\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,lithuanian]{babel}
\usepackage[L7x]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{theorem}
\usepackage{bm}
\usepackage[unicode]{hyperref}
%\usepackage{ucshyper}
\pagestyle{plain}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\E}{\mathbf{E}}
\newcommand{\PP}{\mathbf{P}}
\newtheorem{sal}{Uždavinys}

\DeclareMathOperator{\spp}{sp}

\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
\topmargin=0cm
\textheight=700pt
\textwidth=430pt
\oddsidemargin=0pt
\headsep=0pt
\headheight=0pt
%\voffset=-1in
\def\qed{\relax\ifmmode\hskip2em \Box\else\unskip\nobreak\hskip1em $\Box$\fi}

\begin{document}
\title{Pratybų patikrinimo II uždavinių sprendimai}
\date{}
\author{}

\maketitle

\begin{sal}
  Įrodyti, kad kiekvienam teigiamam realiam skaičiui $t$, egzistuoja
	toks natūralusis skaičius $N$, kad $t>\frac{13}{N}>0$.
  
\end{sal}
\noindent\textit{Sprendimas 1.} Remiantis Archimedo principu, kiekvienam
realiajam skaičiui $s$ egzistuoja natūrinis skaičius $K$, toks kad $K>s$. Tegu
$s=\frac{13}{t}$. Tada egzistuoja toks $K$, kad
\begin{align*}
    K>s=\frac{13}{t} \Rightarrow t>\frac{13}{K}.
\end{align*}
Mūsų ieškomas $N$ yra $K$. \qed
 
\noindent\textit{Sprendimas 2.} Kiekvienam teigiamam realiajam skaičiui $t$ egzistuoja
toks racionalusis skaičius $c$ ir $K$, kad $0<c<t<K$. Kadangi $c$ yra
racionalusis, tai $c=\frac{a}{b}$, čia $a,b\in \mathbb{N}_+$. Turime
\begin{align*}
    t>c=\frac{a}{b}\ge \frac{1}{b}=\frac{13}{13b}.
\end{align*}
Pažymėkime $N=13b$. Tada 
\begin{align*}
    t>\frac{13}{N}.
\end{align*}
Taigi radome natūralųjį skaičių $N$, kuriam galioja reikiama nelygybė.\qed

\begin{sal}
    Tarkime, kad aprėžta 
	teigiamų realiųjų skaičių seka $(r_n)$ konverguoja į
	teigiamą skaičių $r$. Parodyti, kad seka $(r_n^2)$ konverguoja į
	$r^2$.
\end{sal}
\noindent\textit{Sprendimas 1.} Jeigu turime dvi sekas $(a_n)$ ir $(b_n)$
konverguojančias atitinkamai į $a$ ir $b$, tai seka $(a_n\cdot b_n)$ konverguoja
į $a\cdot b$. Imkime $a_n=r_n$, ir $b_n=r_n$. Tada $a_n\cdot b_n=r_n^2$,
$a=r$, $b=r$ ir $a\cdot b=r^2$. \qed

\noindent\textit{Sprendimas 2.} Kadangi $r_n$ yra aprėžta, tai egzistuoja toks
skaičius $C$, kad 
\begin{align*}
    |r_n|\le C, \quad \text{ visiems } n\ge 1.
\end{align*}
Kadangi $\lim r_n=r$, tai kiekvienam $\eps>0$ egzistuoja toks $N(\eps)\in
\mathbb{N}$, kad 
\begin{align*}
    |r_n-r|<\frac{\eps}{C+|r|}, \quad \text{ visiems } n\ge N(\eps).
\end{align*}
Turime 
\begin{align*}
    |r_n^2-r^2|&=|r_n-r||r_n+r|\\
    &\le |r_n-r|(|r_n|+|r|)\\
    &\le     |r_n-r|(C+|r|)\\
    &<\frac{\eps}{C+|r|}(C+|r|)=\eps,
\end{align*}
visiems $n\ge N(\eps)$. Taigi kiekvienam $\eps>0$ mes radome tokį
$N(\eps)$, kad 
\begin{align*}
    |r_n^2-r^2|<\eps, \quad \text{ visiems } n\ge N(\eps).
\end{align*}
Taigi $\lim r_n^2=r^2$.\qed
\begin{sal}
    Tarkime, kad turime aprėžtą ir atskirtą nuo nulio teigiamų
	realiųjų skaičių seką $(r_n)$. Parodyti, kad jei seka $(\sqrt{r_n})$
	konverguoja į $\sqrt{r}$, čia $r$ teigiamas realusis skaičius,
	tai seka $(r_n)$ konverguoja į $r$. \hfill \textit{5 b.}

\end{sal}
\noindent\textit{Sprendimas 1.} Jeigu turime dvi sekas $(a_n)$ ir $(b_n)$
konverguojančias atitinkamai į $a$ ir $b$, tai seka $(a_n\cdot b_n)$ konverguoja
į $a\cdot b$. Imkime $a_n=\sqrt{r_n}$, ir $b_n=\sqrt{r_n}$. Tada $a_n\cdot b_n=r_n$,
$a=\sqrt{r}$, $b=\sqrt{r}$ ir $a\cdot b=r$. \qed

\noindent\textit{Sprendimas 2.} Kadangi $r_n$ yra aprėžta, aprėžta ir
$\sqrt{r_n}$.  Taigi egzistuoja toks
skaičius $C$, kad 
\begin{align*}
    \sqrt{r_n}\le C, \quad \text{ visiems } n\ge 1.
\end{align*}
Kadangi $\lim r_n=r$, tai kiekvienam $\eps>0$ egzistuoja toks $N(\eps)\in
\mathbb{N}$, kad 
\begin{align*}
    |\sqrt{r_n}-\sqrt{r}|<\frac{\eps}{C+\sqrt{r}}, \quad \text{ visiems } n\ge N(\eps).
\end{align*}
Turime 
\begin{align*}
    |r_n-r|&=|\sqrt{r_n}-\sqrt{r}|(\sqrt{r_n}+\sqrt{r})\\
    &\le |\sqrt{r_n}-\sqrt{r}| (C+\sqrt{r})\\
    &<\frac{\eps}{C+\sqrt{r}}(C+\sqrt{r})=\eps,
\end{align*}
visiems $n\ge N(\eps)$. Taigi kiekvienam $\eps>0$ mes radome tokį
$N(\eps)$, kad 
\begin{align*}
    |r_n-r|<\eps, \quad \text{ visiems } n\ge N(\eps).
\end{align*}
Taigi $\lim r_n=r$.\qed

     \end{document}
