\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,lithuanian]{babel}
\usepackage[L7x]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
\usepackage[unicode]{hyperref}
%\usepackage{ucshyper}
\pagestyle{plain}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\E}{\mathbf{E}}
\newcommand{\PP}{\mathbf{P}}
\newtheorem{theorem}{Teiginys}

\DeclareMathOperator{\spp}{sp}

\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
\DeclareMathOperator{\Res}{Res}

\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}

\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\topmargin=0cm
\textheight=700pt
\textwidth=430pt
\oddsidemargin=0pt
\headsep=0pt
\headheight=0pt
%\voffset=-1in

\begin{document}
\title{Rinktiniai analizės skyriai II. Pratybų uždaviniai}
\date{}
\author{Vaidotas Zemlys}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Pratybų nr. 1 uždaviniai}
\hfill Vasario 5 d.
\begin{enumerate}
    \item Apskaičiuokite $z^{14}+z^{-14}$, kai $z$ yra lygties $z+1/z=1$ šaknys.
    \item Raskite plokštumos $\mathbb{C}$ taškų $z$ aibes ir pavaizduokite jas
	geometriškai:
	\begin{enumerate}
	    \item $|z+1-i|=|z-1+i|$
	    \item $|z+1+2i|\le 0$
	    \item $arg z=(2n+1)\pi$, $n\in \mathbb{Z}$.
	\end{enumerate}
    \item Įrodykite tapatybes
	\begin{enumerate}
	    \item $|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)$
	    \item $|z_1\bar{z_2}-1|^2-|z_1-z_2|^2=(|z_1|^2-1)(|z_{2}|^2-1)$
	\end{enumerate}
    \item Įrodykite kad $\arg \bar{z}=2\pi -\arg z$, kai $\bar{z}\neq z$. 
    \item Nustatykite, kuri iš aibių yra sritis ir pavaizduokite ją
	geometriškai
	\begin{enumerate}
	    \item $|z-1|<1$ ir $|z-5i|<1$
	    \item $|z-i|\ge 1$ ir $|z-i|\le 2$
	    \item $|z|<5$, $z\notin |Im z|<1$ ir $|Re z|<1$.
	\end{enumerate}
    \item Rasti šių sekų ribas:
	\begin{enumerate}
	    \item $\frac{2n-1}{n}+i\frac{n-3}{3}$
	    \item $\exp\left(i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2n}\right)\right)$
	    \item $\sin \frac{\pi}{2^n}+i\frac{n^2-3}{5n^2+1}$
	\end{enumerate}
    \item Ištirkite kaip konverguoja šios eilutės:
	\begin{enumerate}
	    \item $\sum_{n=1}^\infty\frac{\sh(i\sqrt{n})}{\sin in}$
	    \item $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{\sh(in)}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section{Pratybų nr. 2 uždaviniai}
\hfill Vasario 12 d.

\begin{enumerate}
    \item Raskite funkcijų $w=f(z)$ realias ir menamąsias dalis:
	\begin{enumerate}
	    \item $w=z^3-i\bar{z}+3$
	    \item $w=z\cos z+\bar z$
	    \item $w=\sin z+i(3z+2)$
	\end{enumerate}
%    \item Į kokią kreivę funkcija $w=\frac{z-i}{z+i}$ atvaizduoja apskritimą 
    \item Ar diferencijuojama funkcija $w=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$?
    \item Ištirti funkcijų diferencijavimą ir rasti jų išvestines:
	\begin{enumerate}
	    \item $e^z$
	    \item $\sin z$
	    \item $\log z$
	\end{enumerate}
    \item Įrodykite, kad šios funkcijos yra diferencijuojamos tik
	taške 0:
	\begin{enumerate}
	    \item $|z|z$
	    \item $z \Re z$
	    \item $z \Im z$
	    \item $|z|\Re \bar{z}$. 
	\end{enumerate}
    \item Kurios iš šių funkcijų ir kokioje srityje yra analizinės:
	\begin{enumerate}
	    \item $w=|z|\Re z-2z$
	    \item $w=\frac{1}{z}\sin z-3z$
	    \item $w=z\Im z+|z|\bar z$
	    \item $w=ze^{-z}-3iz$
	\end{enumerate}
    \item Rasti ribas:
	\begin{enumerate}
	    \item $\lim_{z\to 1}\frac{\ln z}{z-1}$
	    \item $\lim_{z\to 0}\frac{1-\cos z}{z^2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\section{Pratybų nr. 3 uždaviniai}
\hfill Vasario 19 d.

\begin{enumerate}
    \item Kuri plokštumos dalis yra ištempiama, jei
	\begin{enumerate}
	    \item $w=\frac{1}{1-z}$?
	    \item $w=e^{2z}$?
	    \item $w=z^{3}$?
	\end{enumerate}
    \item Kuri plokštumos dalis yra suspaudžiama, jei
	\begin{enumerate}
	    \item $w=z^2$?
	    \item $w=\frac{z+1}{z+2}$?
	\end{enumerate}
    \item Rasti kokiu kampu taško $z_{0}$ aplinka pasukama apie tašką
	$z_{0}$, kai atvaizdis $w=f(z)$
	\begin{enumerate}
	    \item $f(z)=\frac{z+i}{z-i}$, $z_0=1$,
	    \item $f(z)=\cos z$, $z_0=i$,
	    \item $f(z)=2iz$, $z_0=3+2i$.
	\end{enumerate}
    \item Rasti tiesinę funkciją $w=az+b$, skritulį $|z-z_0|\le r$
	atvaizduojančią į skritulį $|w-w_0|\le R$.
    \item Į kokias kreives funkcija $w=\frac{1}{z}$ vaizduoja 
	\begin{enumerate}
	    \item tiesę $x+y-2=0$?
	    \item tiesę $\Re z+\Im z=1$?
	    \item apskritimą $|z-2|=1$?
	\end{enumerate}
    \item Raskite deformacijos koeficientą ir posūkio kampą:
	\begin{enumerate}
	    \item $w=3^{-iz}+2z^2$, $z_{0}=0$
	    \item $w=\frac{z+1}{z-1}$, $z_0=3+i$
	\end{enumerate}
    \item Į kokią sritį funkcija $w=\sin z$ vaizduoja pusjuostę $0<\Re z<2\pi$,
	$\Im z>0$?
    \item Raskite sritį, į kurią funkciją $w=\ch z$ vaizduoja pusjuostę
	$0<\Im z<\pi$, $\Re z>0$. 
\end{enumerate}

\newpage
\section{Pratybų nr. 4 uždaviniai}
\hfill Vasario 26 d.
    \begin{enumerate}
	\item Suskaičiuoti integralą $\int_0^{1+i}z^2dz$.

	\item Suskaičiuoti integralą $\int_{|z|=1}\frac{dz}{z}$.

	\item Suskaičiuoti integralą $\int_{\Gamma}\frac{dz}{\sqrt[4]{z}}$, čia
	    $\Gamma=\{z\in\mathbb{C}: |z=1|, \Im z\ge 0\}$:
	    \begin{enumerate}
		\item laikant $\sqrt[4]{1}=1$,
		\item laikant $\sqrt[4]{1}=i$ ir kreivės $\Gamma$ pradinis
		    taškas yra $z=1$.
	    \end{enumerate}
	\item Suskaičiuoti integralą $\int_{\Gamma}\bar{z}dz$, kai
	    $\Gamma=\{z\in \mathbb{C}: \|(x,y)\|_{\max}=1 \}$.      	
	\item Suskaičiuoti integralą $\int_{\Gamma}\frac{1+z^2}{z}dz$, čia
	    $\Gamma=\{z\in\mathbb{C}:z=Re^{it}, t\in[0,\pi]\}$
	\item Suskaičiuoti integralą $\int_{1}^i\frac{\ln(z+1)}{z+1}dz$
	    apskritimo $|z|=1$, $\Im z\ge 0$, $\Re z\ge 0$.
    \end{enumerate}
\newpage
\section{Pratybų nr. 5 uždaviniai}
\hfill Kovo 19 d.
    \begin{enumerate}
	\item Suskaičiuoti integralą $\int_{|z|=1}\frac{dz}{z^3-2z^2}$.
	\item Suskaičiuoti integralus 
	    \begin{enumerate}
		\item  $\int_{|z|=3}\frac{\cos z}{z^2+4z}dz$
		\item  $\int_{|z+i|=1}\frac{dz}{z^2+1}$
		\item $\int_{|z|=4}\frac{\cos z}{(z-\pi)^3}$
	    \end{enumerate}
	\item Suskaičiuoti integralus
	    \begin{enumerate}
		\item $\int_{|z|=1}\frac{e^z}{z^4}dz$
		\item $\int_{|z|=3}\frac{\cos \pi zdz}{(z-1)^3}$ 
		\item $\int_{|z|=2}\frac{z^4+3z^3-2z+1}{(z+1)^3}dz$		    
	    \end{enumerate}
	\item Rasti eilučių konvergavimo sritis
		\begin{enumerate}
		    \item $\sum_{k=0}^{\infty}z^{k^2}$
		    \item $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z-i)^{k}}{k^2}$
		\end{enumerate}
			
    \end{enumerate}
\newpage
\section{Pratybų nr. 6 uždaviniai}
\hfill Kovo 20 d.
    \begin{enumerate}
    	\item Rasti eilučių konvergavimo sritis
		\begin{enumerate}
		    \item $\sum_{k=0}^{\infty}z^{k^2}$
		    \item $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z-i)^{k}}{k^2}$
		\end{enumerate}
	    \item Išreikškite $z$ laipsniais funkciją
		$\frac{1}{1+z}+e^{-z}$.
	    \item  Išreikškite $z$ laipsniais funkciją
		$\frac{e^z}{1-z}$.
	    \item Išskleisti funkciją $\frac{2z-5}{z^2-5z+6}$ taško $1$
		aplinkoje.
	    \item Išskleiskite Lorano eilute taško $z_{0}$ aplinkoje šias
		funkcijas:
		\begin{enumerate}
		    \item $\frac{z+3}{z^2-1}$, $z_0=1$
		    \item $\exp\left(\frac{z}{z-3}\right)$, $z_0=3$.
		\end{enumerate}
    \end{enumerate}

\newpage
\section{Pratybų nr. 7-8 uždaviniai}
\hfill Kovo 26 d.
    \begin{enumerate}
    
	    \item Išreikškite $z$ laipsniais funkcijas
		\begin{enumerate}
		    \item $\frac{1}{1+z}+e^{-z}$.
		    \item  	$\frac{e^z}{1-z}$.

		\end{enumerate}	 
	     \item Išskleisti funkciją $\frac{2z-5}{z^2-5z+6}$ taško $1$
		aplinkoje.
	    \item Išskleiskite Teiloro eilute nurodyto taško $z_{0}=0$ šias
		funkcijas:
		\begin{enumerate}
		    \item $\frac{1}{5z+4}$, $z_0=2$
		    \item $\sin(2z+1)$, $z_0=-1$
		    \item $e^{z-1}\sin(z-1)$, $z_0=1$.
		    \item $\cos^2z +\ch^2 z$,$z_0=0$. 
		    \item $\cos z\ch z$, $z_0=0$.
		\end{enumerate}
	    \item Rasti funkcijų nulius ir nustatyti jų eilę:
		\begin{enumerate}
		    \item $z^3(z^2+4)^2$
		    \item $z^2\sin z$
		    \item $e^{\tan z}$
		\end{enumerate}
	    \item Išskleiskite Lorano eilute taško $z_{0}$ aplinkoje šias
		funkcijas:
		\begin{enumerate}
		    \item $\frac{z+3}{z^2-1}$, $z_0=1$
		    \item $\exp\left(\frac{z}{z-3}\right)$, $z_0=3$.
		    \item $z^{2}e^{1/z}$, $z_0=0$
		    \item $z^{2}e^{1/z}$, $z=\infty$
		    \item $z^{\frac{1}{4}}\cos \frac{1}{z}$,  $z_0=0$
		    \item $ze^{\frac{1}{z+i}}$,  $z_0=i$.
		    \item $z^2\sin\left(\pi\frac{z+1}{z}\right)$, $0<|z|<\infty$
		\end{enumerate}
	    \item Išskleiskite funkcijas Lorano eilute taško $z_{0}$ aplinkoje
		ir raskite pagrindinę eilutės dalį:
		\begin{enumerate}
		    \item $\frac{z-1}{\sin^z}$, $z_0=0$
		    \item $\frac{e^{iz}}{z^2+b^2}$, $z_0=ib$, $b>0$.
		\end{enumerate}
    \end{enumerate}

\newpage
\section{Pratybų nr. 9 uždaviniai}
\begin{enumerate}
    \item Apskaičiuoti $\Res_{z=0}\frac{\sin z}{z^4}$
    \item Apskaičiuoti funkcijos $z\cos\frac{1}{z+2}$ reziduumus.
    \item Apskaičiuoti integralą $\int_{|z|=2}e^{\frac{1}{z-1}}dz$.
    \item Apskaičiuoti integralą $\int_{|z|=3}\frac{dz}{z^2+4}$.
    \item Apskaičiuoti integralą
	$\int_{|z|=2}\frac{z^{12}}{(2z^2+1)^2(3z^{3}+1)^{3}}$ 
    \item Apskaičiuoti funkcijos $\frac{z^{6}}{(z-i)^{4}}$ reziduumus.
    \item Apskaičiuoti funkcijos $\ctg z^{2}$ reziduumus.

\end{enumerate}
\newpage
\section{Pratybų nr. 10 uždaviniai}
 Išspręsti dif. lygtis:	
\begin{enumerate}
       
    \item $\sqrt{1+y^2}dx=xydy$
    \item $(x^2-1)y'+2xy^2=0$, $y(0)=1$.
    \item $xy'+y=y^2$, $y(1)=0,5$.
    \item $e^{-s}\left(1+\frac{ds}{dt}\right)=1$
    \item $y'=\cos(y-x)$
    \item $y'-y=2x-3$
    \item $x^2y'-\cos2y=1$, $y(\infty)=\frac{9}{4}\pi$ 
    \item $3y^2y'+16x=2xy^3$, $y(x)$ yra aprėžta, kai $x\to\infty$
\end{enumerate}

\newpage
\section{Pratybų nr. 13 uždaviniai}
Išspręsti 
\begin{enumerate}
    \item $(2x+1)y'=4x+2y$
    \item $(xy+e^x)dx-xdy$
    \item $(x+y^2)dy=ydx$
    \item $(\sin^2y+x\ctg y)y'=1$ 
    \item $\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\frac{dy}{dx}+\sqrt{y^2+1}=x^2+1$
    \item $3dy+(1+e^{x+3y})dx=0$
    \item $(x+1)(y'+y^2)=-y$ 
    \item $(x^3y-3x^2y+y^3)dx+2x^3dy=0$
\end{enumerate}
\newpage
\section{Pratybų nr. 14 uždaviniai}
Išspręsti dif. lygtis
\begin{enumerate}
    \item $\frac{\sqrt{\ln
	y}}{y}\frac{dy}{dx}+\frac{2}{3(x+1)}\sqrt{(\ln y)^3}=1$
    \item $(x+1)(y'+y^2)=-y$
    \item $xydx+(x^2+y^2+1)dy=0$
    \item $(x^3y-3x^2y+y^3)dx+2x^3dy=0$
    \item $(x\ln y-x^2+\cos y)dy + (x^3+y\ln y-y-2xy)dx=0$
    \item $y''+y'-2y=0$
    \item $y''-2y'=0$, $y(0)=0$, $y'(0)=2$.
    \item $y^{IV}+2y''+y=0$.
\end{enumerate}
\newpage
\section{Pratybų nr. 15 uždaviniai}
	Išspręsti dif. lygtis

\begin{enumerate}
    
    \item $y''-2y'-3y=e^{4x}$; $y(0)=1$, $y'(0)=0$
    \item $y''-y=2e^x-x^2$
    \item $y''-3y'+2y=\sin x$
    \item $y''-2y'+2y=e^{x}+x\cos x$ 

    \end{enumerate}
	Išspręsti lygčių sistemas

\begin{enumerate}
    \item $x'=2x+y$, $y'=3x+4y$
    \item $x'=x-y$, $y'=y-4x$
    \item $x'=x-y+z$, $y'=x+y-z$, $z'=2x-y$
    \item $x'=2x+y$, $y'=x+3y-z$, $z'=-x+2y+3z$

\end{enumerate}
\end{document}
