\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,lithuanian]{babel}
\usepackage[L7x]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
\usepackage[unicode]{hyperref}
%\usepackage{ucshyper}
\pagestyle{plain}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\DeclareMathOperator{\spp}{sp}

\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
\topmargin=0cm
\textheight=700pt
\textwidth=430pt
\oddsidemargin=0pt
\headsep=0pt
\headheight=0pt


\begin{document}
\title{Uždaviniai Ekonometrijos II pratyboms spalio 18 dienai}
\date{}
\author{}

\maketitle
\begin{enumerate}
	
    \item Tegu $X_1,\dots,X_n$, atsitiktiniai dydžiai su baigtiniu antru
	momentu. Pažymėkime
	$\spp\{X_1,\dots,X_n\}$ - visų  $X_1,\dots,X_n$ tiesinių
	kombinacijų aibę:  $\{\alpha_1X_1+\dots+\alpha_nX_n:\alpha_1,
	\dots,\alpha_n \in \mathbb{R}\}$. Pažymėkime  
	$\overline{\spp}\{X_1,\dots,X_n\}$ aibės $\spp\{X_1,\dots,X_n\}$
	uždarinį. Atsitiktinio dydžio $X$ projekcija į $\overline{\spp}\{X_1,\dots,X_n\}$
	vadiname atsitiktinį dydį $Y=P_{\overline{\spp}\{X_1,\dots,X_n\}}X= \beta_1X_1+\dots+\beta_nX_n$ tenkinantį
	sąlygą
	\begin{align*}
	    E(X-Y)^2\to\min
	\end{align*}
	
	\begin{enumerate}
	    \item Parodykite, kad bet kokiems atsitiktiniams dydžiams (su
		baigtiniu antru momentu):
		\begin{align*}
		    P_{\overline{\spp}\{X_1,\dots,X_n\}}(\alpha X+ \beta Y) =
		    \alpha P_{\overline{\spp}\{X_1,\dots,X_n\}}X+ \beta
		    P_{\overline{\spp}\{X_1,\dots,X_n\}}Y
		\end{align*}
	    \item Parodykite, kad 
		 \begin{align*}
		    P_{\overline{\spp}\{X_1,\dots,X_n\}}X_i=X_i, \quad
		    i=1,\dots, n. 
		 \end{align*}
	     \item Parodykite, kad jei $Z$ nepriklauso nuo $X_1,\dots,X_n$ ir
		 $EZ=0$,  tai
		 \begin{align*}
		    P_{\overline{\spp}\{X_1,\dots,X_n\}}Z=0. 
		 \end{align*}
	     \item Parodyti, kad stacionariam procesui $\{X_t\}$ 
		 \begin{align*}
		     P_{\overline{\spp}\{X_2,\dots,X_n\}}X_{n+1}&=\beta_1X_n+
		     \beta_2X_{n-1}+\dots+\beta_{n-1}X_2\\
		    P_{\overline{\spp}\{X_2,\dots,X_n\}}X_{1}&=\beta_1X_2+
		     \beta_2X_{3}+\dots+\beta_{n-1}X_n
		 \end{align*}

	\end{enumerate}
    \item Dalinės autokoreliacijos funkcija stacionariai sekai $\{X_t\}$
	apibrėžiama taip:
	\begin{align*}
	    \alpha(k)&=
	    \Corr(X_{k+1}-P_{\overline{\spp}\{X_2,\dots,X_k\}}X_{k+1},
	    X_{1}-P_{\overline{\spp}\{X_2,\dots,X_k\}}X_{1}	    
	    ), \; k\ge 2\\
	    \alpha(1)&=\rho(1).    
	\end{align*}
	\begin{enumerate}
	    \item Suskaičiuoti $\alpha(2)$ bet kokiai stacionariai sekai.
	    \item Parodyti, kad $AR(p)$ procesui, $\alpha(n)=0$, kai $n>p$. 
	\end{enumerate}
    \item Tegu 
	\begin{align*}
	    P_{\overline{\spp}\{X_1,\dots,X_m\}}X_{m+1}=\alpha_1X_m+\dots+
	    \alpha_mX_1
	\end{align*}
	\begin{enumerate}
	    \item Parodyti, kad koeficientai $\alpha_i$ tenkina lygtis
		\begin{align*}
		    \begin{bmatrix}
			r(0) & r(1)& \hdots & r(m-1)\\
			r(1) & r(0)& \hdots & r(m-2)\\
			\vdots & \vdots & \hdots & \vdots\\
			r(m-1) & r(m-2)& \hdots & r(0)\\
		    \end{bmatrix}
		    \begin{bmatrix}
			\alpha_1 \\
			\alpha_2 \\
			\vdots \\
			\alpha_m \\
		    \end{bmatrix}
		    \begin{bmatrix}
			r(1) \\
			r(2) \\
			\vdots \\
			r(m) \\
		    \end{bmatrix}
		\end{align*}
	    \item Parodyti, kad $\alpha_m=\alpha(m)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
