3. ŽIEDAI IR IDEALAI

UŽDAVINIAI. 1.1. Raskite visus žiedu_{‘} homomorfizmus f : Z_{n} → Z_{m} . 1.2. Raskite visus pirminius ir visus maksimalius žiedo Z_{m} = Z/mZ idealus.

2. Raskite visus 3-iojo laipsnio neredukuojamus polinomus virš kūno GF (11). 3.1. Parašykite daugybos lentele_{‘} žiede R = GF (p)[x]/(m(x)) , kai m(x) yra redukuo-

jamas s-ojo laipsnio polinomas virš kūno GF (p).

3.2. Raskite visus žiedo R idealus. 3.3. Raskite visus žiedo R vieneto daliklius. 3.4. Raskite visus žiedo R nulio daliklius. Ar nulio dalikliai sudaro ideala_{‘}? Atsakyma_{‘}

pagri_{‘}skite.

PARAMETRAI. 1.1. 1 grupei : n = 2^{a_{1}} · 3^{b_{1}} · 5^{c_{1}}, m = 3^{a_{2}} · 5^{b_{2}} · 7^{c_{2}}, 2 grupei : m = 2^{a_{1}} · 3^{b_{1}} · 5^{c_{1}}, n = 3^{a_{2}} · 5^{b_{2}} · 7^{c_{2}}, 3 grupei : n = 2^{a_{1}} · 3^{b_{1}} · 7^{c_{1}}, m = 2^{a_{2}} · 5^{b_{2}} · 7^{c_{2}}, 4 grupei : m = 2^{a_{1}} · 3^{b_{1}} · 7^{c_{1}}, n = 2^{a_{2}} · 5^{b_{2}} · 7^{c_{2}}, a_{i}, b_{i}, c_{i} ≥ 1; i = 1, 2. 1.2. m iš 1.1.

2. 3-iojo laipsnio polinomu_{‘} virš kūno GF (11) yra 11^{3}. Ju_{‘} struktūra yra f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c; 0 ≤ a, b, c ≤ 10. Tegu n = a · 11^{2} + b · 11 + c , tada polinomu_{‘} f(x) koeficientus a, b, c parinkite taip, kad 4 grupei : 0 ≤ n ≤ 333, 3 grupei : 334 ≤ n ≤ 666, 2 grupei : 667 ≤ n ≤ 999, 1 grupei : 1000 ≤ n ≤ 1331. 3.1. 1 grupei p = 5, s ≥ 2, 2 grupei : p = 3, s ≥ 3, 3 grupei : p = 2, s ≥ 5, 4 grupei : p = 7, s ≥ 2. PATARIMAI. 1.1. Žiedu_{‘} homomorfizmas f : Z_{n} → Z_{m} turi tenkinti dvi sa_{‘}lygas :

1) adityvi elemento e = f(\overline{1}) eilė turi būti d =BDD(m, n) daliklis . Todėl elementas e turi būti pogrupyje \frac{m}{d}Z = \{0, \frac{m}{d} · 1, ..., \frac{m}{d} · (d − 1)\} .

2) elementas e turi būti idempotentas žiede Z_{m} : e^{2} = e. 1.2, 3.2. 1) Pasinaudoti teorema: Tegu R/I yra žiedo R faktoržiedis idealo I atžvilgiu. Tada egzistuoja bijektyvi funkcija

tarp žiedo R/I idealu_{‘} ir žiedo R idealu_{‘}, kuriu_{‘} poaibiu yra idealas I . 2) Neužmirškite, kad žiedai Z ir GF (p)[x] yra pagrindiniu_{‘} idealu_{‘} sritys.