],[n_2s]+1)}\big).
\end{align*}
Taigi
\begin{align*}
    |\xi_{\bm{n}}([n_1t']/n_1,s)-\xi_{\bm{n}}([n_1t]/n_1,s)|&\le
    \Big[\Big|\sum_{i=[n_1t]+1}^{[n_1t']}S_{(i,[n_2s])}^{(1)}\Big| +
    \Big|\sum_{i=[n_1t]+1}^{[n_1t']}X_{(i,[n_2s]+1}\Big|\Big]\\
    &\le \psi_{\bm{n}}(t',t)
\end{align*}

Įstatę šią nelygybę į \eqref{f:3nariai} ir pasinaudoję nelygybe \eqref{f:onerec} gauname
\begin{align}\label{f:seprec}
    |\xi_{\bm{n}}(t',s)-\xi_{\bm{n}}(t,s)|&\le (n_1t'-[n_1t'])\zeta_{n_1,n_2}+
    \psi_{\bm{n}}(t',t)+(n_1t-[n_1t])\zeta_{n_1,n_2}\notag\\
    &\le \psi_{\bm{n}}(t',t) + 2\zeta_{n_1,n_2}.
\end{align}

Lemos įrodymas išplaukia iš \eqref{f:onerec}, \eqref{f:adjrec} and \eqref{f:seprec}.
\end{proof}

\subsection{Daugiamatis indeksas}

Daugiamačio indekso sumavimo procesus nagrinėjo Erickson \cite{Erickson:1981}.
Jis išplėtė Lamperti rezultatą bendru atveju, kai $d\ge 1$, įrodydamas, kad jei $0<\alpha<1/2$ ir
$\mathbf{E}|X_{\bm{1}}|^q<\infty$, čia $q>d/(1/2-\alpha)$, tai
\begin{align}
    \label{f:lamperti}
    (n_1\cdots n_d)^{-1/2}\xi_{\bm{n}} \xrightarrow[\bm{n} \to
    \infty]{\mathcal{D}} W_d
\end{align}
galioja erdvėje $\ab{H}^o([0,1]^d)$, čia $W_d=(W_d(\bm{t}),\
\bm{t}\in [0, 1]^d)$ yra standartinis Brauno laukas -- Gausinis atsitiktinis
laukas su nuliniu vidurkiu, kuriam 
\begin{align*}
EW_d(\bm{t})W_d(\bm{s})=(t_1\wedge s_1)\cdots (t_d\wedge
 s_d)
\end{align*}
su visais $\bm{t}=(t_1,\ldots,t_d)$, $\bm{s}=(s_1,\ldots,s_d)\in T$.

Šiame darbe Erickson rezultatas atveju $d=2$ yra papildomas,
randant būtinas ir pakankamas sąlygas sumavimo proceso konvergavimui.

\section{Silpno konvergavimo kriterijus}
 
Nagrinėjant erdvių, kurių tikimybinius matus visiškai nusako jų baigtiniamačiai
skirstiniai, atsitiktinių elementų silpnas konvergavimas parodomas
naudojantis Prochorovo teorema \ref{t:proch}. Tada atsitiktinių elementų seka konverguoja silpnai,
jei ji yra tiršta ir jei silpnai konverguoja jos atitinkamų baigtiniamačių
pasiskirstymų seka.

Taip savo rezultatus sumavimo procesams gavo Lamperti \cite{Lamperti:1962}, Kuelbs
\cite{Kuelbs:1968}, Erickson \cite{Erickson:1981}.

Kadangi kiekvienas tikimybinis matas pilnoje separabilioje erdvėje yra tirštas,
tai Prochorovo teoremoje separabilioms erdvėms tikimybinių matų sekos tirštumą galima susilpninti iki
asimptotinio tirštumo, t.y. kiekvienam $\eps>0$ turi egzistuoti kompaktas
$K_\eps$ toks, kad
\begin{align*}
    \liminf_{n\to\infty}P_n(K_\eps)>1-\eps.
\end{align*}

Naudodami tokį Prochorovo teroemos variantą savo rezultatus gavo Wichura
\cite{Wichura:1969}, Bickel ir Wichura \cite{Wichura:1971}, Račkauskas ir Suquet
\cite{Rackauskas:2001}.

Kadangi $\{\xi_{\bm{n}}, \bm{n}\in\mathbb{N}^2\}$ yra apibendrinta seka šiame
darbe naudosimės Prochorovo teorema apibendrintom sekoms (1.3.9 teorema 21
psl.\cite{Vaart:1996})

\begin{teorema} Tegu $(X_\alpha,\alpha\in I)$ yra  apibendrinta separabilios erdvės atsitiktinių
elementų seka. Jei $(X_\alpha)$ yra asimptotiškai tiršta, t.y. kiekvienam
$\eps>0$ egzistuoja toks
kompaktas $K_\eps$, kad
\begin{align*}
    \liminf_{\alpha}P(X_\alpha \in K_\eps)>1-\eps.
\end{align*}
tai apibendrinta seka $(X_\alpha)$ yra reliatyviai kompaktiška,
\end{teorema}

Erdvė $\ab{H}^o(T)$ yra separabili, ir jos tikimybinius matus pilnai nusako jų
baigtiniamačiai pasiskirstymai. Taigi erdvės $\ab{H}^o(T)$  apibendrinta
atsitiktinių elementų seka konverguoja silpnai, jei ji yra asimptotiškai tiršta,
bei jos atitinkamų baigtiniamačių pasiskirstymų apibendrinta seka silpnai
konverguoja.  Tuo remdamiesi suformuluosime silpno konvergavimo kriterijų erdvei
$\ab{H}^o(T)$.

\begin{teorema}\label{t:tight}
    Tegu $\{\zeta_{\bm{n}}, \bm{n}\in\mathbb{N}^2\}$ yra atsitiktinių erdvės 
    $\ab{H}^o(T)$ elementų apibendrinta seka tenkinanti šias sąlygas:
\begin{enumerate}
    \item Baigtiniamačiai $\zeta_{\bm{n}}$ skirstiniai silpnai konverguoja į
	kokio nors erdvės $\ab{H}^o(T)$ atsitiktinio elemento $\zeta$
	baigtiniamačius skirstinius, kai  $n_1\wedge n_2\to\infty$.
    \item $\lim_{a\to \infty}\sup_{\bm{n}} P(\sup_{\bm{t}\in
        T}|\zeta_{\bm{n}}(\bm{t})|>a)=0$
    \item  Kiekvienam $\eps>0$
        \begin{align*}
	    \lim_{J\to \infty} \limsup_{\bm{n} \to\infty}P(\sup_{j\ge J}2^{\alpha j}\max_{\bm{v}\in
        V_j}|\lambda_{j,\bm{v}}(\zeta_{\bm{n}})|>\eps) = 0.
        \end{align*}
\end{enumerate}
Tada
\begin{align*}
    \zeta_{\bm{n}}\xrightarrow{\mathcal{D}}\zeta, \text{ kai } \bm{n}\to\infty    
\end{align*}
\end{teorema}
\begin{proof} 
Pagal \ref{l:ekvkonv} lemą konvergavimas, kai $\bm{n}\to\infty$ sutampa su
apibendrintos sekos konvergavimu. Kadangi pagal (i) sąlygą baigtiniamačiai
pasiskirstymai konverguoja, užtenka patikrinti, ar sąlygos (ii) ir (iii)
užtikrina apibendrintos sekos $\{\zeta_{\bm{n}},\bm{n}\in\mathbb{N}^2\}$
asimptotinį tirštumą.  Tarkime, kad $\zeta_{\bm{n}}$ tenkina sąlygas (ii) ir
(iii). Duotam $\eta>0$ tada galime pasirinkti $a$ taip, kad jei
\begin{align*} 
    A=\{x\in \ab{H}^o(T): \sup_{t\in T}|x(t)|\le a\},
\end{align*} 
tai $P(\zeta_{\bm{n}}\in A)\ge 1-\frac{1}{2}\eta$ su visais $\bm{n}\in
\mathbb{N}^2$. Taip pat galime pasirinkti tokius $J_k$ ir $\bm{n}_0$, kad jei 
\begin{align*} 
    A_k=\{x:\sup_{j\ge J_k}2^{\alpha j}\max_{\bm{v}\in V_j}|\lambda_{j,\bm{v}}(x)|<\eps\}, 
\end{align*} 
tai  $P(\zeta_{\bm{n}}\in A_k)>1-\eta/2^{k+1}$ su visais $\bm{n}$
tokiais, kad $\bm{n}_0\le \bm{n}$. Jeigu $K$ yra
$A\cap\bm{\cap}_{k=1}^{\infty}A_k$ uždarinys, tada $P(\zeta_{\bm{n}}\in
K)>1-\eta$. Bet iš teoremos \ref{t:AA} išplaukia, kad $K$ yra kompaktas,
Taigi apibendrinta seka $\zeta_{\bm{n}}$ yra asimptotiškai tiršta. Tą ir reikėjo
įrodyti.
\end{proof}


\section{Ribinė teorema}

%\subsection{Formulavimas}
Naudodamiesi įrodytu silpnojo konvergavimo \ref{t:tight} kriterijumi įrodysime
šią teoremą, pilnai nusakančią sumavimo proceso konvergavimą erdvėje
$\ab{H}^o(T)$.

\begin{teorema} \label{t:but}
Sumavimo procesas
\begin{align}\label{f:mainresult}
    (n_1n_2)^{-1/2}\xi_{\bm{n}} \xrightarrow[\bm{n} \to \infty]{\mathcal{D}} W_2 \text{ erdvėje }
\ab{H}^o\bigl([0,1]^2\bigr)
\end{align}
tada ir tik tada, 
\begin{align}
    \label{f:sal1}
    t_1t_2P\bigl(|X_{\bm{1}}|>t_1^{1/p}t_2^{1/2}\bigr) &  \to 0,
    \textrm{ kai }
    t_1\wedge t_2 \to \infty.
\end{align}
\end{teorema}

Kadangi
\begin{align*}
   t_1t_2P(\bigl(|X_{\bm{1}}|>t_1^{1/2}t_2^{1/2}\bigr))&\le
   t_1t_2P(\bigl(|X_{\bm{1}}|>t_1^{1/p}t_2^{1/2}\bigr))\\
   &\le 
   t_1t_2P(\bigl(|X_{\bm{1}}|>t_1^{1/p}t_2^{1/p}\bigr))
\end{align*}
aišku, kad iš \ \ $\lim_{t\to\infty}t^pP(|X_{\bm{1}}|\ge t)=0$ \  \ 
išplaukia \eqref{f:sal1}

Nagrinėjant atsitiktinių laukų $(\xi_{\bm{n}},
\bm{n}\in N^2)$ konvergavimą fiksuotoms trajektorijoms gauname išvadą:
\begin{corollary}\label{c:rmom}
%    Assume that $0<\alpha<1/2$ and $p=1/(1/2-\alpha)$.
Tegu $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ yra tokia didėjanti funkcija, kad $f(n):=O(n^r)$
su kokiu nors $r\ge1$. Tada
\begin{align*}
    (nf(n))^{-1/2}\xi_{(n,f(n))} \xrightarrow[n \to
    \infty]{\mathcal{D}} W_2 \text{ erdvėje } \ab{H}^o([0,1]^2)
    \end{align*}
tada ir tik tada, jei
    \begin{align}\label{f:rmomsal}
    \lim_{t\to\infty}t^{\frac{r+1}{r/p+1/2}}P(|X_{\bm{1}}|\ge
    t)=0.
    \end{align}
\end{corollary}

Imdami $f(n)=n$ gauname, kad
$n^{-1}\xi_{(n,n)}\xrightarrow[n\to\infty]{\mathcal{D}} W_2$  erdvėje 
$\ab{H}^o\bigl([0,1]^2\bigr)$ tada ir tik tada, kai
\begin{align}\label{f:momentcond}
    \lim_{t\to\infty}t^{\frac{4p}{p+2}}P(|X_{\bm{1}}|\ge t)=0.
\end{align}

Turime
\begin{align*}
    t^{\frac{4p}{p+2}}P(|X_{\bm{1}}|\ge t)=t^{4-\frac{8}{p+2}}P(|X_{\bm{1}}|\ge
    t)\le t^{4}P(|X_{\bm{1}}|\ge   t)
\end{align*}
taigi sąlygą \eqref{f:momentcond} užtikrina $\mathbf{E}|X_{\bm{1}}|^4<\infty$. 
Tai nesutampa su atitinkama sąlyga įprastinio Donsker-Prokhorov laužčių proceso
Hiolderio konvergavimui, kuriam, kaip seka iš \eqref{f:racsuq}, būtinai turi būti
$E|X_1|^q<\infty$ su $q<p$.

Teoremos įrodymui prisireiks tokios lemos
\begin{lema}\label{l:zeta} Iš sąlygos \eqref{f:sal1} išplaukia, kad
\begin{align*}
    n_1^{-1/p}n_2^{-1/2}\zeta_{n_1, n_2}\xrightarrow{P}
 0,\ \ \ \textrm{kai}\ \  n_1\wedge n_2\to \infty.
\end{align*}
\end{lema}
\begin{proof}
Dėl sąlygos \eqref{f:sal1} užtenka patikrinti, kad
\begin{align}\label{f:konverg/1} 
    n_1^{-1/p}n_2^{-1/2}\max_{1\le i\le
n_1}\max_{1\le k\le n_2}\Big|\sum_{j=1}^kX_{(i, j)}\Big|\cp 0.
\end{align}

Tegu $\delta>0$ yra teigiamas skaičius. Apibrėžkime
\begin{align}\label{f:trunc1}
    \widetilde{X}_{\bm{j}}=X_{\bm{j}}\chi\{|X_{\bm{j}}|<\delta n_1^{1/p}n^{1/2}\}, \quad
    X_{\bm{j}}':=\widetilde{X}_{\bm{j}}-E\widetilde{X}_{\bm{j}}
    \quad {\bm{1}}\le \bm{j}\le \bm{n}.
\end{align}
Naudojantis \eqref{f:sal1} sąlyga, \eqref{f:konverg/1} galima suvesti į
\begin{align}\label{f:konverg/2} 
    n_1^{-1/p}n_2^{-1/2}\max_{1\le i\le
n_1}\max_{1\le k\le n_2}\Big|\sum_{j=1}^k\widetilde X_{(i, j)}\Big|\cp 0.
\end{align}

Turime
\begin{align*}
    |E\widetilde{X}_{\bm{1}}|=|EX_{\bm{1}}\chi\{|X_{\bm{1}}|>\delta
    n_1^{1/p}n_2^{1/2}\}|&\le \int_{\delta
    n_1^{1/p}n_2^{1/2}}^{\infty}P(|X_{\bm{1}}|>t)dt \\
    &+ \delta n_1^{1/p}n_2^{1/2}P(|X_{\bm{1}}|>\delta n_1^{1/p}n_2^{1/2})
\end{align*}

Toliau laikysime, kad $N:=n_1\wedge n_2$. Tada
\begin{align*}
    \int_{\delta n_1^{1/p}n_2^{1/2}}^{\infty}P(|X_{\bm{1}}|>v)dv & =
     n_1^{1/p-1}\int_{\delta
     n_2^{1/2}}^{\infty}v^2n_1P(|X_{\bm{1}}|>vn_1^{1/p})v^{-2}dv \\
     &\le n_1^{1/p-1}\sup_{u\ge N}\sup_{v\ge
     N}uvP(|X_{\bm{1}}|>u^{1/p}v^{1/2})
     \int_{\delta n_2^{1/2}}^{\infty} v^{-2}dv \\
     &\le \delta c(N) n_1^{1/p-1}n_2^{-1/2},
\end{align*}
čia
\begin{align*}
    c(N)=\sup_{u\ge N}\sup_{v\ge N}uvP(|X_{\bm{1}}|>u^{1/p}v^{1/2}).
\end{align*}

Taigi
\begin{align} \label{f:eqiv}
    |E\widetilde{X}_{\bm{1}}| \le \delta c(N) n_1^{1/p-1}n_2^{-1/2} + \delta
    n_1^{1/p}n_2^{1/2}P(|X_{\bm{1}}|>\delta n_1^{1/p}n_2^{1/2}).
\end{align}
ir
\begin{align*}
    n_1^{-1/p}n_2^{1/2}|E\widetilde{X}_{\bm{1}}|\to 0, \text{ kai }
    \bm{n}\to\infty,
\end{align*}
nes iš \eqref{f:sal1} išplaukia, kad $c(N)\to\infty$ kai $\bm{n}\to\infty$.

Taigi \eqref{f:konverg/2} susiveda į
\begin{align} \label{f:konverg/3} 
    n_1^{-1/p}n_2^{-1/2}\max_{1\le i\le n_1}\max_{1\le k\le
    n_2}\Big|\sum_{j=1}^kX'_{(i, j)}\Big|\cp 0.
\end{align}

Pasinaudoję Doob'o ir Rosenthal'io nelygybėmis  ir imdami  $q>p$, su   kiekvienu
$\eps>0$ gauname
\begin{align*}
    & P(n_1^{-1/p}n_2^{-1/2}\max_{1\le k \le n_2}\max_{1\le
    i\le n_1}\biggl|\sum_{j=1}^{k}X_{(i,j)}'\biggr|>
    \eps) \\
    & \le n_1P(n_1^{-1/p}n_2^{-1/2}\max_{1\le k\le
    n_2}\biggl|\sum_{j=1}^{k}X_{(1,j)}'\biggr|>   \eps )\\
    & \le n_1\eps^{-q}n_1^{-q/p}n_2^{-q/2}E\biggl|\sum_{j=1}^{n_2}X_{(1,j)}'\biggr|^q\\
    & \le  \eps^{-q}n_1^{1-q/p}n_2^{-q/2}
    c\biggl(\biggl(\sum_{j=1}^{n_2}EX_{(1,j)}'^2\biggr)^{q/2} +
    \sum_{j_2=1}^{n_2}E|X_{(1,j)}'|^q \biggr)\\
%    & \le \eps^{-q}n_1^{1-q/p} n_2^{-q/2}c(n_2^{q/2}
%    +n_2E|\widetilde{X}_{\bm{1}}|^q)\\
    & \le c\eps^{-q}(n_1^{1-q/p} +n_1^{1-q/p}n_2^{1-q/2}E|\widetilde{X}_{\bm{1}}|^q)
\end{align*}
Pastebėkime, kad
\begin{align}\label{f:qmom}
    E|\widetilde{X}_{\bm{1}}|^q & \le \int_0^{\delta
    n_1^{1/p}n_2^{1/2}}u^{q-1}P(|X_{\bm{1}}|>u)du \notag \\
    & \le n_2^{q/2-1}\int_0^{\delta
    n_1^{1/p}}n_2u^pP(|X_{\bm{1}}|>un_2^{1/2})u^{q-1-p}du \notag\\
      &\le n_2^{q/2-1}\sup_{v\ge N}\sup_{u\le
    n_1}uvP(|X_{\bm{1}}|>u^{1/p}v^{1/2})\int_0^{\delta
    n_1^{1/p}}u^{q-p-1}du \notag\\
    &\le c_1(N)\delta^{q-p}n_1^{q/p-1}n_2^{q/2-1},
\end{align}
čia
\begin{align*}
    c_1(N) =\sup_{v\ge N}\sup_{u\le n_1}uvP(|X_{\bm{1}}|>u^{1/p}v^{1/2}).
\end{align*}
Turime
\begin{align*}
    c_2(N)&=\sup_{v\ge N}\sup_{1\le u\le N}uvP(|X_{\bm{1}}|>u^{1/p}v^{1/2})
    =\sup_{t\ge Nu^{2/p}}\sup_{1\le u\le N} tu^{1-2/p}P(|X_{\bm{1}}|>t^{1/2})\\
    &\le \sup_{t\ge N}N^{1-2/p}tP(|X_{\bm{1}}|>t^{1/2})
    = \sup_{v\ge N^{1-2/p}}NvP(|X_{\bm{1}}|>v^{1/2}N^{1/p})\\
    &\le\sup_{u\ge N}\sup_{v\ge N^{1-2/p}}uvP(|X_{\bm{1}}|>u^{1/p}v^{1/2})\\
    &\le \sup_{u\ge N^{1-2/p}}\sup_{v\ge
    N^{1-2/p}}uvP(|X_{\bm{1}}|>u^{1/p}v^{1/2})\to 0, \text{ kai }
    \bm{n}\to\infty,
\end{align*}
dėl to, kad teisinga \eqref{f:sal1} bei $p>2$. Kadangi
iš $uvP(|X_{\bm{1}}|>u^{1/p}v^{1/2})\to0$, kai $u\wedge v\to\infty$ išplaukia,
kad $vP(|X_{\bm{1}}|>v^{1/2})\to0$, kai $v\to\infty$, turime
\begin{align*}
    c_3(N)=\sup_{v\ge N}\sup_{0\le u\le 1}uvP(|X_{\bm{1}}|>u^{1/p}v^{1/2})\to 0,
    \text{ kai } N\to\infty.
\end{align*}
Kadangi
\begin{align*}
    c_1(N)\le c_3(N)+c_2(N)+c(N),
\end{align*}
tai $c_1(N)\to 0$, kai $\bm{n}\to\infty$. Imdami $q>p$, gauname
\begin{align*}
    n_1^{1-q/p}n_2^{1-q/2}E|\widetilde{X}|^q\to 0, \text{ kai } \bm{n}\to\infty
\end{align*}
ir
\begin{align*}
    n_1^{-1/p}n_2^{-1/2}\max_{1\le k \le n_2}\max_{1\le i\le
    n_1}\biggl|\sum_{j=1}^{k}X_{(i,j)}'\biggr|\cp 0, \text{ kai } \bm{n}\to\infty
\end{align*}
Taigi \eqref{f:konverg/3} teisinga, o tai užbaigia lemos įrodymą.
\end{proof}

%\subsection{Teoremos įrodymas}
Įrodę lemą galime pateikti teoremos įrodymą.
\begin{proof}\textit{Būtinumas.} Kiekvienam $\bm{k}=(k_1,k_2)\le \bm{n}=(n_1,n_2)$ teisinga
lygybė
\begin{align*}
    X_{\bm{k}}&=(S_{(k_1,k_2)}-S_{(k_1-1,k_2)})-(S_{(k_1,k_2-1)}-S_{(k_1-1,k_2-1)}),\\
\end{align*}
čia $S_{\bm{k}}:=\sum_{\bm{j}\le \bm{k}}X_{\bm{j}}$.

Remiantis tolydaus atvaizdžio teorema, bei tuo, kad
$(n_1n_2)^{-1/2}\xi_{\bm{n}}$ silpnai konverguoja, turime, kad kiekvienam $\delta>0$
\begin{align}
    \label{f:contmap}
    \wab{(n_1n_2)^{-1/2}\xi_{\bm{n}}}\xrightarrow{\mathcal{D}}\wab{W_2},\text{
    kai } n_1\wedge n_2
    \to \infty
 \end{align}

Kiekvienam $\bm{n}$ tenkinančiam sąlygą $|\bm{1}/\bm{n}|<\delta$ turime
\begin{align*}
    P(n_1^{-1/p} & n_2^{-1/2} \max_{{\bm{1}}\le \bm{k}\le
    \bm{n}}|X_{\bm{k}}|>t) \le\\
    & \le P\Bigl((n_1n_2)^{1/2}\max_{{\bm{1}}\le \bm{k}\le
    \bm{n}}\dfrac{|S_{(k_1,k_2)}-S_{(k_1-1,k_2)})-(S_{(k_1,k_2-1)}-S_{(k_1-1,k_2-1)})|}{1/n_1^\alpha}>t\Bigr)\\
    & \le
    P\Bigl(2(n_1n_2)^{1/2}\max_{|k_1-l_1|=1,k_2=l_2}\dfrac{|S_{\bm{k}}-S_{\bm{l}}|}{|(\bm{k}-\bm{l})/\bm{n}|^\alpha}>t\Bigr)\\
    & \le
    P\Bigl(2(n_1n_2)^{1/2}\max_{|\frac{\bm{k}-\bm{l}}{\bm{n}}|=|\frac{\bm{1}}{\bm{n}}|}\dfrac{|S_{\bm{k}}-S_{\bm{l}}|}{
    |(\bm{k}-\bm{l})/\bm{n}|^\alpha}>t\Bigr)\\
    & \le
    P\Bigl(2(n_1n_2)^{1/2}\max_{|\frac{\bm{k}-\bm{l}}{\bm{n}}|<
    \delta}\dfrac{|S_{\bm{k}}-S_{\bm{l}}|}{|(\bm{k}-\bm{l})/\bm{n}|^\alpha}>t\Bigr)\\
    & \le P(\wab{(n_1n_2)^{1/2}\xi_{\bm{n}}}>t/2).
\end{align*}

Remiantis \eqref{f:contmap} konvergavimu
\begin{align*}
    \limsup_{n_1\wedge n_2\to \infty}P(\wab{(n_1n_2)^{1/2}\xi_{\bm{n}}}>t/2)
    \le P(\wab{W_2}>t/2).
\end{align*}

Iš to išplaukia, kad su kiekvienu $\delta>0$
\begin{align*}
    P(n_1^{-1/p} n_2^{-1/2} \max_{{\bm{1}}\le \bm{k}\le
    \bm{n}}|X_{\bm{k}}|>t)   \le P(\wab{W_2}>t/2).
\end{align*}

Kadangi $W_2$ yra erdvės $\ab{H}^o(T)$ atsitiktinis elementas, tai 
beveik visoms $W_2$ trajektorijoms
\begin{align*}
    \lim_{\delta\to0}\wab{W_2(t)}=0
\end{align*}
dėl to $P(\wab{W_2}>t/2)\to 0$, kai $\delta\to0$. 

Iš to išplaukia, kad
\begin{align}\label{f:pnm}
    1-(1-P(|X_{\bm{1}}|>n_1^{1/p}n^{1/2}))^{n_1n_2} \to 0, \text{ kai }
    n_1\wedge n_2\to\infty,
\end{align}

Pažymėkime $p_{n_1n_2}:=P(|X_{\bm{1}}|>n_1^{1/p}n^{1/2}))$. Tada
\begin{align*}
    p_{n_1n_2}\to 0, \text{ kai } n_1\wedge n_2\to\infty,
\end{align*}
taipogi
\begin{align*}
    \exp\{n_1n_2\log(1-p_{n_1n_2})\}=
    \exp\{n_1n_2(-p_{n_1n_2}+o(p_{n_1n_2})\}, \text{ kai } p_{n_1n_2}\to 0.
\end{align*}

Iš \eqref{f:pnm} išplaukia, kad 
\begin{align*}
   1-\exp\{n_1n_2\log(1-p_{n_1n_2})\}=o(1), \text{ kai } n_1\wedge n_2\to\infty,
\end{align*}
vadinasi
\begin{align*}
    n_1n_2p_{n_1n_2}=o(1), \text{ kai } n_1\wedge n_2\to\infty
\end{align*}

\eqref{f:sal1} sąlygos būtinumas įrodytas.

\noindent\textit{Pakankamumas.} Kadangi iš \eqref{f:sal1} išplaukia \eqref{f:momentcond}
ir $4p/(p+2)>2$ tai $EX_{\bm{1}}^2<\infty$. Toliau laikysime, kad
$EX^2_{{\bm{1}}}=1$. Tada $((n_1n_2)^{-1/2}\xi_{\bm{n}})$ baigtiniamačių
skirstinių konvergavimas į  $W_2$ baigtiniamačius pasiskirstymus išplaukia iš
\cite{Erickson:1981} darbo 7.4 teoremos . Taigi liko patikrinti
(ii) ir (iii) teoremos \ref{t:tight} sąlygas.

Pastebėję, kad
\begin{align*}
    P(\sup_{\bm{t}\in T}|(n_1n_2)^{-1/2}\xi_{\bm{n}}(\bm{t})|>a) & =
    P(\max_{{\bm{1}}\le \bm{j}\le
    \bm{n}}|(n_1n_2)^{-1/2}S_{\bm{j}}|>a)
\end{align*}
bei pasinaudoję \eqref{n:Doob} Doob'o nelygybe,
turime
\begin{align*}
   P(\max_{{\bm{1}}\le \bm{j}\le
   \bm{n}}|(n_1n_2)^{-1/2}S_{\bm{j}}|>a)&\le
   a^{-2}(n_1n_2)^{-1}E\max_{\bm{1}\le \bm{j}\le \bm{n}}S_{\bm{j}}^2 \\
   &\le  4a^{-2}(n_1n_2)^{-1}ES_{\bm{n}}^2=4a^{-2}\to 0, \text{ kai } a\to \infty
\end{align*}
Taigi antra teoremos \ref{t:tight} sąlyga įrodyta.

Iš $\lambda_{j,\bm{v}}(\xi_{\bm{n}})$ apibrėžimo išplaukia, kad
\begin{align*}
    \max_{v\in V_j}|\lambda_{j,\bm{v}}(\xi_{\bm{n}})|\le \max_{\substack{0\le k\le 2^j-1\\ 0\le
     l \le 2^j}}|\xi_{\bm{n}}(t_{k+1},s_l)-\xi_{\bm{n}}(t_k,s_l)|+\max_{\substack{0\le k\le 2^j\\ 0\le
     l \le 2^j-1}}|\xi_{\bm{n}}(t_{k},s_{l+1})-\xi_{\bm{n}}(t_k,s_l)|,
\end{align*}
čia $t_k=k2^{-j}$ and $s_l=l2^{-j}$. Taigi užtenka nagrinėti sumavimo proceso
skirtumus, kai vienas argumentas yra pastovus. Vadinasi (iii) sąlyga bus
patenkinta, kai su kiekvienu $\eps>0$
\begin{align}\label{f:newiiia}
    \lim_{J\to\infty}\limsup_{\bm{n}\to\infty}P(\sup_{j\ge J}2^{\alpha
     j}(n_1n_2)^{-1/2}\max_{\substack{0\le k\le 2^j-1\\ 0\le
     l \le 2^j}}|\xi_{\bm{n}}(t_{k+1},s_l)-\xi_{\bm{n}}(t_k,s_l)|>\eps)=0\\
    \lim_{J\to\infty}\limsup_{\bm{n}\to\infty}P(\sup_{j\ge J}2^{\alpha
     j}(n_1n_2)^{-1/2}\max_{\substack{0\le k\le 2^j\\ 0\le
     l \le 2^j-1}}|\xi_{\bm{n}}(t_{},s_{l+1})-\xi_{\bm{n}}(t_k,s_l)|>\eps)=0\label{f:newiiib}
\end{align}


Tikimybę \eqref{f:newiiia} pažymėkime $P$. Remiantis \ref{l:psizeta} lema
turime
\begin{align*}
   P\le P\Big(\sup_{j\ge J}2^{\alpha
    j}(n_1n_2)^{-1/2}\max_{0\le k \le 2^j-1}
    \Big[\min\{1,[n_1(t_{k+1}-t_k)]\}\psi_{\bm{n}}(t_{k+1},t_k)\\
    +2\min\{1,n(t_{k+1}-t_k)\}\zeta_{n_1,n_2}\Big]>\eps\Big). 
\end{align*}

Jei $j>\log n_1$, tai  $[n_1(t_{k+1}-t_k)]=0$, todėl naudojantis 
\ref{l:psizeta} lema \eqref{f:newiiia} susiveda į
\begin{align}\label{f:newiii2}
   \lim_{J\to\infty}\limsup_{\bm{n}\to\infty} P\Big(\sup_{J\le j \le \log n_1 }2^{\alpha
    j}(n_1n_2)^{-1/2}\Big[\max_{0\le k \le
    2^j-1}\psi_{\bm{n}}(t_{k+1},t_k)+2\zeta_{n_1,n_2}\Big]>\eps\Big)=0
\end{align}
Iš tos pačios lemos išplaukia, kad
\begin{align*}
    P(\sup_{J\le j \le \log n_1 }2^{\alpha
   j}(n_1n_2)^{-1/2}\zeta_{n_1,n_2}>\eps)\le P(n_1^{-1/p}n_2^{-1/2}\zeta_{n_1,n_2}>\eps)\to 0,
   \text{ kai } n_1\wedge n_2\to\infty.
\end{align*}
Taigi \eqref{f:newiii2} tampa
\begin{align}\label{f:newiii3}
    \lim_{J\to\infty}\limsup_{\bm{n}\to\infty} P\Big(\sup_{J\le j \le \log n_1 }2^{\alpha
    j}(n_1n_2)^{-1/2}\max_{0\le k \le  2^j-1}\psi_{\bm{n}}(t_{k+1},t_k)>\eps\Big)=0
\end{align}

Tikimybę lygybėje \eqref{f:newiii3} pažymėkime \eqref{f:newiii3} $P(J,\bm{n},\eps)$. 
Įsistatę $\psi_{\bm{n}}(t_{k+1},t_k)$ išraišką gauname
\begin{align*}
    P(J,\bm{n},\eps)\le P_{1}+P_{2}
\end{align*}
čia
\begin{align*}
   P_{1} & :=P(\sup_{J\le j \le \log n_1 }2^{\alpha
   j}(n_1n_2)^{-1/2}\max_{0\le k \le 2^j-1}\max_{1\le l\le
   n_2}\Big|\sum_{i=[nt_k]+1}^{[nt_{k+1}]}\sum_{j=1}^{l}X_{(i,j)}\Big|>\eps/2 )  \\
   P_{2} & :=P(\sup_{J\le j \le \log n_1 }2^{\alpha
   j}(n_1n_2)^{-1/2}\max_{0\le k \le 2^j-1}\max_{1\le l\le
   n_2}\Big|\sum_{i=[nt_k]+1}^{[nt_{k+1}]}X_{(i,l)}\Big|>\eps/2 ) 
\end{align*}

\textit{$P_{1}$ vertinimas.} Pažymėkime $u_k=[n_1t_k]$ ir $v_l=[n_2s_l]$.
Iš \eqref{f:sal1} sąlygos išplaukia, kad užtenka patikrinti 
\begin{align*}
    \hat{P}_{1}':= P(\sup_{J\le j \le \log n_1 }2^{\alpha j}
    (n_1n_2)^{-1/2}\max_{0\le k \le 2^j-1}\max_{1\le l\le
   n_2}\biggl|\sum_{j=1}^{l}\sum_{i=u_k+1}^{u_{k+1}}\widetilde{X}_{(i,j)}\biggr|>\eps/2)\to
   0, \text{ kai } \bm{n}\to \infty
\end{align*}

Dėl \eqref{f:eqiv} dideliems $J$ ir $N=n_1\wedge n_2$ gauname
\begin{align*}
     2^{-J(1-\alpha)}(n_1n_2)^{1/2}|E\widetilde{X}_{\bm{1}}| \le \eps/4.
\end{align*}
Taigi
\begin{align*}
    P_{1}'& \le P(\sup_{J\le j \le \log n_1 }2^{\alpha j}
    (n_1n_2)^{-1/2}\max_{0\le k \le 2^j}\max_{1\le l\le
   n_2}\biggl|\sum_{j=1}^{l}\sum_{i=u_k+1}^{u_{k+1}}X_{(i,j)}'\biggr|>\eps/4)  \\
    & \le \sum_{j=J}^{\log n_1}P(2^{\alpha j}
    (n_1n_2)^{-1/2}\max_{0\le k \le 2^j}\max_{1\le l\le
   n_2}\biggl|\sum_{j=1}^{l}\sum_{i=u_k+1}^{u_{k+1}}X_{(i,j)}'\biggr|>\eps/4)   \\
    & \le \sum_{j=J}^{\log n_1} 2^{q\alpha
    j}(n_1n_2)^{-q/2}(\eps/4)^{-q}2^j
    E\max_{1\le l \le
    n_2}\biggl|\sum_{j=1}^{l}\sum_{i=u_k+1}^{u_{k+1}}X_{(i,j)}'\biggr|^q
\end{align*}

Pasinaudojus Doob'o ir Rosenthal'io nelygybėmis gauname
\begin{align*}
    E\max_{1\le l \le
    n_2}\biggl|\sum_{j=1}^{l}\sum_{i=u_k+1}^{u_{k+1}}X_{(i,j}'\biggr|^q & \le
    E\biggl|\sum_{j=1}^{n_2}\sum_{i=u_k+1}^{u_{k+1}}X_{(i,j)}'\biggr|^q   \\
    & \le c \biggl(
    \biggl(\sum_{j=1}^{n_2}E\biggl|\sum_{i=u_k+1}^{u_{k+1}}X'_{(i,j)}\biggr|^2\biggr)^{q/2}
    +\sum_{j=1}^{n_2}E\biggl|\sum_{i=u_k+1}^{u_{k+1}}X'_{(i,j)}\biggr|^q
    \biggr)
\end{align*}

Vėl pritaikę Rosenthal'io nelygybę gauname
\begin{align*}
    \mathbf{E}\biggl|\sum_{j_1=u_k+1}^{u_{k+1}}X'_{j}\biggr|^2&\le u_{k+1}-u_k \le
    n_12^{-j}\\
    \mathbf{E}\biggl|\sum_{j_1=u_k+1}^{u_{k+1}}X'_{j}\biggr|^q &\le
    c\biggl(\biggl(\sum_{j_1=u_k+1}^{u_{k+1}}\mathbf{E}|X'_{j}|^2\biggr)^{q/2}
    +\sum_{j_1=u_k+1}^{u_{k+1}}\mathbf{E}|X'_{j}|^q \biggr)\\
    & \le c( (n_12^{-j})^{q/2}+n_12^{-j}\mathbf{E}|\tilde{X}_{\bm{1}}|^q),
\end{align*}
nes $u_{k+1}-u_k \le n_12^{-j}$. 

Taigi
\begin{align*}
   P_{1}' & \le \sum_{j=J}^{\log n_1} 2^{q\alpha
   j+1}(n_1n_2)^{-q/2}(\eps/16)^{-q}c\biggl(
   \biggl(\frac{n_1n_2}{2^j}\biggr)^{q/2}
   + c\biggl(n_2\biggl(\frac{n_1}{2^j} \biggr)^{q/2}
   +\frac{n_1n_2}{2^j}\mathbf{E}|\tilde{X}_{\bm{1}}|^q  \biggr)\biggr)
\end{align*}

Turime
\begin{align*}
    \sum_{j=J}^{\log n_1} 2^{q\alpha
    j+1}(n_1n_2)^{-q/2}\biggl(\frac{n_1n_2}{2^j}\biggr)^{q/2} &=\sum_{j=J}^{\log
    n_1}2^{(1+q\alpha-q/2)J}\le c2^{J(1-q/p)}, \\
    \sum_{j=J}^{\log n_1} 2^{q\alpha j+1}(n_1n_2)^{-q/2}n_2\biggl(\frac{n_1}{2^j}\biggr)^{q/2}
    &=n_2^{1-q/2}\sum_{j=J}^{\log n_1}2^{(1+q\alpha-q/2)J}\le
    cn_2^{1-q/2}2^{J(1-q/p)}, \\
    \sum_{j=J}^{\log n_1} 2^{q\alpha
    j+1}(n_1n_2)^{-q/2}\frac{n_1n_2}{2^j}\mathbf{E}|\tilde{X}_{\bm{1}}|^q
    &= (n_1n_2)^{1-q/2}\mathbf{E}|\tilde{X}_{\bm{1}}|^q\sum_{j=J}^{\log n_1}
    2^{q\alpha j} \notag \\
    &\le c(n_1n_2)^{1-q/2}n_1^{q\alpha}\mathbf{E}|\tilde{X}_{\bm{1}}|^q \notag    \\
    &= cn_1^{1-q/p}n_2^{1-q/2} \mathbf{E}|\tilde{X}_{\bm{1}}|^q.
\end{align*}

Įstatę šias išraiškas gauname
\begin{align*}%\label{f:sum3}
    P_{1}' \le
    (\eps/4)^{-q}c(2^{J(1-q/p)}+n_2^{1-q/2}2^{J(1-q/p)}+n_1^{1-q/p}n_2^{1-q/2}
    E|\widetilde{X}_{\bm{1}}|^q).
\end{align*}
Imdami $q>p$ bei pasinaudoję \eqref{f:qmom} įverčiu gauname, kad
\begin{align*}
    \lim_{J\to\infty}\limsup_{\bm{n}\to\infty}P_{1}=0.
\end{align*}
Analogiškai gauname, kad 
\begin{align*}
   \lim_{J\to\infty}\limsup_{\bm{n}\to\infty}P_{2}=0.
\end{align*}
Taigi \eqref{f:newiii3} teisinga vadinasi teisinga ir \eqref{f:newiiia}.

\eqref{f:newiiib} sąlygos įrodymas yra simetriškas \eqref{f:newiiia} įrodymui.
Taigi teorema įrodyta.
\end{proof}

%\section{Išvados}

\newpage
%\renewcommand{\abstractname}{Abstract}
%\begin{abstract}
\begin{center}
    {\large \textbf{Summary}}
\end{center}

In the paper necessary and sufficient conditions are established
for the weak convergence of double-indexed summation process to
Brownian sheet in some H\"older spaces.
%\end{abstract}
\newpage
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{Wichura:1971}
Bickel, P. J. ir Wichura, M. J. (1971). Convergence criteria for multiparameters
stochastic processes and some application. \textit{Ann. Math.
Statist.} \textbf{42} 1656-1670.
\bibitem{Bilingsley:1968}
    Bilingsley P. (1968). \textit{Convergence of probability measures}. Wiley, New York.
\bibitem{Erickson:1981}
Erickson, R. V. (1981). Lipshitz smoothness and convergence with applications to
the central limit theorem for summation processes. \textit{Ann. Probab.}
\textbf{9}, 831-851.
\bibitem{Kuelbs:1968}
Kuelbs, J. (1968). The invariance principle for a lattice of random variables. \textit{Ann. Math.
Statist.} \textbf{39} 382-389.
\bibitem{Lamperti:1962}
Lamperti, J. (1962). On convergence of stochastic processes.
\textit{Trans. Amer. Math. Soc.} \textbf{104}, 430-435
\bibitem{Rackauskas:2000}
Ra\v ckauskas, A. ir Suquet, Ch. (2000). Existence of versions and central limit
theorems in Hölder topologies for Banach space valued random fields. (preprint)
\textit{Pub. IRMA, Lille} \textbf{50-II}.
\bibitem{Rackauskas:2001}
Ra\v ckauskas, A. ir Suquet, Ch. (2001). Necessary and sufficient condition for
Lamperti invariance principle. \textit{Pub. IRMA, Lille} \textbf{56-III}.
\bibitem{Vaart:1996}
van der Vaart, A.W and Wellner, J.A. (1996). \textit{Weak convergence and empirical
processes.} Springer, New York.
\bibitem{Wichura:1969}
Wichura, M. (1969). Inequalities with applications to the weak convergence of
random processes with multidimensional time parameters. \textit{Ann. Math.
Statist.} \textbf{40} 681-687.
\bibitem{Zemlys:2002}
Zemlys, V. (2002). Hiolderio erdvės. \textit{Bakalauro darbas, VU, MIF.}
\end{thebibliography}
\end{document}
