%\documentclass[pdf,lt,slideColor,colorBG,noaccumulate,nototal,final]{prosper}
%% Norint matyti lietuviskas raides reikia susiinstaliuoti lietuvybes
%% arba unikodo palaikyma. Sitas dokumentas yra standartinėje ISO-8859-13 koduoteje. 
\documentclass[utf8,hyperref={unicode}]{beamer}
%\documentclass[utf8]{beamer}

\mode<presentation>
{
  \usetheme{Warsaw}
  % or ...
  % \usecolortheme{dove} 

  % or whatever (possibly just delete it)
   \setbeamertemplate{footline}
   {%
     \leavevmode%
    \hbox{\begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.125ex,leftskip=.3cm 	plus1fill,rightskip=.3cm]{author in head/foot}%
    \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
    \end{beamercolorbox}%
    \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.125ex,leftskip=.3cm,rightskip=.3cm plus1fil]{title in head/foot}%
    \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle  \hfill p.
	\insertpagenumber\enspace iš \insertdocumentendpage\enspace
    \end{beamercolorbox}}%
  \vskip0pt%
}
%\hfill\insertshorttitle\enspace -- p. \insertpagenumber\enspace iš
%\insertdocumentendpage\enspace%
%   }
    
}
 \setbeamertemplate{navigation symbols}{}



\usepackage[english]{babel}
\usepackage[L7x]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{graphicx}

\newcommand{\ab}[1]{#1_{\alpha}}
\newcommand{\wab}[2][\delta]{w_{\alpha}(#2,#1)}
\newcommand{\normab}[1]{\lVert#1\rVert_{\alpha}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\sprod}[1]{\langle #1 \rangle}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
%\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi)}
\theoremstyle{change}\newtheorem{teorema}{Teiginys}
\theoremstyle{change}\newtheorem{salyga}{}
%	\vspace*{20pt}
%	\vspace*{20pt}
\DeclareMathOperator{\seq}{seq}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}
\newcommand{\dlt}[2]{\Delta^{(#1)}_{#2}}
\newcommand{\norms}[1]{\lVert#1\rVert_{\alpha}^{\seq}}
\newcommand{\normh}[1]{\lVert#1\rVert}
\newcommand{\norma}[1]{\lVert #1\rVert_{\alpha}}

\newcommand{\skirt}[2]{\Delta^{(#1)}_{#2}}
\newcommand{\cp}{\buildrel P\over\longrightarrow}
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\E}{\mathbf{E}\,} % expectation operator
\newcommand{\bv}{\bm{v}}

\newcommand{\T}{T}
\newcommand{\n}{{\bm{n}}}
\newcommand{\jj}{{\bm{j}}}
\newcommand{\kk}{{\bm{k}}}
\newcommand{\bt}{\bm{t}}
\newcommand{\bu}{\bm{u}}
\newcommand{\B}{\bm{B}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\bi}{\bm{i}}
\newcommand{\p}{\bm{\pi}}
\newcommand{\one}{{\bm{1}}}

\newcommand{\nni}{{\bm{n},\bm{i}}}
\newcommand{\nj}{{n,ij}}
\newcommand{\nk}{{n,kl}}
\newcommand{\kn}{\bm{k}_{\bm{n}}}

\newcommand{\vv}{\bm{\mathrm{v}}}
\newcommand{\vr}{{\mathrm{v}}}
\newcommand{\uu}{\bm{\mathrm{u}}}
\newcommand{\ur}{{\mathrm{u}}}


\newcommand{\abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\snk}{\sigma^2_{\bm{n},\bm{k}}}
\newcommand{\snj}{\sigma^2_{n, ij}}

\newcommand{\nij}{{n,ij}}

\newcommand{\Rnj}{R_{\bm{n},\bm{j}}}
\newcommand{\Rnk}{R_{\bm{n},\bm{k}}}

\newcommand{\HH}{\mathrm{H}} % a set of notations for Holder spaces
\newcommand{\Ha}{\HH_{\alpha}}
\newcommand{\Hab}{\HH_{\alpha,\beta}}
\newcommand{\Habo}{\HH_{\alpha,\beta}^o}
\newcommand{\Hao}{\HH_{\alpha}^o}
\newcommand{\m}{\mathrm{m}}
\newcommand{\s}{\bm{s}}



\title[D-P apibendrinimas serijų schemai]{Donskerio-Prochorovo invariantiškumo
principo apibendrinimas serijų schemos atveju}
%\shorttitle{FCRT daugiamačio indekso procesams}
\author[Vaidotas Zemlys]{Vaidotas Zemlys}
\institute[Vilniaus Universitetas] {
    %\inst{1}%
    Vilniaus Universitetas
    \and
    %\inst{2}%
    Universit\' e des Sciences et Technologies de Lille
   }
\date{2007 birželio 27}

\begin{document}
\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Sumavimo procesas vienmačiu atveju}
     Tegu $X_j$, $1\le j\le n$ yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę
    atsitiktiniai dydžiai
     \begin{align*}
	\xi_n(t)=S_{[nt]}+(nt-[nt])X_{[nt]+1},\quad t\in[0,1],
    \end{align*}
    čia
    \begin{align*}
	S_k=X_1+X_2+\ldots+X_k, \quad k=1,2,\ldots
    \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Sumavimo procesas vienmačiu atveju serijų schemai}
    \begin{itemize}
	\item Pažymėkime
		\begin{align*}
	S_n(k)=X_{n,1}+\ldots+X_{n,k}, \quad
	b_n(k)=\sigma_{n,1}^2+\dots+\sigma_{n,k}^2
    \end{align*}
	\item   
	    \begin{align*}
	\xi_n(t)=S_n(k)+\sigma_{n,k}^{-2}(t-b_n(k))X_{n,k},\quad 
	b_n(k-1)\le t\le b_n(k),
    \end{align*}
      \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{FCRT serijų schemai vienmačiu atveju} 
    \begin{itemize}
	\item Araujo, Gine (1980) $\xi_n\to W$ erdvėje $C([0,1])$, kai serijų
	    schemai galioja CRT.
	\item Račkauskas, Suquet (2003) $\xi_n\to W$ erdvėje
	    $H_\alpha^o([0,1])$, kai
	    \begin{align*}
		\max_{1\le k \le k_n} \sigma^2_{n,k}\to 0\\
		\sum_{k=1}^{k_n}\sigma^{-2q\alpha}_{n,k} E|X_{n,k}|^q\to 0
	    \end{align*}
	    su $q>1/(1/2-\alpha)$.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Uždavinys} 
    \begin{itemize}
	\item Apibrėžti dvimačio argumento sumavimo procesą serijų schemai.
	\item Ištirti naujai apibrėžto proceso silpną konvergavimą Hiolderio
	    erdvėse.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Įprastinis dvimatis sumavimo procesas} 
    \begin{itemize}
	\item 	    
	    \begin{align*}
		\xi_{n}(t_1,t_2)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n
		|R_{n,ij}|^{-1}|R_{n,ij}\cap [0,t_{1}]\times [0,t_2]| X_{ij},
	    \end{align*}
	\item 	
	    \begin{align*}
    R_{n,ij} := \bigg[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\bigg)
                     \times\bigg[\frac{j-1}{n},\frac{j}{n}\bigg)
\end{align*}
 
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Adaptyvi gardelė} 
    \begin{itemize}
	\item Serijų schema :    $(X_{n,ij},\; 1\le i\le I_n,\; 1\le j\le J_n),\;
	    n\in  \mathbb{N}$,  $EX_{n,ij}^2=a_{n,i}b_{n,j}$, $\sum
	    a_{n,i}=1=\sum b_{n,j}$.
	\item  
\begin{align*}
    S_n(k,l)=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^lX_\nij,\quad A_{n,k}=\sum_{i=1}^ka_{n,i}\quad
    B_{n,l}=\sum_{j=1}^lb_{n,j}
\end{align*}
\item 
\begin{align*}
    R_{n,ij} :=\bigg[A_{n,i-1},\; A_{n,i}\bigg)\times \bigg[B_{n,j-1},\;B_{n,j}\bigg)
\end{align*}
  \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Žinomi rezultatai}
    \begin{itemize}
	\item Tegu
	    \begin{align*}
		\zeta_{n}(t_1,t_2)&=\sum_{i=1}^{I_n}\sum_{j=1}^{J_n}\one\{(A_{n,i},B_{n,j})\in[0,t_1]\times[0,t_2]\}X_{n,ij}\\
		\xi_n(t_1,t_2)&= \sum_{i=1}^{I_n}\sum_{j=1}^{J_n}
		|R_{n,ij}|^{-1}|R_{n,ij}\cap [0,t_{1}]\times [0,t_2]| X_{n,ij},
	    \end{align*}
	\item Bickel, Wichura (1971) $\zeta_{n}\to W$ erdvėje $D_{2}$.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Hiolderio erdvės} 
	\begin{itemize}
	   \item Tegu $0<\alpha\le 1$, $\ab{H}^o\bigl([0,1]^2\bigr)$ yra aibė tokių realių tolydžių
	funkcijų $x:[0,1]^2\to \mathbb{R}$, kurioms $\lim_{\delta\to   0}\wab{x}=0$, čia
	\begin{align*} %\label{f:walpha}
	    \wab{x}=\sup_{\bm{t},\bm{s}\in[0,1]^2,0<|\bm{t}-\bm{s}|<\delta}
	    \dfrac{|x(\bm{t})-x(\bm{s})|}{|\bm{t}-\bm{s}|^\alpha}.
        \end{align*}
	\item Separabili Banacho erdvė su norma
	    \begin{align*}
	    \normab{x}=|x(0)|+\wab[1]{x}.
	    \end{align*}
       \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Gautas rezultatas} 
    \begin{itemize}
	\item Tegu  $0<\alpha<1/2$, $q>1/(1/2-\alpha)$. Jei
\begin{align}\label{s:smallrnj}
    \max_{1\le i\le I_n}a_{n,i} \to 0  \text{ su } \max_{1\le j\le J_n}b_{n,j} \to 0 
\end{align}
ir
\begin{align}\label{s:sumqa}
    \lim_{n\to\infty}\sum_{1\le i\le I_n}\sum_{1\le j\le J_n}
    (a_{n,i}b_{n,j})^{-q\alpha}E|X_\nij|^q=0.
\end{align}
Tada
\begin{align*}
    \xi_n\xrightarrow[n\to\infty]{\Hao([0,1]^2)
} W.
    \end{align*}

    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Išvados} 
    \begin{itemize}
	\item Vienmačiu atveju gaunama ta pati konstrukcija.
	\item Tiesiogiai apibendrinamas Račkausko ir Suquet rezultatas
    \end{itemize}
\end{frame}
\end{document}

