\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,lithuanian]{babel}
\usepackage[L7x]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
%\usepackage[unicode]{hyperref}
%\usepackage{ucshyper}
\pagestyle{plain}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\E}{\mathbf{E}}
\newcommand{\PP}{\mathbf{P}}
\theoremstyle{change}\newtheorem{salyga}{Uždavinys}

\DeclareMathOperator{\spp}{sp}

\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
\topmargin=0cm
\textheight=700pt
\textwidth=430pt
\oddsidemargin=0pt
\headsep=0pt
\headheight=0pt
%\voffset=-1in
\def\qed{\relax\ifmmode\hskip2em \Box\else\unskip\nobreak\hskip1em $\Box$\fi}

\begin{document}
\begin{titlepage}
\centerline{ \large VILNIAUS UNIVERSITETAS}
\bigskip
\centerline{\large MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS}
\smallskip

\centerline{\large  EKONOMETRINĖS ANALIZĖS KATEDRA}
\vskip 200pt
\centerline{ \large Archimedas \textsc{Pitagorietis}}
\vskip 50pt
\centerline{\bf \Large Matematinės analizės namų darbai nr. 3}
\bigskip
\vskip 50pt
\hfill Ekonometrija, I kursas, 2 grupė
\vskip 200pt
\centerline{\large VILNIUS 2009}
\end{titlepage}

\section{Namų darbai nr. 11}

\begin{salyga}
%	Tegu $(r_n)$ yra realiųjų skaičių seka ir $r\in \mathbb{R}$. Įrodyti,
%	kad $\lim_{n\to\infty}r_n=r$ tada ir tik tada, kai kiekvienam
%	$k\in\mathbb{N}_+$ egzistuoja toks $N\in \mathbb{N}$, kad
%	$\rho(r_n,r)<1/k$ kiekvienam $n\ge N$.
\end{salyga}

\begin{salyga}
     Tarkime, kad teigiamų realiųjų skaičių seka $(r_n)$ konverguoja į
	skaičių $r$ ir $r\neq 0$. Įrodyti, kad egzistuoja toks $N\ge m$, kad
	$|r_n|\ge |r|/2$  kiekvienam $n\ge N$.
\end{salyga}
\noindent\textit{Sprendimas.} Kadangi seka $(r_n)$ konverguoja į $r$, tai
$\forall \eps>0$, $\exists N$:
\begin{align*}
    |r_n-r|<\eps,\text{ } \forall n\ge N
\end{align*}
Tegu $\eps=|r|/2$, tada egzistuoja toks $N$, kad
\begin{align}\label{l:uzd2main}
    |r_n-r|<|r|/2,\text{ } \forall n\ge N.
\end{align}
Visiems realiesiems skaičiams $a$, $b$ galioja nelygybė
\begin{align*}
    ||a|-|b||\le|a-b|
\end{align*}
Paėmę $a=r$, $b=r-r_n$, visiems $n\ge N$ (čia $N$ iš \eqref{l:uzd2main}) gauname
\begin{align}
    |r_n|&=|r-(r-r_n)|\ge||r|-|r-r_n||\notag\\
    &=|r|-|r-r_n| \label{l:1}\\
    &>|r|-|r|/2=|r|/2.\notag
\end{align}
Lygybė \eqref{l:1} išplaukia iš nelygybės \eqref{l:uzd2main}, dėl to,
kad $|r|>|r|/2>|r-r_n|$. \qed

\begin{salyga}
    Tarkime, kad teigiamų realiųjų skaičių seka $(r_n)$ konverguoja į
	teigiamą skaičių $r$. Įrodyti, kad seka $(\sqrt{r_n})$ konverguoja į
	$\sqrt{r}$. 

\end{salyga}
\noindent\textit{Sprendimas.} Turime
\begin{align}\label{l:uzd3}
    |\sqrt{r_n}-\sqrt{r}|=\frac{|r_n-r|}{\sqrt{r_n}+\sqrt{r}}\le
    \frac{|r_n-r|}{\sqrt{r}}
\end{align}
Kadangi $\lim r_n=r$, tai $\forall \eps>0$, $\exists N$:
\begin{align*}
    |r_n-r|<\eps, \text{ } \forall n\ge N.
\end{align*}
Taigi iš \eqref{l:uzd3} gauname, kad
\begin{align*}
    |\sqrt{r_n}-\sqrt{r}|<\eps/{\sqrt{r}}, \text{ } \forall n\ge N.
\end{align*}
\qed

\begin{salyga}
%    Tarkime, kad realiųjų skaičių aibė $A$ turi viršutinį rėžį $M$ ir
%	egzistuoja tokia iš aibės $A$ elementų sudaryta seka $(x_n)$, kad
%	$x_n\to M$, kai $n\to\infty$. Įrodyti, kad $M$ yra aibės $A$ mažiausias
%	viršutinis rėžis.

\end{salyga}

\begin{salyga}
%    Tegul $r_n:=1/(n+1)$, $n\in \mathbb{N}$. Įrodyti, kad $\sup_{n\in
%	\mathbb{N}}r_n=1$ ir $\inf_{n\in \mathbb{N}}r_n=0$.


\end{salyga}

\begin{salyga}
%    Tegul $a$ yra teigiamas realusis skaičius.  Parodyti, kad
%	$\lim a^{1/n}=1$. (Pasinaudoti tuo, kad $a=(1+(a^{1/n}-1)^{n})$)

\end{salyga}


\begin{salyga}
%    Parodyti, kad $\lim n^{1/n}=1$. 
%	(Pasinaudoti tuo, kad $n=(1+(n^{1/n}-1)^{n})$)


\end{salyga}

\begin{salyga}
%    Rasti sekų ribas:
%	\begin{enumerate}
%	    \item $n^{1/n^2}$
%	    \item $(n^2)^{1/n}$
%	    \item $(1+n^2)^{1/n^3}$
%	    \item $(1+1/n)^{2/n}$.
%	\end{enumerate}

\end{salyga}
\newpage
\section{Namų darbai nr. 12}
\setcounter{salyga}{0}
\begin{salyga}
  %  Pateikite pavyzdį sekos, kuri turi lygiai du ribinius taškus. 

\end{salyga}
 
\begin{salyga}
  %  Tegul $r_1=1/2$, tegul kiti trys nariai yra $1/4$, $1/2$, $3/4$. Tegul
%	kiti septyni nariai yra $1/8,1/4,3/8,1/2,5/8,3/4,7/8$ ir taip toliau.
%	Rasti visus šios sekos ribinius taškus.
\end{salyga}

\end{document}
