\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,lithuanian]{babel}
\usepackage[L7x]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
\usepackage[unicode]{hyperref}
%\usepackage{ucshyper}
\pagestyle{plain}
\usepackage{lmodern}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
\topmargin=0cm
\textheight=700pt
\textwidth=430pt
\oddsidemargin=0pt
\headsep=0pt
\headheight=0pt


\begin{document}
\title{Uždaviniai Ekonometrijos II pratyboms rugsėjo 27 dienai}
\date{}
\author{}
\maketitle

\begin{enumerate}
    \item Tegu $r(h)=(-1)^h$. Ar $r(h)$ yra kovariacinė funkcija?
    \item Tegu
	\begin{align*}
	   r(h)=\begin{cases}
		1, h=0,\\
		\rho, |h|=1,\\
		0, |h|>1.
	   \end{cases}
	\end{align*}
	Su kuriomis $\rho$ reikšmėmis $r(h)$ yra kovariacinė funkcija?
	\textit{(Sunkus)}
    \item  Parodyti, kad bet kuriai kovariacinei funkcijai
	\begin{align*}
	    |r(m)-r(n)| \le 2r(0)(r(0)-r(n-m)).
	\end{align*}
    \item Tegu turime du MA(1) procesus, $X_t=Z_t+\theta Z_{t-1}$ ir 
	$Y_t=Z_t+\frac{1}{\theta}Z_{t-1}$. Parodyti, kad jų autokoreliacinės
	funkcijos sutampa.
    \item Tegu turime du MA(2) procesus, 
	$X_t=Z_t-\frac{1}{6}Z_{t-1}-\frac{1}{6}Z_{t-1}$ ir 
	$Y_t=Z_t+Z_{t-1}-6Z_{t-1}$. Parodyti, kad jų autokoreliacinės funkcijos
	sutampa.
    \item Parodyti, kad AR(1) proceso $X_t-\phi X_{t-1}=Z_t$, autokoreliacinė
	funkcija $\rho(k)=\phi^k$.
    \item Tegu
	\begin{align*}
	    X_t=\sum_{i=1}^{n}\big(A_i\cos\theta_it+B_i\sin\theta_it\big)
	\end{align*}
	čia $A_i$ ir $B_j$ tarpusavyje nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai su
	nuliniais vidurkiais ir vienetinėmis dispersijomis. Ar procesas
	$X_t$ yra stacionarus?

\end{enumerate}
\end{document}
