VII KOMANDINĖ KALĖDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA

PROFESORIAUS JONO KUBILIIAUS TAUREI LAIMĖTI

Raseiniai , 2006-12-12

1. Mažiausias skaičius, kurį dviem skirtingais būdais galima užrašyti 3 skirtingų sveikų teigiamų daugiklių sandauga taip, kad visi 6 daugikliai būtų skirtingi, yra

(A) 24

(B) 32

(C) 36

(D) 48

(E) 60

2. Kiek sprendinių turi angliška žodžių lygybė “SEVEN + ONE = EIGHT”? Čia, kaip įprasta, kiekviena raidė reiškia vieną kurį skaitmenį nuo 0 iki 9, skirtingas raides atitinka skirtingi, o vienodas raides atitinka vienodi skaitmenys, ir joks skaičius neprasideda 0.

(A) 0

(B) 1

(C) 3

(D) 7

(E) 8

3. Realieji skaičiai x, y ir z yra visi skirtingi ir tenkina sąlygas

x² - x - y = y² - y – z = z² - z - x. Raskite sandaugą (x + y)(y + z)(z + x).

(A) -1

(B) 0

(C) 1

(D) 2006

(E) nustatyti neįmanoma

4. AK ir BM yra trikampio ABC pusiaukampinės. Raskite mažiausiąjį to trikampio kampą, jeigu yra žinoma, kad AK = BM = AB.

(A) 15º

(B) 18º

(C) 30º

(D) 36º

(E) 40º

5. Šachmatų turnyre dalyvavo 20 žaidėjų. Kiekvienas žaidėjas su kiekvienu kitu žaidėju sužaidė po vieną partiją. Žaidžiant šachmatais už laimėtą partiją skiriamas 1 taškas, už lygiąsias skiriama ½ taško, o už pralaimėtą partiją žaidėjas gauna 0 taškų. Suvedus rezultatus paaiškėjo, kad visi dalyviai surinko po skirtingą taškų skaičių. Kiek mažiausiai taškų galėjo būti surinkęs turnyro nugalėtojas?

(A) 16

(B) 15,5

(C) 15

(D) 14,5

(E) 14

6. Lygčių sistemą

spręskime sveikaisiais neneigiamais skaičiais a, b, c ir d . Kiek sprendinių turi ši lygtis?

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) ne mažiau negu 4

7. Magdė užrašė skaičių, pamatė, kad jis dalijasi iš savo paskutiniojo skaitmens ir padalijo tą skaičių iš jo. Pasirodė, kad gautasis skaičius vėl dalijasi iš savo paskutiniojo skaitmens ir Magdė vėl tą gautąjį skaičių padalijo iš jo ir t.t. Po 10 dalijimų Magdė gavo 1, be to, visi prieš tai atlikti dalijimo rezultatai buvo didesni už 1. Kiek yra tokių skaičių?

(A) 3

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) daugiau negu 10

8. Lygties (1/101+1/204+1/309+…+1/1100)·X = (1/11+1/24+1/39+…+1/11000) sprendinys X yra

(A) 1

(B) 10

(C) 10,9

(D) 11

(E) 11,1

9. Raseinių „Žemaičio“ gimnazijos moksleivių Taryboje yra 14 žmonių. Taryboje yra sudarytos komisijos atskirų dalykų dėstymui remti. Jokioje komisijoje negali būti mažiau kaip 3 nariai ir jokios dvi komisijos negali būti sudarytos iš vienų ir tų pačių narių. Kiekviena komisija iš savo narių išsirenka pirmininką. Nė vienas Tarybos narys negali priklausyti daugiau negu 2 komisijoms, ir kiekvienas komisijos pirmininkas negali įeiti į jokią kitą komisiją nei nariu, nei pirmininku. Kiek daugiausiai komisijų gali būti sudaryta Raseinių „Žemaičio“ gimnazijos moksleivių Taryboje?

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 7

10. Kiek yra 10-ženklių skaičių, kurių visi skaitmenys yra skirtingi ir kurie dalijasi be liekanos iš 11 111?

(A) 123

(B) 234

(C) 1111

(D) 3456

(E) 6790