6. VIENETO ŠAKNYS IR CIKLOTOMINIAI POLINOMAI

UŽDAVINIAI.

1. Polinomo x^{n} − 1 faktorizacija virš kūno GF (q) . 1.1. Sudarykite ciklotomines aibes moduliu n . 1.2. Kiek neredukuojamu_{‘} polinomu_{‘} yra polinomo x^{n} − 1 kanoniniame skaidinyje ir

kokie šiu_{‘} polinomu_{‘} laipsniai .

1.3. Faktorizuokite polinoma_{‘} x^{n} − 1 virš kūno GF (q) .

2. Ciklotominiai polinomai. 2.1. Užrašykite polinoma_{‘} x^{n} − 1 ciklotominiu_{‘} polinomu_{‘} sandauga. 2.2. Raskite ciklotominius polinomus iš 2.1. 2.3. Ciklotominiams polinomams iš 2.2 patikrinkite lygybes:

(i) Q_{np}(x) = Q_{n}(x^{p})/Q_{n}(x), kai p nėra n daliklis; (ii) Q_{np}(x) = Q_{n}(x^{p}), kai p yra n daliklis; (iii) Q_{np^{k}}(x) = Q_{np}(x^{p^{n−1}}); (iv) Q_{n}(x^{−1})x^{φ(n)} = Q_{n}(x), n ≥ 2, čia φ(n) - Oilerio funkcija. 2.4. Apskaičiuokite ciklotomimiu_{‘} polinomu_{‘} iš 2.1 reikšmes: Q_{n}(0), Q_{n}(1), Q_{n}(−1). 3.1. Pateikite ne mažiau kaip penkis kūno GF (q) plėtinius virš kuriu_{‘} neredukuojami

polinomai iš 1.3 liks neredukuojamais polinomais .

3.2. Pateikite ne mažiau kaip penkis kūno GF (q) plėtinius virš kuriu_{‘} neredukuojami polinomai iš 1.3 taps redukuojamais polinomais .

3.3. Virš kurio nors iš kūnu_{‘} iš 2.4 faktorizuokite redukuojamais tapusius polinomus iš 1.3.

PARAMETRAI. Visoms grupėms : DBD( n, q ) = 1 . 1 grupei q = 4 , n ≥ 25 . 2 grupei q = 2 , n ≥ 25. 3 grupei q = 3 , n ≥ 20. 4 grupei q = 9 , n ≥ 15.