%\documentclass[pdf,ltuni,frameColor,colorBG,noaccumulate,nototal,final]{prosper}
%% Norint matyti lietuviskas raides reikia susiinstaliuoti lietuvybes
%% arba unikodo palaikyma. Sitas dokumentas yra standartinėje ISO-8859-13 koduoteje. 
\documentclass[utf8,hyperref={dvips,unicode}]{beamer}
\mode<presentation>
{
  \usetheme{Warsaw}
  % or ...
   %\usecolortheme{dove} 

  % or whatever (possibly just delete it)
   \setbeamertemplate{footline}
   {%
     \leavevmode%
\hbox{\begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.125ex,leftskip=.3cm
plus1fill,rightskip=.3cm]{author in head/foot}%
    %\usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
  \end{beamercolorbox}%
\begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.5ex,dp=1.125ex,leftskip=.3cm,
rightskip=.3cm plus1fil]{title in head/foot}%
    \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle\hfill p.
\insertpagenumber\enspace iš \insertdocumentendpage\enspace
  \end{beamercolorbox}}%
  \vskip0pt%
}
%\hfill\insertshorttitle\enspace -- p. \insertpagenumber\enspace iš
%\insertdocumentendpage\enspace%
%   }
    
}



%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage{ucshyper}
\usepackage[english,lithuanian]{babel}
\usepackage[QX]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
\usepackage{lmodern}
%\renewcommand{\rmdefault}{ubk}
%\renewcommand{\ttdefault}{ucr}
%\renewcommand{\sfdefault}{uhv}
\DeclareMathOperator{\var}{var}
\DeclareMathOperator{\cov}{cov}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\plim}{plim}
\DeclareMathOperator{\diag}{diag}




\newcommand{\ab}[1]{#1_{\alpha}}
\newcommand{\wab}[2][\delta]{w_{\alpha}(#2,#1)}
\newcommand{\normab}[1]{\lVert#1\rVert_{\alpha}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi)}

\title{Ekonometrinė panelinių duomenų analizė}
\author{Vaidotas Zemlys}
\institute[Vilniaus Universitetas] {
    Matematikos ir Informatikos Fakultetas,
    Ekonometrinės analizės katedra

    Vaidotas.Zemlys@maf.vu.lt
}
\date{2005 m. kovo 15 d.}
\begin{document}
\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}
%\section{Apžvalga}
\begin{frame}
    \frametitle{Paneliniai Duomenys}
    %\vspace*{20pt}
    \begin{itemize}
	\item Duomenys apie objektus (namų ūkius, firmas, šalis) surinkti keliems laiko periodams.   
%	    \vspace*{20pt}
	
	\item Panel Study of Income Dynamics (PSID) - duomenys apie US namų
	    ūkius. Pradėti rinkti nuo 1968 metų apie 4802 šeimas, apklausiant
	    jas kiekvienais metais.
%	    \vspace*{20pt}

	\item Nuo 80-tųjų panašios apklausos buvo pradėtos atlikti kitose
	    šalyse: Vokietijoje, Nyderlanduose, Belgijoje, Kanadoje,
	    Prancūzijoje, Anglijoje.

	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Panelinių duomenų privalumai}
    \begin{itemize}
	\item Atsižvelgiama į individualų heterogeniškumą. 
	    
	\item Daugiau informacijos, kintamumo, mažiau kolinearumo tarp
	    kintamųjų, daugiau laisvės laipsnių ir efektyvumo.

	\item Labiau pritaikyti studijuoti prisitaikymo dinamiką.

	\item Galima nustatyti ir išmatuoti dydžius, kurių neįmanoma pastebėti
	    turint grynai pjūvinius (cross-section) arba grynai laiko eilučių duomenis.

	\item Įmanoma kontstruoti ir testuoti labiau komplikuotus elgsenos
	    modelius, nei turint pjūvinius arba laiko eilučių duomenis.
	
	\item  Duomenys renkami mikro lygyje, todėl išvengiama paklaidų dėl
	    agregavimo.

    \end{itemize} 
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Panelinių duomenų trūkumai}
    \begin{itemize}
%    \vspace*{10pt}

	\item Plano ir duomenų surinkimo problemos. 
 %       \vspace*{20pt}

	\item Matavimo paklaidos turi didesnę įtaką.
%	\vspace*{20pt}

	\item Pasirenkamumo problemos
	%    \begin{itemize}
%		\item self-selectivity
%		\item Neatsakymas.
	    
%		\item Attrition
		    
%	    \end{itemize}
%	 \vspace*{20pt}
	\item Trumpa laiko eilučių dimensija. 
    
    \end{itemize} 
\end{frame}
%\section{Klasikiniai modeliai}
\begin{frame}
    \frametitle{Vieno paklaidos komponento regresijos modelis}
    \begin{itemize}
	\item Regresijos modelis paneliniams duomenims:
	    \begin{align*}
		y_{it}=\alpha+X_{it}'\beta+u_{it} \quad i=1,\dots,N;\; t=1,\dots,T
	    \end{align*}
	\item Dažniausiai naudojamas vieno paklaidos komponento modelis
	    \begin{align*}
		u_{it} = \mu_i+\nu_{it},
	    \end{align*}
	    čia  $\mu_i$ nestebimas indvidualus poveikis.
		\item Matricinis modelio pavidalas
	    \begin{align*}
		y=\alpha\imath_{NT}+X\beta+Z_\mu\mu+\nu,
	    \end{align*}
   čia $Z_\mu =I_N\otimes\imath_T$.

%	\item Individualius efektus galime laikyti fiksuotais arba atsitiktiniais. 
    \end{itemize}
    
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Vidinė ir tarpinė regresija}
    \begin{itemize}
	
  	\item Vidinės regresijos $\beta$ įvertis gaunamas iš regresijos
	    \begin{align*}
		Qy=QX\beta+Q\nu,
	    \end{align*}
	čia  $Q=I_{NT}-I_N\otimes\bar{J}_T$ - simetrinė idempotentinė
		matrica. Tipiškas $Qy$ elementas yra $y_{it}-\bar{y}_{i.}$.
		
	\item Tarpinės regresijos įvertis gaunamas iš regresijos
	    \begin{align*}
		Py=\alpha +PX\beta+P\nu,
	    \end{align*}
	    čia $P=I_N\otimes\bar{J}_T$ - simetrinė idempotentinė
		matrica. Tipiškas $Py$ elementas yra $\bar{y}_{i.}$, pakartotas
		$T$ kartų kiekvienam individui.
	\item $P+Q=I$, $PQ=0$.
	\end{itemize}

\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Fiksuotų efektų modelis}
    \begin{itemize}
	%\item Matricinis modelio pavidalas
	%    \begin{align*}
%		y=\alpha\imath_{NT}+X\beta+Z_\mu\mu+\nu,
%	    \end{align*}
 %   čia $Z_\mu =I_N\otimes\imath_T$.
	\item $\mu_i$ - fiksuoti. Įverčius gauname taikydami LSDV.
   
	\item LSDV įverčių gavimą iliustruoja šios lygtys, atveju, kai turime
	    tik vieną nepriklausomą kintamąjį:
	    \begin{align*}
		\bar{y}_{i.}&=\alpha+\beta\bar{x}_{i.}+\mu_i+\bar{\nu}_{i.}\\
		y_{it}-\bar{y}_{i.}&=\beta(x_{it}-\bar{x}_{i.})+(\nu_{it}-\bar{\nu}_{i.})\\
		\bar{y}_{..}&=\alpha+\beta\bar{x}_{..}+\bar{\nu}_{..}
	    \end{align*}
	\item Imamas vidinės regresijos įvertis $\tilde{\beta}$, gaunamas iš
	    antros lygties. $\alpha$ įvertinamas iš trečios lygties, taikant
	    sąlygą $\sum\mu_i=0$. $\mu_i$ įverčiai gaunami iš pirmos lygties.
	    Jei  $\sum\mu_i\neq0$, galėsime įvertinti tik $\alpha+\mu_i$
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{FE modelio apžvalga}
   \begin{itemize}

    \item Tinka, jei nagrinėjame tam tikrą specifinę objektų grupę (pvz.
	$N$ firmų, $N$ šalių) ir ja
	remdamiesi norime daryti tam tikras išvadas.
    \item Jei tikrasis modelis yra FE, LSDV yra BLUE, jei $\nu_{it}\sim IID(0,\sigma_\nu^2)$. 
    \item Jei $T\to\infty$, tai $LSDV$ suderintas, jei $T$ -- fiksuotas, o
	$N\to\infty$, tai suderintas tik $\beta$ įvertis.
    \item Jei tikrasis modelis FE, tai taikant įprastą MKM gausime paslinktus
	įverčius.
    \item Jei tarp nepriklausomų kintamųjų yra tokių, kurie nekinta laike, tai
	jų įtakos su LSDV neįvertinsime.
       \end{itemize}
  
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Atsitiktinių efektų modelis}
    \begin{itemize}
	\item Prielaidos: $\mu_i\sim IID(0,\sigma_\mu^2)$,
	    $\nu_{it}\sim IID(0,\sigma_\nu^2)$
	\item Paklaidų kovariacijų matrica pasidaro nebeįstrižaininė:
	    \begin{align*}
		\Omega=E(uu')&=\sigma_\mu^2(I_N\otimes
		J_T)+\sigma_\nu^2(I_N\otimes I_T)\\
	    \end{align*}
	\item Paklaidų variacija išlieka homoskedastinė, bet atsiranda
	    serijinė koreliacija atskiriems individams:
	    \begin{align*}
		\cov(u_{it},u_{js})&=\sigma_\mu^2+\sigma_\nu^2,&\text{ kai }
		i=j,\; t=s\\
				&=\sigma_\mu^2, 	 &\text{ kai }
		i=j,\; t\neq s
	    \end{align*}
	\item Reikia taikyti GLS, tam reikia $\Omega^{-1}$.	    
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Kovariacijų matricos spektrinis išdėstymas}
%    \begin{itemize}
%	\item  
	    Matricą $\Omega$ galima užrašyti taip
	    sumą:
	    \begin{align*}
		\Omega =\sigma_1^2P+\sigma_\nu^2Q,
	    \end{align*}
	    čia $\sigma_1^2=T\sigma_\mu^2+\sigma_\nu^2$. Tada
	   \begin{align*}
		\Omega^{-1}&=\frac{1}{\sigma_1^2}P+\frac{1}{\sigma_\nu^2}Q\\
		\Omega^{-1/2}&=\frac{1}{\sigma_1}P+\frac{1}{\sigma_\nu}Q,
	    \end{align*}
	$y*=\sigma_\nu\Omega^{-1/2}y$  tipinis elementas yra
	$y_{it}-(1-\sigma_\nu/\sigma_1)\bar{y}_{i.}$
	
 %   \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{AE modelio koeficientų įverčiai}
    \begin{itemize}
	\item  Padauginę regresijos modelį iš $\sigma_\nu\Omega^{-1/2}$,
	    GLS gausime taikydami svorinį OLS.
	\item GLS sprendinys yra
	    \begin{align*}
		\hat{\beta}_{GLS}=W_1\tilde{\beta}_{Within} +
		W_2\hat{\beta}_{Between},
	    \end{align*}
	    čia $W_1+W_2=I$.
	\item Matricos $W_1$ ir $W_2$ priklauso nuo $\phi=\sigma_\nu/\sigma_1$,
	    taigi reikia rasti $\sigma_1$ ir $\sigma_\nu$ įverčius.
	\item Paprastai remiamasi tuo, kad $Pu\sim(0,\sigma_1^2P)$ ir
	    $Qu\sim(0,\sigma_\nu^2 Q)$.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{AE modelio apžvalga}
    \begin{itemize}
 
    \item Naudojamas, kai atsitikinai pasirenkame $N$ individų.
    \item Kai $\sigma_\mu=0$, GLS įvertis susiveda į OLS. 
    \item Kai $T\to\infty$, $\hat{\beta}_{GLS}$ artėja į
	$\tilde{\beta}_{Within}$,
	$\var(\tilde{\beta}_{Within})-\var(\hat{\beta}_{GLS})$ yra teigiamai
	apibrėžta matrica.
    \item Kai tikrasis modelis yra AE, GLS įverčiai su tikromis dispersijomis yra BLUE,
	o su įvertintomis yra asimptotiškai geriausi, kai $N\to\infty$ arba
	$T\to\infty$
    \item Nežinomom dispersijom surasti yra pasiūlyta daug metodų: Wallace ir
	 Hussain(1969), Amemiya(1971), Swamy ir Arora (1972), Nerlove (1971).
	 Metodai buvo palyginti  Maddala ir Mount (1973), Taylor (1980). Buvo
	 nustatyta, kad mažom imtims visi jie duoda panašius rezultatus.
  %  \item Parametrų įverčius gauti galima ir naudojant MLE.
 \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Dviejų paklaidos komponentų modelis}
    \begin{itemize}
	\item Įvedamas papildomas dėmuo:
	    \begin{align*}
		u_{it}=\mu_i+\lambda_t+\nu_{it} \quad i=1,\dots,N;\;
		t=1,\dots,T,
	    \end{align*}
	    čia $\mu_i$ -- nestebimas individualus efektas, $\lambda_t$ --
	    nestebimas laiko efektas.
	\item Vektorinis pavidalas:
	    \begin{align*}
		u=Z_\mu\mu+Z_\lambda\lambda+\nu,
	    \end{align*}
	    čia $Z_\mu=I_N\otimes \imath_T$, $Z_\lambda=\imath_N\otimes I_T$.
	\item Analogiškai nagrinėjami fiksuotų bei atsitiktinių efektų modeliai. 
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{FE ir AE modeliai}
    \begin{itemize}
	\item FE atveju įverčiai gaunami taikant LSDV, tik vidinės regresijos
	    transformacijos matrica eliminuoja tiek individualius, tiek laiko
	    efektus. Taip gauname įvertį $\tilde{\beta}$. Individualius ir laiko
	    efektus gauname atitinkamai iš tarpinės individų ir tarpinės laiko
	    regresijų.
	\item RE atveju matricą $\Omega$ galima panašiai išskaidyti į
	    tarpusavyje ortogonalių idempotentinų matricų sumą. GLS $\beta$
	    įvertis yra trijų regresijų svorinis vidurkis:
	    \begin{align*}
		\hat{\beta}_{GLS}=W_1\beta_W+W_2\beta_B+W_3\beta_C
	    \end{align*}
	\item Matricos $W_1$, $W_2$ ir $W_3$ taip pat priklauso nuo nežinomų dispersijų,
	    kurias reikia įvertinti.
    \end{itemize}
\end{frame}
%\section{Hipotezių testavimas}
\begin{frame}
    \frametitle{Testai duomenų paneliškumui nustatyti}
    \begin{itemize}
	\item  Turime $N$ regresijų
	    \begin{align*}
		y_i=Z_i\delta_i+u_i
	    \end{align*}
	 Nulinė hipotezė $H_0: \delta_i=\delta$ visiems $i$.
     \item Esant prielaidai $u\sim N(0,s^2I_{NT})$ taikomas Chow testas:
	 \begin{align*}
	     F= \frac{(e'e-e^{*'} e^*)/(N-1)K}{e^{*'} e^*/N(T-K)},
	 \end{align*}
	 čia $e$ - nulinės hipotezės regresijos liekanos, $e^*$ - alternatyvios
	 hipotezės regresijos liekanos
    \item Esant prielaidai $u\sim N(0,\Omega)$, taikomas Roy-Zellner testas,
	gaunamas Chow teste liekanas pakeitus GLS liekanų įverčiais.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Chow ir R-Z testų apžvalga ir kiti testai}
    \begin{itemize}
	\item Klausimas ar traktuoti duomenis, kaip panelinius ar ne susiveda į
	    hipotezės testavimą. Pritaikius apribojimus bus sumažinta variacija,
	    bet gali atsirasti poslinkis, jeigu apribojimai neteisingi.
	\item Baltagi(1981) atliko Chow ir Roy-Zellner Monte-Carlo palyginimą. Esant
	    dviejų komponentų paklaidos modeliui, Chow testas pernelyg dažnai
	    atmetė nulinę hipotezę, kai ji buvo teisinga.
	\item Ziemer ir Weitzstein (1983) pasiūlė lyginti panelinių duomenų
	    ($\hat{\delta}_{OLS}$) įverčius su nepaneliniais įverčiais
	    ($\hat{\delta}_{i,OLS}$) pagal prognozavimo riziką
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Testai individualiems ir laiko efektams nustatyti}
    \begin{itemize}
	\item Breusch ir Pagan (1980) LM testas hipotezei
	    $H_0:\sigma_\mu^2=\sigma_\lambda^2=0$
	    \begin{align*}
		LM_1&=\frac{NT}{2(T-1)}\left[ 1-\frac{\tilde{u}'(I_N\otimes
		J_T)\tilde{u}}{\tilde{u}'\tilde{u}}\right]^2\\
		LM_2&=\frac{NT}{2(N-1)}\left[ 1-\frac{\tilde{u}'(J_N\otimes
		I_T)\tilde{u}}{\tilde{u}'\tilde{u}}\right]^2,
	    \end{align*}
	    čia $\tilde{u}$ -- OLS liekanos.
	\item $LM=LM_1+LM_2$ esant teisingai $H_0$ yra pasiskirstęs pagal
	    $\chi^2_2$.
	\item Su $LM_1$ galima testuoti hipotezę $H_0:\sigma_\mu^2=0$, su
	$LM_2$ -- $H_0:\sigma_\lambda^2=0$.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Testai su vienpuse alternatyva}
    \begin{itemize}
	\item Honda (1985) pasiūlė tolygiai galingiausius testus:
	    \begin{align*}
		A&=\sqrt{\frac{NT}{2(T-1)}}\left[ \frac{\tilde{u}'(I_N\otimes
		J_T)\tilde{u}}{\tilde{u}'\tilde{u}}-1\right]\\
		B&=\sqrt{\frac{NT}{2(N-1)}}\left[ \frac{\tilde{u}'(J_N\otimes
		I_T)\tilde{u}}{\tilde{u}'\tilde{u}}-1\right],
	    \end{align*}
	    tikrinti atitinkamoms nulinėms hipotezėms  $H_0:\sigma_\mu^2=0$ ir
	    $H_0:\sigma_\lambda^2=0$. $A$ ir $B$ yra asimptotiškai normalūs. 
	\item  Testai su vienpuse alternatyva hipotezei
	    $H_0:\sigma_\mu^2=\sigma_\lambda^2=0$ tikrinti yra gaunami įvairiai
	    sudėjus $A$ ir $B$. Honda (1985), Baltagi, Chang ir Li (1992),
	    Gourieroux, Holy, Monfort (1982).
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Kiti testai}
    \begin{itemize}
	\vspace*{10pt}

	\item Baltagi, Chang ir Li pasiūlė LM testus nulinėms hipotezėms
	    $H_0:\sigma_\mu^2=0$(tariant $\sigma_\lambda^2>0$), bei
	    $H_0:\sigma_\lambda^2=0$(tariant $\sigma_\mu^2>0$) tikrinti.
	\vspace*{10pt}
    	
	\item Moulton ir Randolph (1989) parodė, kad FE modeliui naudojami F testai 
	    gali būti pritaikyti ir AE modeliui.
	\vspace*{10pt}

	\item Gourieroux, Holy, Monfort išvedė LR statistikas ir parodė, kad jos
	    turi tą patį asimptotinį pasiskirstymą kaip ir LM statistikos.
     \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Testų palyginimas}
    \begin{itemize}
	\item Baltagi, Chang ir Li (1992) atliko įvairių testų Monte-Karlo
	    palyginimą.
	\item Jei $H_0:\sigma_\mu^2=0$ yra teisinga, bet $\sigma_\lambda^2>0$, visi testai į
	    tai neatsižvelgiantys per dažnai atmeta nulinę hipotezę. Dideliems $\sigma_\mu^2$ tai
	    įtakos nedaro.
	\item Testai skirti  $H_0:\sigma_\mu^2=0$(tariant $\sigma_\lambda^2>0$)
	    dideliems $\sigma_\mu^2=0$ turi didelę galią. Be to, net jei
	    tikrajam modeliui $\sigma_\lambda^2=0$, testams tai įtakos nedaro.
	\item Palyginus su LM ir LR statistikomis F statistikos elgiasi šiek tiek
	    geriau.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Hausmano specifikacijos testas}
    \begin{itemize}
	\item Paklaidų komponentų modeliamas svarbi sąlyga yra
	    $E(u_{it}|X_{it})=0$
	\item Jei ši sąlyga netenkinama, tai $\hat{\beta}_{GLS}$ yra paslinktas
	    ir nesuderintas, bet $\tilde{\beta}_{Within}$ išlieka suderintas ir
	    nepaslinktas.
	\item Hausman (1978) pasiūlė statistiką, besiremiančią  šių įverčių skirtumu
	    $\hat{q}_1=\hat{\beta}_{GLS}-\tilde{\beta}_{Within}$:
	    \begin{align*}
		m_1= \hat{q}_1'[\var(\hat{q}_1)]\hat{q}_1,
	    \end{align*}
	esant nulinei hipotezei $m_1$ pasiskirstęs kaip $\chi_K^2$.
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Kiti specifikacijos testai}
    \begin{itemize}
	\item Hausman ir Taylor (1981) parodė, kad nulinę hipotezę
	    $E(u_{it}|X_{it})=0$ galima tikrinti naudojant bet kurį iš šių
	    skirtumų: $\hat{q}_1=\hat{\beta}_{GLS}-\tilde{\beta}_{Within}$,
	    $\hat{q}_2=\hat{\beta}_{GLS}-\tilde{\beta}_{Between}$ ir
	    $\hat{q}_3=\hat{\beta}_{Within}-\tilde{\beta}_{Between}$. 
	 	\vspace*{10pt}
   
	\item Arellano (1993) sukonstravo testą, kuris nejautrus bet kokiai
	    autokoreliacijos ir heteroskedastiškumo formai.
	\vspace*{10pt}

	\item Chamberlain (1982), Angrist ir Newey (1991) nagrinėjo
	    specifikacijos testus FE modeliui. Chamberlain parodė, kad FE
	    modelyje koeficientai iš tikrųjų yra apriboti.
    \end{itemize}
\end{frame}
%\section{Klasikinių modelių apibendrinimai}

\end{document}
