%\documentclass[pdf,lt,slideColor,colorBG,noaccumulate,nototal,final]{prosper}
%% Norint matyti lietuviskas raides reikia susiinstaliuoti lietuvybes
%% arba unikodo palaikyma. Sitas dokumentas yra standartinėje ISO-8859-13 koduoteje. 
\documentclass[utf8,hyperref={dvips,unicode}]{beamer}
%\documentclass[utf8]{beamer}

\mode<presentation>
{
  \usetheme{Warsaw}
  % or ...
  % \usecolortheme{dove} 

  % or whatever (possibly just delete it)
   \setbeamertemplate{footline}
   {%
     \leavevmode%
    \hbox{\begin{beamercolorbox}[wd=.4\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.125ex,leftskip=.3cm 	plus1fill,rightskip=.3cm]{author in head/foot}%
    \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
    \end{beamercolorbox}%
    \begin{beamercolorbox}[wd=.6\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.125ex,leftskip=.3cm,rightskip=.3cm plus1fil]{title in head/foot}%
    \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle\hfill p.
	\insertpagenumber\enspace iš \insertdocumentendpage\enspace
    \end{beamercolorbox}}%
  \vskip0pt%
}
%\hfill\insertshorttitle\enspace -- p. \insertpagenumber\enspace iš
%\insertdocumentendpage\enspace%
%   }
    
}
 \setbeamertemplate{navigation symbols}{}



\usepackage[english,lithuanian]{babel}
\usepackage[QX]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
\usepackage{lmodern}

\newcommand{\ab}[1]{#1_{\alpha}}
\newcommand{\wab}[2][\delta]{w_{\alpha}(#2,#1)}
\newcommand{\normab}[1]{\lVert#1\rVert_{\alpha}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
%\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi)}
\theoremstyle{change}\newtheorem{teorema}{Teiginys}
\theoremstyle{change}\newtheorem{salyga}{}
%	\vspace*{20pt}
%	\vspace*{20pt}

\title{Funkcinė ribinė teorema d-mačio indekso sumavimo procesams}
\author{Vaidotas Zemlys}
\institute[Vilniaus Universitetas] {
    Matematikos ir Informatikos Fakultetas,
    Ekonometrinės analizės katedra

    Vaidotas.Zemlys@maf.vu.lt
}
\date{2005 m. birželio 15 d.}

\begin{document}
\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}
\section{Problematika}
%\begin{frame}
%    \frametitle{Darbo esmė}
%    \begin{itemize}
%	\item   Papildytas Erickson rezultatas  
%	\item   Apibendrintas Račkausko ir Suquet rezultatas
%
%	\end{itemize}
%\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Sumavimo procesas}
    %\vspace*{20pt}
    \begin{itemize}
	\item ($X_{\bm{j}}$, $\bm{j}\in \mathbb{N}^d$) -- v. p. r. a. d. su
	    nuliniu vidurkiu. 
	    \vspace*{10pt}
	\item $\bm{n}=(n_1,\ldots,n_d)$, $\bm{t}=(t_1,\ldots,t_d)\in [0,1]^d$ 
	    \begin{align*}
	    \xi_{\bm{n}}(\bm{t})=\sum_{\bm{j}\le \bm{n}}|R_{\bm{n},\bm{j}}|^{-1}|R_{\bm{n},\bm{j}}\cap
	    [0,t_1]\times\cdots\times[0,t_d]|X_{\bm{j}},
	    \end{align*}
	    čia
	    \begin{align*}
	    R_{\bm{n},\bm{j}} := [(j_1-1)/n_1, j_1/ni_1]\times\cdots\times
[(j_d-1)/n_d, j_d/n_d].
	    \end{align*}
   \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Funkcinė ribinė teorema}
    Kada
	\begin{align*}
	    (n_1\cdots n_d)^{-1/2}\xi_{\bm{n}}\xrightarrow{\mathcal{D}}W_d,
		\text{ kai } \bm{n}\to\infty?
	\end{align*}
  Čia $\bm{n}\to\infty$ reiškia, kad $n_1\wedge\ldots\wedge n_d\to\infty$, o   
  $W_d$ -- Vynerio paklodė tenkinanti sąlygas:
  \begin{itemize}
	\item $W_d(\bm{t})=0$, jei nors vienas $t_i=0$.
	\vspace*{20pt}
	\item $W_d(\bm{t})\ \sim\ N(0,t_1\cdots t_d)$,
	    $\bm{t}=(t_1,\ldots,t_d)$.
    	\vspace*{20pt}
	\item $\mathbf{E}W_d(\bm{t})W_d(\bm{s})=(t_1\wedge
	    s_1)\cdots(t_d\wedge s_d)$.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Hiolderio erdvės}
    %\vspace*{20pt}
       \begin{itemize}
	   \item Tegu $0<\alpha\le 1$, $\ab{H}^o\bigl([0,1]^d\bigr)$ yra aibė tokių realių tolydžių
	funkcijų $x:[0,1]^d\to \mathbb{R}$, kurioms $\lim_{\delta\to   0}\wab{x}=0$, čia
	\begin{align*} %\label{f:walpha}
	    \wab{x}=\sup_{\bm{t},\bm{s}\in[0,1]^d,0<|\bm{t}-\bm{s}|<\delta}
	    \dfrac{|x(\bm{t})-x(\bm{s})|}{|\bm{t}-\bm{s}|^\alpha}.
        \end{align*}
	\item Separabili Banacho erdvė su norma
	    \begin{align*}
	    \normab{x}=|x(0)|+\wab[1]{x}.
	    \end{align*}
       \end{itemize}
\end{frame}

\section{Žinomų rezultatų apžvalga}
\subsection{Vienmatis atvejis}
\begin{frame}
   \frametitle{Sumavimo procesas}
    Įprastinis laužčių procesas
    \begin{align*}
	\xi_n(t)=S_{[nt]}+(nt-[nt])X_{[nt]+1},\quad t\in[0,1],
    \end{align*}
    čia 
    \begin{align*}
	S_k=X_1+X_2+\ldots+X_k, \quad k=1,2,\ldots
    \end{align*}
\end{frame}
   
\begin{frame}
    \frametitle{Rezultatai}
    \begin{itemize}
	\item Donskerio-Prochorovo teorema. Konvergavimas erdvėje $C([0,1])$. Būtina ir
	    pakankama sąlyga $EX_1^2<\infty$.
	%    \vspace*{20pt}
	\item Lamperti (1962) įrodė konvergavimą erdvėje $\ab{H}^o([0,1])$.
	    Pakankama sąlyga: 
	    $$\mathbf{E}|X_1|^p<\infty,$$
	    čia $p>1/(1/2-\alpha)$ ir  $0<\alpha<1/2$.
	%\vspace*{20pt}
	\item Račkauskas ir Suquet (2001) papildė Lamperti rezultatą įrodydami
	    būtiną ir pakankamą sąlygą:
	    \begin{salyga}
	    \begin{align*}
		\lim_{t\to\infty}t^p\mathbf{P}(|X_1|\ge t)=0 \text{ su } p=\frac{1}{1/2-\alpha}.
	    \end{align*}
	\end{salyga}
     \end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Dvimatis ir daugiamatis atvejai}
\begin{frame}
    \frametitle{Sumavimo procesas}
    \begin{align*}
	\xi_{\bm{n}}(\bm{t})=& S_{([n_1t_1],\ [n_2t_2])}+\\
	&+(n_1t_1-[n_1t_1])S^{(2)}_{([n_1t_1]+1,[n_2t_2])}\\
	&+(n_2t_2-[n_2t_2])S^{(1)}_{([n_1t_1], [n_2t_2]+1)}\\
	&+(n_1t_1-[n_1t_1])(n_2t_2-[n_2t_2])X_{([n_1t_1]+1,  [n_2t_2]+1)},
    \end{align*}
    čia
   \begin{align*}
    S_{(k,\ m)}=\sum_{j=1}^k\sum_{j=1}^m X_{(i,\ j)},\ \ S^{(1)}_{(k,\
	m)}=\sum_{j=1}^m X_{(k, \  j)},\ \  S^{(2)}_{(k,\
	m)}=\sum_{i=1}^k X_{(i,\ m)}.
    \end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{}
    \begin{itemize}
	\item Račkauskas ir Zemlys (2004) apibendrino Račkausko ir Suquet
	    rezultatą, įrodydami būtiną ir pakankamą sąlygą:
	    \begin{salyga}
	    \begin{align*}
		t_1t_2\mathbf{P}(|X_1|\ge t_1^{1/p}t_2^{1/2})\to 0, \text{ kai }
		t_1\wedge t_2\to\infty, \text{ su } p=\frac{1}{1/2-\alpha}.
	    \end{align*}
	\end{salyga}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Daugiamatis atvejis}
    %\vspace*{40pt}
    \begin{itemize}
	 \item Erickson (1981) įrodė konvergavimą erdvėje
	     $\ab{H}^o\bigl([0,1]^d\bigr)$.
	     Pakankama sąlyga:
	     
		$$\mathbf{E}|X_1|^q<\infty,$$
		kai $q>d/(1/2-\alpha)$.
    \end{itemize}
\end{frame}

\section{Gautas rezultatas}
\subsection{Formuluotė ir palyginimas}
\begin{frame}
    %\vspace*{20pt}
    \begin{teorema}
    \begin{align*}
	(n_1\dots n_d)^{-1/2}\xi_{\bm{n}} \xrightarrow[n_1\wedge\dots\wedge n_d \to
	\infty]{\mathcal{D}} W_d \text{ erdvėje } \ab{H}^o\bigl([0,1]^d\bigr),
    \end{align*}
    
    %\vspace*{15pt}
    
    tada ir tik tada, jei
    
    %\vspace*{5pt}
   
    \begin{align*}
	    t_1\dots t_d\mathbf{P}\bigl(|X_{\bm{1}}|>t_1^{1/p}t_2^{1/2}\dots
	    t_d^{1/2}\bigr)\to 0, \text{ kai } t_1\wedge\dots\wedge t_d \to \infty.
	   \end{align*}
       \end{teorema}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Rezultatų palyginimas}
    Sena sąlyga:  $\mathbf{E}|X_1|^q<\infty$,   kai $q>d/(1/2-\alpha)$.
    
    Nauja sąlyga: $ t_1\dots
    t_d\mathbf{P}\bigl(|X_{\bm{1}}|>t_1^{1/p}t_2^{1/2}\dots t_d^{1/2}\bigr)  \to
    0, \text{ kai } t_1\wedge\dots\wedge t_d \to \infty.$ 
    \vspace*{20pt}

    \begin{itemize}
	\item Pagerintas Erickson rezultatas d-mačiam atvejui. ``Reikia''
	    $d$ kartų mažiau momentų.
	    \begin{align*}
		\lim_{t\to\infty}t^p\mathbf{P}(|X_{\bm{1}}|\ge t)=0.
	    \end{align*}
	\item Einant fiksuotais keliais: $n_1=\dots=n_d=n$, užtenka vis mažiau momentų.
	    \begin{align*}
		\lim_{t\to\infty}t^{\frac{d}{1/p+(d-1)/2}}\mathbf{P}(|X_{\bm{1}}|\ge t)=0.
	    \end{align*}
%	    $\frac{d}{1/p+(d-1)/2}=\frac{2dp}{2+p(d-1)}<\frac{2d}{d-1}$
    \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Įrodymo detalės}
\begin{frame}{Konvergavimo kriterijus}
    %\vspace*{20pt}
    \begin{itemize}
	\item $(\xi_{\bm{n}}, \bm{n}\in\mathbb{N}^d)$ apibendrinta seka su
	    sąryšiu $\bm{j}\le \bm{n}\Leftrightarrow j_i\le n_i$,
	    $i=1,\ldots,d$.
	    %\vspace*{20pt}
	\item Prochorovo teorema. Asimptotiškai tiršta apibendrinta matų seka
	    yra reliatyviai kompaktiška.
	\item Kompakto erdvėse $\ab{H}^o\bigl([0,1]^d\bigr)$ charakterizavimas.
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}    
Tegu $\{\zeta_{\bm{n}}, \bm{n}\in\mathbb{N}^d\}$ yra atsitiktinių erdvės 
    $\ab{H}^o\bigl([0,1]^d\bigr)$ elementų apibendrinta seka tenkinanti šias sąlygas:
\begin{enumerate}
    \item Baigtiniamačiai $\zeta_{\bm{n}}$ skirstiniai silpnai konverguoja į
	kokio nors erdvės $\ab{H}^o\bigl([0,1]^d\bigr)$ atsitiktinio elemento $\zeta$
	baigtiniamačius skirstinius, kai  $n_1\wedge\dots\wedge n_d\to\infty$.
    \item $\lim_{a\to \infty}\sup_{\bm{n}} P(\sup_{\bm{t}\in
        T}|\zeta_{\bm{n}}(\bm{t})|>a)=0$
    \item  Kiekvienam $\eps>0$
        \begin{align*}
	    \lim_{J\to \infty} \limsup_{\bm{n} \to\infty}P(\sup_{j\ge J}2^{\alpha j}\max_{\bm{v}\in
        V_j}|\lambda_{j,\bm{v}}(\zeta_{\bm{n}})|>\eps) = 0.
        \end{align*}
\end{enumerate}
\end{frame}

\end{document}
