4. KŪNU_{‘} PLĖTINIAI

UŽDAVINIAI.

1. Minimalaus polinomo radimas. 1.1. Raskite elemento β = aα^{3} + bα^{2} + cα + d ∈ Q(α) minimalu_{‘}ji_{‘} polinoma_{‘} , kai α yra

ketvirtojo laipsnio neredukuojamo polinomo m (x) = x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} ∈ Q[x] šaknis.

1.2. Raskite elemento β = aα^{3} +bα^{2} +cα+d ∈ GF (p)(α) minimalu_{‘}ji_{‘} polinoma_{‘} , kai α yra ketvirtojo laipsnio neredukuojamo polinomo m (x) = x^{4} +a_{p3}x^{3} +a_{p2}x^{2} +a_{p1}x+a_{p0} ∈ GF (p)[x] šaknis.

2. Atvirkštinio kūno elemento radimas. 2.1. Raskite elemento β = aα^{3} + bα^{2} + cα + d ∈ Q(α) iš 1.1. atvirkštini_{‘} elementa_{‘}

β^{−1} + β .

2.2. Raskite elemento β = aα^{3} + bα^{2} + cα + d ∈ GF (p)(α) iš 1.2. atvirkštini_{‘} elementa_{‘} β^{−1} + β .

3. Neredukuojamo polinomo faktorizacija. 3.1. Faktorizuokite neredukuojama_{‘} polinoma_{‘} m (x) = x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} ∈

Q[x] iš 1.1 kūne Q(α) . Ar Q(α) yra polinomo m (x) skaidymo kūnas?

3.2. Faktorizuokite neredukuojama_{‘} polinoma_{‘} m (x) = x^{4}+a_{p3}x^{3}+a_{p2}x^{2}+a_{p1}x+a_{p0} ∈ GF (p)[x] iš 1.2 kūne GF (p)(α) . Ar GF (p)(α) yra polinomo m (x) skaidymo kūnas?

PARAMETRAI. Visoms grupėms: a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0 ; pirminis skaičius p = 5 . 1 grupei: a_{3}, a_{p3} ≠ 0; a_{2}, a_{p2} ≠ 0; a_{1}, a_{p1} ≠ 0; a_{0}, a_{p0} ≠ 0 . 2 grupei: a_{3}, a_{p3} = 0; a_{2}, a_{p2} ≠ 0; a_{1}, a_{p1} ≠ 0; a_{0}, a_{p0} ≠ 0 . 3 grupei: a_{3}, a_{p3} ≠ 0; a_{2}, a_{p2} = 0; a_{1}, a_{p1} ≠ 0; a_{0}, a_{p0} ≠ 0 . 4 grupei: a_{3}, a_{p3} ≠ 0; a_{2}, a_{p2} ≠ 0; a_{1}, a_{p1} = 0; a_{0}, a_{p0} ≠ 0 .