%\documentclass[pdf,lt,slideColor,colorBG,noaccumulate,nototal,final]{prosper}
%% Norint matyti lietuviskas raides reikia susiinstaliuoti lietuvybes
%% arba unikodo palaikyma. Sitas dokumentas yra standartinėje ISO-8859-13 koduoteje. 
\documentclass[utf8,hyperref={dvips,unicode}]{beamer}
%\documentclass[utf8]{beamer}

\mode<presentation>
{
  \usetheme{Warsaw}
  % or ...
  % \usecolortheme{dove} 

  % or whatever (possibly just delete it)
   \setbeamertemplate{footline}
   {%
     \leavevmode%
    \hbox{\begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.125ex,leftskip=.3cm 	plus1fill,rightskip=.3cm]{author in head/foot}%
    \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
    \end{beamercolorbox}%
    \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.125ex,leftskip=.3cm,rightskip=.3cm plus1fil]{title in head/foot}%
    \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle \hfill p.
	\insertpagenumber\enspace iš \insertdocumentendpage\enspace
    \end{beamercolorbox}}%
  \vskip0pt%
}
%\hfill\insertshorttitle\enspace -- p. \insertpagenumber\enspace iš
%\insertdocumentendpage\enspace%
%   }
    
}
 \setbeamertemplate{navigation symbols}{}



\usepackage[english]{babel}
\usepackage[L7x]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{graphicx}

\newcommand{\ab}[1]{#1_{\alpha}}
\newcommand{\wab}[2][\delta]{w_{\alpha}(#2,#1)}
\newcommand{\normab}[1]{\lVert#1\rVert_{\alpha}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\sprod}[1]{\langle #1 \rangle}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
%\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi)}
\theoremstyle{change}\newtheorem{teorema}{Teiginys}
\theoremstyle{change}\newtheorem{salyga}{}
%	\vspace*{20pt}
%	\vspace*{20pt}

\title[FCRT daugiamačio indekso procesams]{Funkcinė centrinė ribinė teorema daugiamačio indekso sumavimo procesams}
%\shorttitle{FCRT daugiamačio indekso procesams}
\author[Račkauskas, Suquet, Zemlys]{A. Račkauskas\inst{1,3}, Ch. Suquet\inst{2}, V. Zemlys\inst{1,2}}
\institute[Vilnius University] {
    \inst{1}%
    Vilniaus Universitetas
    \and
    \inst{2}%
    Universite des Sciences et Technologies de Lille
    \and	
    \inst{3}%
    Matematikos ir informatikos institutas
}
\date{2006 gegužės 24}

\begin{document}
\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}
%\section{Summation processes}
%\begin{frame}
%    \frametitle{Darbo esmė}
%    \begin{itemize}
%	\item   Papildytas Erickson rezultatas  
%	\item   Apibendrintas Račkausko ir Suquet rezultatas
%
%	\end{itemize}
%\end{frame}
%\section{Apibrėžimai}
%\subsection{Sumavimo procesai}
\begin{frame}
   \frametitle{Vienmatis atvejis}
    Tegu $X_j$, $1\le j\le n$ yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę
    atsitiktiniai dydžiai
     \begin{align*}
	\xi_n(t)=S_{[nt]}+(nt-[nt])X_{[nt]+1},\quad t\in[0,1],
    \end{align*}
    čia
    \begin{align*}
	S_k=X_1+X_2+\ldots+X_k, \quad k=1,2,\ldots
    \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Laužtė} 
    \includegraphics[scale=1]{W10.ps}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Trajektorijų erdvės} 
    \begin{itemize}
	\item<1,3-> $C([0,1])$ -- tolydžių funkcijų aibė su įprastine norma 
	    \begin{align*}
		\|x\|_\infty=\sup_{t\in [0,1]}|x(t)|
	    \end{align*}	
	\pause
	
	\item<2,3-> $H_\rho([0,1])$ -- aibė tolydžių funkcijų tenkinančių $w(x,1)<\infty$, čia
	    \begin{align*}
		w_\rho(x,\delta)=\sup_{|t-s|<\delta}
		\dfrac{|x(t)-x(s)|}{\rho(|t-s|)}.
	    \end{align*}
	    su norma
	    \begin{align*}
	    	\|x\|_\rho:=\|x\|_\infty+w_\rho(x,1)
	    \end{align*}
	    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Funkcinė centrinė ribinė teorema} 
     Funkcinė centrinė ribinė teorema (FCRT) galioja, jei
    \begin{align*}
	    n^{-1/2}\xi_{n}\xrightarrow{\mathcal{D}}W,
		\text{ kai } n\to\infty,
	\end{align*}
	\only<1>{erdvėje $C([0,1])$.}
	\only<2>{erdvėje $H_\rho([0,1])$.}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{FCRT-$C[0,1]$}
    \begin{itemize}
	\item Erdvėje $C[0,1]$, Donskerio-Prochorovo invariantiškumo principas.
	    Būtina ir pakankama sąlyga $EX_1^2<\infty$
	\item Ribinis procesas Brauno judesys.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Perėjimas prie hiolderiškumo} 
    \begin{itemize}
	\item $H_\rho([0,1])$ -- neseparabili. Nagrinėjamas poerdvis 
	    $H^o_\rho([0,1])$, funkcijų tenkinančių sąlygą
	    \begin{align*}
		\lim_{\delta\to0}w(x,\delta)=0
	    \end{align*}
	\item Brauno judesiui teisinga
	    \begin{align*}
		\limsup_{\delta:=|s-t|\downarrow0}\frac{W(t)-W(s)}{(2\delta|\log\delta|)^{1/2}}=1
		\quad \text{b.v.}
	    \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{FCRT-$H_\rho^o([0,1])$} 
    \begin{itemize}
	\item Erdvėje $H^o_\alpha([0,1])$, Lamperti (1962), pakankama sąlyga
	    $E|X_1|^q<\infty$, $q>1/(1/2-\alpha)$, $0<\alpha<1/2$.
    	\item Erdvėje $H^o_\alpha([0,1])$, Račkauskas-Suquet. Būtina ir
	    pakankama sąlyga
	    \begin{align*}
		\lim_{t\to\infty}t^{1/(1/2-\alpha)}P(|X_1|>t)=0
	    \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Bendresnė sumavimo proceso konstrukcija}
    %\vspace*{20pt}
    \begin{itemize}
	\item ($X_{\bm{j}}$, $\bm{j}\in \mathbb{N}^d$) -- nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai su nuliniu vidurkiu. 
	    \vspace*{10pt}
	\item $\bm{n}=(n_1,\ldots,n_d)$,  
	    \begin{align*}
		\xi_{\bm{n}}(\bm{t})=\sum_{\bm{j}\le \bm{n}}|R_{\bm{n},\bm{j}}|^{-1}|R_{\bm{n},\bm{j}}\cap
	  [0,t_1]\times\dots\times[0,t_d]|X_{\bm{j}},
	    \end{align*}
	    čia
	    \begin{align*}
	    R_{\bm{n},\bm{j}} := [(j_1-1)/n_1, j_1/n_1]\times\cdots\times
[(j_d-1)/n_d, j_d/n_d].
	    \end{align*}
   \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Vienmatis atvejis} 
    \begin{itemize}
	\item<1-> $\bm{n}=(n)$, $R_{n,j}=[(j-1)/n,j/n]$
	    
	    \begin{align*}
		|R_{n,j}\cap[0,t]|=((t-(j-1/n))\vee 0)\wedge 1/n
	    \end{align*}
	\item<2->  
	    \begin{align*}
		\xi_n(t)=S_{[nt]}+n(t-[nt]/n)X_{[nt]+1},\quad t\in[0,1]
	    \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Reikšmės gardelėje} 
    \begin{itemize}
	\item<1-> $\bm{t}=\bm{i}/\bm{n}=(i_1/n_1,\dots,i_d/n_d)$
	    \begin{align*}
		|R_{\bm{n},\bm{j}}\cap[0,\bm{t}]|=
		\begin{cases}
		    (n_1\dots n_d)^{-1}, \text{ jei } \bm{j}\le \bm{i},\\
		    0, \text{ kitais atvejais}
		\end{cases}
	    \end{align*}
	\item<2->
	    \begin{align*}
		\xi_{\bm{n}}(\bm{t})=\sum_{\bm{j}\le
		\bm{n}}|R_{\bm{n},\bm{j}}|^{-1}|R_{\bm{n},\bm{j}}\cap[0,\bm{t}]|X_{\bm{j}}=\sum_{\bm{j}\le\bm{i}}X_{\bm{j}}=S_{[\bm{n}\bm{t}]}
	    \end{align*}
    \end{itemize}
    \end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Dvimatis atvejis $A=[0,t_1]\times[0,t_2]$}
    \includegraphics[scale=1]{net.ps}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Dvimatis atvejis $A=[0,t_1]\times[0,t_2]$}
    \includegraphics[scale=1]{W10x10.ps}
\end{frame}

%\begin{frame}
%    \frametitle{Vienmačio atvejo apibendrinimas}
%    %\vspace*{20pt}
%       \begin{align*}
%        \xi_{\bm{n}}(\bm{t})=\sum_{\bm{j}\le \bm{n}}|R_{\bm{n},\bm{j}}|^{-1}|R_{\bm{n},\bm{j}}\cap
%	  A|X_{\bm{j}},
%	 \end{align*}
%    \begin{itemize}
%	\item Imant $A=[0,t]$ susiveda į vienmatį atvejį
%    \end{itemize}
%\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Funkcinė centrinė ribinė teorema} 
     Funkcinė centrinė ribinė teorema (FCRT) galioja, jei
    \begin{align*}
	    (n_1\cdots n_d)^{-1/2}\xi_{\bm{n}}\xrightarrow{\mathcal{D}}W,
		\text{ kai } m(\bm{n})\to\infty.
	\end{align*}
	\only<1>{erdvėje $C([0,1]^d)$,}
	\only<2>{erdvėje $H^o_\alpha([0,1]^d)$,}	
	čia $m(\bm{n}):=n_1\wedge\ldots\wedge n_d$. 
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Ribinis procesas} 
    \begin{itemize}
	\item  $W$ -- Vynerio paklodė (sheet).	
	    $W(\bm{t})$ -- normalusis su $EW(\bm{t})=0$ ir
	    $EW(\bm{t})W(\bm{s})=(t_1\wedge s_1)\dots(t_d\wedge s_d)$,
	    $\bm{t},\bm{s}\in[0,1]^d$.
	\item Kai $d=1$ įprastas Brauno judesys.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Vynerio paklodės trajektorija} 
    \includegraphics{W60x60r.ps}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Hiolderio erdvė atveju $[0,1]^d$} 
    \begin{itemize}
    \item $H_\rho([0,1]^d)$ -- aibė tolydžių funkcijų tenkinančių $w(x,1)<\infty$, čia
	    \begin{align*}
		w_\rho(x,\delta)=\sup_{|\bm{t}-\bm{s}|<\delta}
		\dfrac{|x(\bm{t})-x(\bm{s})|}{\rho(|\bm{t}-\bm{s}|)},
	    \end{align*}
	    čia $|\bm{t}|=|t_1\vee\dots\vee t_d|$,
	    su norma
	    \begin{align*}
	    	\|x\|_\rho:=\|x\|_\infty+w_\rho(x,1)
	    \end{align*}
    \end{itemize}

\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{FCRT-$H^o_\alpha([0,1]^d)$} 
    %\begin{itemize}
    %\item 
    \begin{salyga}   
	   Erickson (1983). FCRT galioja erdvėje $H_\alpha([0,1]^d,\mathbb{R})$, jei 
	    $E|X|^q<\infty$, kai $q>\frac{d}{1/2-\alpha}$, $0<\alpha<1/2$.
        \end{salyga}
%     \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
    \frametitle{Motyvacija} 
    \begin{itemize}
	\item<1-> Apibendrinti Račkausko-Suquet rezultatus
	    \begin{itemize}
		\item<2-> FCRT-$H^o_\alpha([0,1]^d,\mathbb{R})$
		\item<3-> FCRT-$H^o_\alpha([0,1]^d,\mathbb{H})$
	    \end{itemize}
  
	\item<4-> Rasti būtinas ir pakankamas sąlygas FCRT.
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Ankstesni rezultatai} 
    \begin{itemize}
	\item<1-> FCRT-$H^o_\alpha([0,1]^2,\mathbb{R})$
	    \begin{itemize}
		\item<2-> Magistrinis darbas (2004)
		\item<3-> Pranešimas LMD konferencijoje(2004)	
		\item<4-> Straipsnis LMR (2005)
		\item<5-> Pranešimas SPRF konferencijoje (2006)
	    \end{itemize}
	\item<6-> FCRT-$H^o_\alpha([0,1]^d,\mathbb{R}$, pranešimas LMD
	    konferencijoje (2005).
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Paskelbtas rezultatas}
    \begin{align*}
	(n_1n_2)^{-1/2}\xi_{\bm{n}} \xrightarrow[n_1\wedge n_2 \to
	\infty]{\mathcal{D}} W \text{ erdvėje } \ab{H}^o\bigl([0,1]^2\bigr),
    \end{align*}
    
    \vspace*{15pt}
    
    tada ir tik tada, kai
    
    \vspace*{5pt}
   
    \begin{align*}
	    n_1n_2\mathbf{P}\bigl(|X_{\bm{1}}|>n_1^{1/p}n_2^{1/2}\bigr)\to 0,
	    \text{ kai } n_1\wedge n_2 \to \infty,
	   \end{align*}
	   čia $p=1/(1/2-\alpha)$.
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Perėjimas prie dvimačio atvejo} 
    \begin{itemize}
	\item<1-> Vienmatis atvejis, $1/p=1/2-\alpha$
	    \begin{align*}
		\lim_{n\to\infty}n\mathbf{P}(|X_1|>n^{1/p})=0
	    \end{align*}
	\item<2-> Dvimatis atvejis, $1/p=1/2-\alpha$
	    \begin{align*}
		\lim_{n_1\wedge
		n_2\to\infty}n_1n_2\mathbf{P}(|X_1|>n_1^{1/p}n_2^{1/2})=0
	    \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Būtinumas}
	Turime 
\begin{align*}
    X_{\bm{k}}&=(S_{(k_1,k_2)}-S_{(k_1-1,k_2)})-(S_{(k_1,k_2-1)}-S_{(k_1-1,k_2-1)}),\\
\end{align*}
todėl	
\begin{align*}
    &P(n_1^{-1/p}  n_2^{-1/2} \max_{{\bm{1}}\le \bm{k}\le
    \bm{n}}|X_{\bm{k}}|>t)   \\
	& \le
    P\Bigl(2(n_1n_2)^{1/2}\max_{|\frac{\bm{k}-\bm{l}}{\bm{n}}|=
    |\frac{\bm{1}}{\bm{n}}|}\dfrac{|S_{\bm{k}}-S_{\bm{l}}|}{
    |(\bm{k}-\bm{l})/\bm{n}|^\alpha}>t\Bigr)\nonumber\\
 & \le P(\wab{(n_1n_2)^{1/2}\xi_{\bm{n}}}>t/2)
\end{align*}
\end{frame}

  
\begin{frame}
    \frametitle{Naujas rezultatas} 
     \begin{teorema}
	\begin{align*}
	(n_1\dots n_d)^{-1/2}\xi_{\bm{n}} \xrightarrow[m(\bm{n}) \to
	\infty]{\mathcal{D}} W \text{ erdvėje } \ab{H}^o([0,1]^d),
   \end{align*}
    
    %\vspace*{15pt}
    
    tada ir tik tada, kai
    
    %\vspace*{5pt}
   
   \begin{align*}
	    n_1\dots n_d\mathbf{P}\bigl(|X_{\bm{1}}|>n_1^{1/p}n_2^{1/2}\dots
	    n_d^{1/2}\bigr)\to 0, \text{ kai } m(\bm{n}) \to \infty.
    \end{align*},
    čia $m(\bm{n})=n_1\wedge\dots\wedge n_d$, $p=1/(1/2-\alpha)$.
    
   \end{teorema}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Fiksuotos trajektorijos} 
    \begin{itemize}
	\item Fiksuotai trajektorijai $\bm{n}=(n,\dots,n)$ gauname sąlygą:
	    \begin{align*}
		\lim_{t\to\infty}t^{\frac{d}{d/2-\alpha}}\mathbf{P}(|{X_{\bm{1}}}|\ge t)=0,
	    \end{align*}
	\item Trajektorijai $n_1^{1/p}=n_2^{1/2}$ gauname sąlygą:
	    \begin{align*}
		\lim_{t\to\infty}t^{1+p/2}\mathbf{P}(|{X_{\bm{1}}}|\ge t)=0,
	    \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Ekvivalenti sąlyga} 
    Sąlyga
    \begin{align*}
		    n_1\dots n_d\mathbf{P}\bigl(|X_{\bm{1}}|>n_1^{1/p}n_2^{1/2}\dots
	    n_d^{1/2}\bigr)\to 0, \text{ kai } m(\bm{n}) \to \infty.
    \end{align*}
    yra ekvivalenti sąlygai
    \begin{align*}
	\sup_{t>0} t^p\mathbf{P}(|X_{\bm{1}}|>t)<\infty
    \end{align*}
    kai $d>1$.
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Palyginimas} 
    $p=1/(1/2-\alpha)$
    \begin{itemize}
	\item<1-4,6-> Ericksono sąlyga:  $E|X_1|^q<\infty$,   when $q>d/(1/2-\alpha)$.
	\item<2-3,5-> Račkausko ir Suquet sąlyga ($d=1$): $\lim t^p\mathbf{P}(|X_{\bm{1}}|>t)=0$
	\item<3-> Ekvivalenčios sąlygos
		    \begin{align*}
			\lim_{m(\bm{n})\to\infty}n_1\dots
			n_dP(|X_{\bm{1}}|>n_1^{1/p}n_2^{1/2}\dots
			n_d^{1/2})=0
		    \end{align*}
		    ir
		    \begin{align*}
			\sup_{t>0}t^pP(|X_{\bm{1}}|>t)<\infty \quad (d>1)	
		    \end{align*}
    \end{itemize}
    \begin{enumerate}
	\item<4,6-> Reikia $d$ „mažiau“ momentų.
	\item<5-> Užtenka silpno momento.
    \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Bendriausia sumavimo proceso konstrukcija}
    %\vspace*{20pt}
    \begin{itemize}
	\item ($X_{\bm{j}}$, $\bm{j}\in \mathbb{N}^d$) -- nepriklausomi vienodai pasiskirstę 	    atsitiktiniai dydžiai su nuliniu vidurkiu. 
	    \vspace*{10pt}
	\item $\bm{n}=(n_1,\ldots,n_d)$, $A$ -- $[0,1]^d$ Borelio poaibis 
	    \begin{align*}
	    \xi_{\bm{n}}(A)=\sum_{\bm{j}\le \bm{n}}|R_{\bm{n},\bm{j}}|^{-1}|R_{\bm{n},\bm{j}}\cap
	  A|X_{\bm{j}},
	    \end{align*}
	    čia
	    \begin{align*}
	    R_{\bm{n},\bm{j}} := [(j_1-1)/n_1, j_1/n_1]\times\cdots\times
[(j_d-1)/n_d, j_d/n_d].
	    \end{align*}
   \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Aibių kolekcijų pavyzdžiai} 
    \begin{itemize}
	\item
	    $\mathcal{A}=\{[0,\bm{t}]=[0,t_1]\times\dots\times[0,t_d],\bm{t}\in[0,1]^d\}$
	\item $[0,1]^d$ iškilieji poaibiai
	\item Vapnik-Červonenkis klasės
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Funkcinė centrinė ribinė teorema} 
     Funkcinė centrinė ribinė teorema (FCRT) galioja, jei
    \begin{align*}
	    (n_1\cdots n_d)^{-1/2}\xi_{\bm{n}}\xrightarrow{\mathcal{D}}W,
		\text{ kai } m(\bm{n})\to\infty.
	\end{align*}
	tam tikroje trajektorijų erdvėje,    čia $m(\bm{n}):=n_1\wedge\ldots\wedge n_d$. 

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Trajektorijų erdvės} 
    \uncover<1->{
    $(T,d)$ -- parametrų aibė, 	$(B,\|\|)$ -- reikšmių aibė.
    }
    \begin{itemize}
	\item<2,4-> $C(T,B)$ -- tolydžių funkcijų aibė su įprastine norma 
	    \begin{align*}
		\|x\|_\infty=\sup_{t\in T}\|x\|
	    \end{align*}	
	\pause
	
	\item<3,4-> $H_\rho(T,B)$ -- aibė tolydžių funkcijų tenkinančių $w(x,1)<\infty$, čia
	    \begin{align*}
		w_\rho(x,\delta)=\sup_{t,s\in T,d(t,s)<\delta}
		\dfrac{\|x(t)-x(s)\|}{\rho(d(t,s))}.
	    \end{align*}
	    su norma
	    
	    \begin{align*}
	    	\|x\|_\rho:=\|x\|_\infty+w_\rho(x,1)
	    \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Ribinis procesas} 
    \begin{itemize}
	\item  $W$ -- Vynerio paklodė (sheet).	
	    $W(A)$ -- normalusis su $EW(A)=0$ ir $EW(A)W(B)=|A\cap B|$, Borelio
	    aibėms $A,B\subset [0,1]^d$.
	\item Imant $A=[0,t]\subset[0,1]$ įprastas Brauno judesys
    \end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}
    \frametitle{Entropinė sąlyga} 
    $\{X(t), t\in T\}$ - normalusis procesas. $d(t,s)=\sqrt{E|X(t)-X(s)|^2}$ 	
    \begin{teorema}
	%\item Egzistavimo klausimas susiveda į Gausinio proceso su parametru iš
	%    abstrakčios erdvės $(T,d)$ egzistavimą.
	 Dudley (1973). Tegu $N(\eps)$ yra mažiausias
	    $n$ toks, kad egzistuoja aibės $A_1,\dots,A_n\subset T$, tokios, kad
	    $T\subset \cup_1^nA_k$ ir $\diam A_k\le 2\eps$ visiems $k$. Tegu
		\begin{align*}
		    f(u):=\int_0^u(log(N(v)))^{1/2}dv<\infty, \quad
		    u\in[0,1]
		\end{align*}
		Tada $X(t)$ turi modifikacijas $C(T,\mathbb{R})$ ir
		$H_f(T,\mathbb{R})$ erdvėse.
    \end{teorema}    
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Vynerio paklodės trajektorijų savybės} 
    \begin{itemize}
	\item Parametrų aibė $(\mathcal{A}\subset\mathcal{B}([0,1]^d),d)$ su 	
	         \begin{align*}
		     d(A,B)=\sqrt{|A\Delta B|}=\sqrt{{E(W(A)-W(B))^2}}
	     	 \end{align*}
	     \item Remiantis Dudley teorema, $W\in C(\mathcal{A},\mathbb{R})$ ir
		 $W\in H_f(\mathcal{A},\mathbb{R})$.
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{FCRT tolydžių funkcijų erdvėje} 
     FCRT-$C(\mathcal{A},\mathbb{R})$.  Bass (1985), Pyke (1986),
	    pakankama sąlyga $EX_1^2<\infty$ ir
	    \begin{align*}
		\int_0^1\log(N_I(\eps,\mathcal{A},\delta)d\eps <\infty
	    \end{align*}
	    čia $N_I(\eps,\mathcal{A},\delta)$ - metrinė entropija su įdėjimu.
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Hiolderiškos trajektorijos} 
    \begin{itemize}
	\item<1-2>  Jei $T$ - visiškai aprėžta, $H_\rho(T,\mathbb{R})$ yra
	      $\sigma$-kompaktiška separabili tiesinė erdvė su norma $\|x\|_g$,
	      kai  $\rho=o(g)$.

	\item<2> Erickson (1981). Tegu $E|X_1|^p<\infty$, $r_1(\mathcal{A})\le r$,
	    ir $q:=p/2-r>0$. 
	 \begin{salyga}	    
	    Tada FCRT erdvėje $H_\rho(\mathcal{A},\mathbb{R})$ su norma $\|x\|_f$,
	    $\rho=o(f)$ galioja su $\rho(h)^p=h^{q}|\log h||\log\log
	    h|^{\beta}$, kiekvienam $\beta>1$.
	\end{salyga}
    \item<3> Imant $\mathcal{A}:=\{[0,t_1]\times\dots\times[0,t_d],
	(t_1,\dots,t_d)\in [0,1]^d\}$, pakankama sąlyga supaprastėja:
	\begin{salyga}   
	    FCRT galioja erdvėje $H_\alpha([0,1]^d,\mathbb{R})$, jei 
	    $E|X|^q<\infty$, kai $q>\frac{d}{1/2-\alpha}$, $0<\alpha<1/2$.
        \end{salyga}
     \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Rezultatai vektoriniams a.d.}
    \begin{itemize}
	\item Kuelbs (1973). $C([0,1],B)$ -- būtina ir pakankama sąlyga $X_1\in CRT(B)$.
	\item Račkauskas ir Suquet (2003). $H_\rho^o([0,1],B)$ -- būtina ir
	    pakankama sąlyga $X_1\in CRT(B)$ ir kiekvienam $A>0$
	    \begin{align*}
		\lim_{t\to\infty}tP(\|X_1\|>A\theta(t))=0,
	    \end{align*}
	    čia $\theta(t)=t^{1/2}\rho(1/t)$.
    \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
    \frametitle{Separabilumas, kai $T=[0,1]^d$} 
   
    $H^o_\rho([0,1]^d)$ -- erdvės $H_\rho([0,1]^d)$ poerdvis, kurio elementams galioja
    \begin{align*}
		\lim_{\delta\to\infty}w_\rho(x,\delta)=0\
    \end{align*}
        
    \begin{teorema}
	 Račkauskas-Suquet (2000). Su $\rho=h^\alpha\log^\beta(c/h)$, erdvė $H_\rho^o([0,1]^d,B)$ yra
	    separabili Banacho erdvė, kuriai egzistuoja Schauder išdėstymas.
%	      $$H_\rho^o([0,1]^d,B):=\{x\in  H_\rho([0,1]^d,B):\lim_{\delta\to\infty}w_\rho(x,\delta)=0\}$$.
	\end{teorema}
\end{frame}

%\begin{frame}
%    \frametitle{ Dvimatis atvejis $A=[0,t_1]\times[0,t_2]$}
%    \includegraphics[scale=1]{W10x10.ps}
%\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Tirštumo kriterijus} 
   \begin{teorema}\label{t:tight}
    Tegu $\{\phi_{\bm{n}}, \bm{n}\in\mathbb{N}^d\}$ ir $\phi$ yra atsitiktiniai
    elementai su reikšmėmis erdvėje $H^o_\alpha(\mathbb{H}).$ Tarkime yra tenkinamos
    sąlygos.
\begin{itemize}
    \item[i)] Kiekvienam diadiniam $\bm{t}\in [0,1]^d$, atsitiktinių
	$\mathbb{H}$-elementų apibendrinta seka $\phi_{\bm{n}}(t)$ yra
	asimptotiškai tiršta erdvėje $\mathbb{H}$.
   \item[ii)]  Kiekvienam $\eps>0$
    \begin{align*}
        \lim_{J\to \infty} \limsup_{\bm{n}\to\infty}P(\sup_{j\ge J}2^{\alpha j}\max_{\bm{v}\in
        V_j}|\lambda_{j,\bm{v}}(\phi_{\bm{n}})|>\eps) = 0.
    \end{align*}
\end{itemize}
Tada apibendrinta seka $\phi_{\bm{n}}$ yra asimptotiškai tiršta erdvėje $\ab{H}^o(\mathbb{H})$.
\end{teorema}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Vynerio paklodė} 
    Vynerio procesas su reikšmėmis Hilberto erdvėje $\mathbb{H}$ ir kovariacijos operatoriumi
    $S$ yra Gausinis nulinio vidurkio $\mathbb{H}$ procesas tenkinantis
    \begin{align*}
	E\langle W(\bm{t}),x\rangle\langle W(\bm{s}),y\rangle =(t_1\wedge
	s_1)\dots(t_d\wedge s_d)\langle Sx,y\rangle 
    \end{align*}
    kiekvienam $\bm{t},\bm{s}\in [0,1]^d$ ir $x,y\in \mathbb{H}$.

    Remiantis Račkausko ir Suquet rezultatais $W(\bm{t})$ turi versiją
    $H^o_\alpha(\mathbb{H})$.

\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Pagrindinis rezultatas} 
     \begin{teorema}
	Tegu $X_{\bm{j}}$, $\bm{j}\le \bm{n}$ yra vienodai pasisikirstę
	atsitiktiniai dydžiai su reikšmėmis erdvėje $\mathbb{H}$.
	\begin{align*}
	(n_1\dots n_d)^{-1/2}\xi_{\bm{n}} \xrightarrow[m(\bm{n}) \to
	\infty]{\mathcal{D}} W \text{ erdvėje } \ab{H}^o(\mathbb{H}),
   \end{align*}
    
    %\vspace*{15pt}
    
    tada ir tik tada, kai
    
    %\vspace*{5pt}
   
   \begin{align*}
	    n_1\dots n_d\mathbf{P}\bigl(\|X_{\bm{1}}\|>n_1^{1/p}n_2^{1/2}\dots
	    n_d^{1/2}\bigr)\to 0, \text{ kai } m(\bm{n}) \to \infty.
    \end{align*},
    čia $m(\bm{n})=n_1\wedge\dots\wedge n_d$.
    
   \end{teorema}
\end{frame}


\end{document}

