%\documentclass[pdf,lt,slideColor,colorBG,noaccumulate,nototal,final]{prosper}
%% Norint matyti lietuviskas raides reikia susiinstaliuoti lietuvybes
%% arba unikodo palaikyma. Sitas dokumentas yra standartinėje ISO-8859-13 koduoteje. 
\documentclass[utf8,hyperref={unicode}]{beamer}
%\documentclass[utf8]{beamer}

\mode<presentation>
{
  \usetheme{Warsaw}
  % or ...
  % \usecolortheme{dove} 

  % or whatever (possibly just delete it)
   \setbeamertemplate{footline}
   {%
     \leavevmode%
    \hbox{\begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.125ex,leftskip=.3cm 	plus1fill,rightskip=.3cm]{author in head/foot}%
    \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
    \end{beamercolorbox}%
    \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.125ex,leftskip=.3cm,rightskip=.3cm plus1fil]{title in head/foot}%
    \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle \hfill p.
	\insertpagenumber\enspace iš \insertdocumentendpage\enspace
    \end{beamercolorbox}}%
  \vskip0pt%
}
%\hfill\insertshorttitle\enspace -- p. \insertpagenumber\enspace iš
%\insertdocumentendpage\enspace%
%   }
    
}
 \setbeamertemplate{navigation symbols}{}



\usepackage[english]{babel}
%\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[L7x]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{graphicx}

\newcommand{\ab}[1]{#1_{\alpha}}
\newcommand{\wab}[2][\delta]{w_{\alpha}(#2,#1)}
\newcommand{\normab}[1]{\lVert#1\rVert_{\alpha}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\sprod}[1]{\langle #1 \rangle}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
%\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi)}
\theoremstyle{change}\newtheorem{teorema}{Teiginys}
\theoremstyle{change}\newtheorem{salyga}{}
%	\vspace*{20pt}
%	\vspace*{20pt}
\DeclareMathOperator{\seq}{seq}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}
\newcommand{\dlt}[2]{\Delta^{(#1)}_{#2}}
\newcommand{\norms}[1]{\lVert#1\rVert_{\alpha}^{\seq}}
\newcommand{\normh}[1]{\lVert#1\rVert}
\newcommand{\norma}[1]{\lVert #1\rVert_{\alpha}}

\newcommand{\skirt}[2]{\Delta^{(#1)}_{#2}}
\newcommand{\cp}{\buildrel P\over\longrightarrow}
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\E}{\mathbf{E}\,} % expectation operator
\newcommand{\bv}{\bm{v}}

\newcommand{\T}{T}
\newcommand{\n}{{\bm{n}}}
\newcommand{\jj}{{\bm{j}}}
\newcommand{\kk}{{\bm{k}}}
\newcommand{\bt}{\bm{t}}
\newcommand{\bu}{\bm{u}}
\newcommand{\B}{\bm{B}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\bi}{\bm{i}}
\newcommand{\p}{\bm{\pi}}
\newcommand{\one}{{\bm{1}}}

\newcommand{\nni}{{\bm{n},\bm{i}}}
\newcommand{\nj}{{\bm{n},\bm{j}}}
\newcommand{\nk}{{\bm{n},\bm{k}}}
\newcommand{\kn}{\bm{k}_{\bm{n}}}

\newcommand{\vv}{\bm{\mathrm{v}}}
\newcommand{\vr}{{\mathrm{v}}}
\newcommand{\uu}{\bm{\mathrm{u}}}
\newcommand{\ur}{{\mathrm{u}}}


\newcommand{\abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\snk}{\sigma^2_{\bm{n},\bm{k}}}
\newcommand{\snj}{\sigma^2_{\bm{n},\bm{j}}}

\newcommand{\Rnj}{R_{\bm{n},\bm{j}}}
\newcommand{\Rnk}{R_{\bm{n},\bm{k}}}

\newcommand{\HH}{\mathrm{H}} % a set of notations for Holder spaces
\newcommand{\Ha}{\HH_{\alpha}}
\newcommand{\Hab}{\HH_{\alpha,\beta}}
\newcommand{\Habo}{\HH_{\alpha,\beta}^o}
\newcommand{\Hao}{\HH_{\alpha}^o}
\newcommand{\m}{\mathrm{m}}
\newcommand{\s}{\bm{s}}


\title[HLM ir PDM palyginimas]{Tiesinių hierarchinių ir panelinių duomenų modelių palyginimas}
%\shorttitle{FCRT daugiamačio indekso procesams}
\author[Zemlys]{Vaidotas Zemlys}
\institute[Vilnius University] {
    Vilniaus Universitetas
 }
\date{2007 gegužės 29 d.}

\begin{document}
\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Įžanga}
    \begin{itemize}
	\item Bendras tiesinis modelis visoms grupėms, bet išskiriami grupių
	    ypatumai.

	\item Skirtinga terminologija tiems patiems modeliams.
	\item Nesikeičiama idėjomis.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Tiesinis hierarchinis modelis} 
    \begin{itemize}
	\item Stebimas dydis $Y_{ij}$, $i=1,\dots, M$, $j=1,\dots,N_i$.
	\item Pirmo lygio regresija
	    \begin{align*}
		Y_{ij}=\beta_{0i}+X_{ij}\beta_{1i}+\eps_{ij}
	    \end{align*}
	\item Antro lygio regresija
	    \begin{align*}
		\beta_{0i}=\gamma_{00}+Z_i\gamma_{01}+u_{0i}\\
		\beta_{1i}=\gamma_{10}+W_i\gamma_{11}+u_{1i}
	    \end{align*}
	\item Prielaidos, $\eps_{ij}\sim IID(0,\sigma^2)$, $(u_{0i},u_(1i))\sim  IID(0,\bm{T})$,
	    \begin{align*}
		\bm{T}=\begin{pmatrix}
		    \tau_{00} & \tau_{01}\\
		    \tau_{01} & \tau_{11}\\
		\end{pmatrix}
	    \end{align*}
    
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Bendra lygtis} 
    \begin{itemize}
	\item Viena lygtis
	    \begin{align*}
		Y_{ij}=
		\gamma_{00}+Z_i\gamma_{01}+X_{ij}\gamma_{10}+
		X_{ij}W_i\gamma_{11}+u_{0i}+X_{ij}u_{1i}+\eps_{ij}
	    \end{align*}
	\item Matricinis pavidalas
	    \begin{align*}
		\bm{Y}_i=\bm{X}_i\bm{\beta}+\bm{Z}_i\bm{u}_i+\bm{e}_i
	    \end{align*}
	\item $\bm{X}_i=[\bm{1},Z_i,X_{ij},X_{ij}W_i]$,
	    $\bm{\beta}'=(\gamma_{00},\gamma_{01},\gamma_{10},\gamma_{11})$ - fiksuoti efektai
	\item $\bm{Z}_i=[\bm{1},X_{ij}]$, $\bm{u}_i'=(u_{0i},u_{1i})$ -
	    atsitiktiniai efektai.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Paneliniai duomenys} 
    \begin{itemize}
	\item Stebimas dydis $Y_{it}$, $i=1,\dots,n$, $t=1,\dots,T$
	\item Lygtis
	    \begin{align*}
		Y_{it}=\alpha+X_{it}\beta+\mu_i+\eps_{it}
	    \end{align*}
	\item Prielaidos $\eps_{it}\sim IID(0,\sigma^2)$.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Atsitiktiniai efektai} 
    \begin{itemize}
	\item Tariama, kad $\mu_i\sim IID(0,\sigma^2)$
	\item Matricinė lygtis
	    \begin{align*}
		\bm{Y}_i=\bm{X}_i\bm{\beta}+\bm{Z}_i\bm{u}_i+\bm{e}_i
	    \end{align*}
	\item $\bm{X}_i=[\bm{1},X_{it}]$,  $\bm{\beta}'=(\alpha,\beta)$ 
	\item $\bm{Z}_i=[\bm{1}]$, $\bm{u}_i'=(\mu_{i})$ 
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Bendras tiesinis modelis} 
    \begin{itemize}
	\item Lygtis
	    \begin{align*}
		\bm{Y}=\bm{X}\beta+\bm{e}
	    \end{align*}
	\item $E\bm{e}=0$, $E(\bm{e}\bm{e}')=\Omega$
	\item HLM
	    \begin{align*}
		e_{ij}= u_{0i}+X_{ij}u_{1i}+\eps_{ij}
	    \end{align*}
	\item Panelinių duomenų atsitiktiniai efektai
	    \begin{align*}
		e_{it}= \mu_i+\eps_{it}
	    \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Vertinimo būdai} 
    \begin{itemize}
	\item GLS, Feasible GLS. Reikia $\widehat{\Omega}$
	\item Didžiausio tikėtinumo, darant prielaidą, kad paklaidos normalios.
	\item HLM atvejį komplikuoja $\bm{T}$. Naudojamas IGLS
	\item Paneliniuose $\Omega$ priklauso tik nuo dviejų parametrų.
	\item Įverčiai suderinti ir efektyvūs.
	\item Kovariacijų įverčius galima gauti ir nepaslinktus.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{LSDV įvertis} 
    \begin{itemize}
	\item Lygtis
	    \begin{align*}
		Y_{it}=\alpha+X_{it}\beta+\mu_i+\eps_{it}
	    \end{align*}
	    Tariame, kad $\mu_i$ fiksuoti ir vertiname $\beta$.
	\item Matriciniu pavidalu
	    \begin{align*}
		Q\bm{Y}=Q\bm{X}\bm{\beta} +Q\bm{e}
	    \end{align*}
	    $Q$ - matrica atimanti grupių vidurkius.
	\item Įvertis suderintas ir nepaslinktas, bet neefektyvus, jei efektai
	    yra atsitiktiniai.
	 \item Neįmanoma įvertinti grupėse pastovių kintamųjų.

    \end{itemize}
 \end{frame}
 \begin{frame}
     \frametitle{Hausmano testas} 
     \begin{itemize}
	\item Lygtis
	    \begin{align*}
		Y_{it}=\alpha+X_{it}\beta+u_i+\eps_{it}
	    \end{align*}
	\item Koreliacija su atsitiktiniais efektais $EX_{it}|u_i\neq 0$.
	\item LSDV įvertis suderintas, GLS įvertis paslinktas.
	\item Jeigu $u_i=Z_i\gamma$
    \end{itemize}
 \end{frame}
 \begin{frame}
     \frametitle{Bendra specifikacija}
	\begin{itemize}
	    \item Lygtis
		\begin{align*}
		    Y_it=X_it\beta+Z_i\gamma +\mu_i+\eps_{it}
		\end{align*}
	    \item $X=[X_1,X_2]$, $Z=[Z_1,Z_2]$ 
	\end{itemize}
 \end{frame}
 \begin{frame}
     \frametitle{Panelinių duomenų modelių apžvalga} 
     \begin{itemize}
	 \item Diskusija fiksuoti, atsitiktiniai efektai 
	 \item Apsiribojama paprastesne paklaidų struktūra
	 \item Atsižvelgiama į endogeniškumą, intstrumentiniai kintamieji, GMM,
	     simultaninės lygtys.
	 \item Atsižvelgiama į laiko eilučių struktūrą.(Vienetinės šaknys,
	     nestacionarumas)
     \end{itemize}
 \end{frame}
 \begin{frame}
     \frametitle{Tiesinių hierarchinių modelių apžvalga} 
     \begin{itemize}
	 \item Lengva apibendrinti netiesiniams modeliams (logistinė regresija).
	 \item Grupėse pastovūs kintamieji yra labai svarbūs
	 \item Daugiau nei du lygiai
	 \item Nėra „atidirbtų metodų“ endogeniškumo problemai spręsti
     \end{itemize}
 \end{frame}
 \end{document}

