9. IDEALAI IR KŪNAI

Išsiaiškinsime, koks turėtu_{‘} būti komutatyviojo žiedo R su vienetu idealas I, kad faktoržiedis R/I būtu_{‘} integralumo sritis arba kūnas.

7.21 apibrėžimas. Tegu R yra komutatyvusis žiedas su vienetu.

1. Elementas a ∈ R dalijasi iš b ∈ R, jeigu egzistuoja toks c ∈ R, kad a = b · c.

Elementas b vadinamas a dalikliu (rašoma b | a). Vieneto dalikliai žiede yra elementai, turintys atvirkštinius.

2. Elementai a ir b vadinami asocijuotais elementais, jeigu egzistuoja toks vieneto daliklis ε, kad a = εb.

3. Elementas c vadinamas pirminiu žiedo R elementu jeigu, pirma, jis nėra vieneto daliklis, antra, visi elemento c dalikliai yra arba vieneto dalikliai, arba asocijuoti su c elementai (iš lygybės c = df gauname, kad d ir f arba vieneto dalikliai, arba asocijuoti su c; šie dalikliai vadinami trivialiais).

7.22 išvados. 1. a | a.

2. a | b, b | c ⇒ a | c.

3. a | b, b | a ⟺ a asocijuotas su b.

4. Sa_{‘}ryšis {(a, b) | a asocijuotas su b} yra ekvivalentumo sa_{‘}ryšis žiede R .

5. Vieneto dalikliai žiede (R, +, ·) sudaro multiplikacine_{‘} grupe_{‘}. Šiuos teiginius i_{‘}rodyti paliekame skaitytojui.

7.23 apibrėžimas. 1. Žiedo R idealas P ≠ R vadinamas pirminiu, jeigu iš a · b ∈ P, a, b ∈ R išplaukia arba a ∈ P, arba b ∈ P.

2. Žiedo R idealas M ≠ R vadinamas maksimaliuoju, jeigu su visais idealais I, tenkinančiais sa_{‘}lyga_{‘} M ⊆ I, galioja arba I = M, arba I = R.

7.24 teiginys. Tegu R yra komutatyvusis žiedas su vienetu.

1. Idealas M maksimalus tada ir tik tada, kai faktoržiedis R/M yra kūnas.

2. Idealas P pirminis tada ir tik tada, kai faktoržiedis R/P yra integralumo sritis.

3. Tegu R yra pagrindiniu_{‘} idealu_{‘} sritis. Faktoržiedis R/(a) yra kūnas tada ir tik tada, kai a – pirminis žiedo R elementas.

I_{‘} rodymas. 1. Tegu M yra maksimalus idealas ir todėl M ≠ R; a + M ≠ 0 + M – nenulinis faktoržiedžio R/M elementas, a ∉ M. Rasime šiam elementui atvirkštini_{‘}.

Aibė I = {a·r+m | r ∈ R, m ∈ M} yra žiedo R idealas (patikrinkite!). Kadangi M ⊂ I, I ≠ M, todėl I = R. Taigi žiedo R vienetini_{‘}

elementa_{‘} galima išreikšti

1 = a · r + m, r ∈ R, m ∈ M.

Tada (a + M) · (r + M) = ar + M = (1 − m) + M = 1 + M ir r + M yra elemento a + M atvirkštinis.

Tegu R/M yra kūnas ir I toks žiedo idealas, kad M ⊂ I, I ≠ M. Jei a ∈ I, a ∉ M, tai a + M – nenulinis kūno R/M elementas, todėl jis turi atvirkštini_{‘} r + M : (a + M)(r + M) = 1 + M, ar + M = 1 + M. Kadangi 1 = {ar \atop ∈ I} + m ∈ I ∈ I, todėl I = R. Taigi M yra maksimalus idealas.

2. Jeigu P yra pirminis idealas, tai R/P – komutatyvusis žiedas su vienetu: 1 ∉ P ir 1 + P ≠ 0 + P.

(a + P)(b + P) = 0 + P ⟺ ab + P = 0 + P ⟺ ab ∈ P ⟺ arba

a ∈ P, arba b ∈ P ⟺ arba a + P = 0 + P, arba b + P = 0 + P.

Taigi R neturi nulio dalikliu_{‘} ir todėl yra integralumo sritis.

3. Tegu a ∈ R. 1) Jeigu a yra elementas, turintis atvirkštini_{‘}, tai (a) = (1) = R. Tada R/(a) = {R} – aibė iš vieno elemento – negali būti kūnu.

2) Jeigu a yra elementas, neturintis atvirkštinio, bet ir ne pirminis, tai a turi netrivialu_{‘} dalikli_{‘} b (a = b · c, c ∈ R), išsiskirianti_{‘} savybėmis:

(i) b ≠ 0 (jeigu b = 0, tai a = b = 0 ir a būtu_{‘} asocijuotas su b); (ii) b ∉ (a) (jeigu b ∈ (a) ⇒ b = a·r = b·c·r, r ∈ R ⇒ b(1−cr) = 0, b ≠

0 ⇒ 1 = cr(R−integralumo sritis) ⇒ c−elementas, turintis atvirkštini_{‘} ⇒ a − asocijuotas su b ⇒ prieštara).

Taigi (a) ⊂ (b) ⊂ R, (b) ≠ (a), (b) ≠ R, todėl (a) nėra maksimalus idealas ir R/(a) nėra kūnas.

3) a yra pirminis ir todėl (a) ≠ (1) = R.

Tegu I yra toks žiedo R idealas, kad I ⊃ (a). Bet R – pagrindiniu_{‘} idealu_{‘} sritis, todėl I = (b), b ∈ R ir (b) ⊃ (a), t.y. a ∈ (b) ir a = b · r, r ∈ R. a yra pirminis elementas, todėl b yra trivialus a daliklis: jeigu b – elementas, turintis atvirkštini_{‘}, tai (b) = (1) = R; jeigu b yra asocijuotas su elementu a, tai (b) = (a). Taigi (a) yra maksimalus žiedo R idealas ir todėl R/(a) – kūnas.

△

7.25 pavyzdys. Sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} žiedas ℤ yra pagrindiniu_{‘} idealu_{‘} sritis. Vieneto dalikliai žiede ℤ – tai ±1, o pirminiai skaičiai – tai pirminiai žiedo ℤ elementai. Todėl faktoržiedis ℤ/(n) yra kūnas tada ir tik tada, kai

n = p – pirminis skaičius; ℤ/(p) = GF (p).

7.26 pavyzdys. Tegu K yra kūnas ir K[x] – polinomu_{‘} žiedas virš kūno K. Vieneto dalikliai polinomu_{‘} žiede K[x] – tai visi nenuliniai kūno K elementai. Kitu_{‘} vieneto dalikliu_{‘} nėra, nes iš f_{1} · f_{2} = 1, f_{1}, f_{2} ∈ K[x], gautume deg f_{1} + deg f_{2} = 0 ir deg f_{1} = deg f_{2} = 0.

Polinomai f ir g yra asocijuoti tik tada, kai f = c · g su kuriuo nors kūno K elementu c.

Pirminiai žiedo K[x] elementai vadinami neredukuojamais polinomais. Neredukuojami polinomai polinomu_{‘} žiedo dalumo teorijoje vaidina ta_{‘} pati_{‘} vaidmeni_{‘} kaip ir pirminiai skaičiai sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} dalumo teorijoje.

Kiekvienas teigiamo laipsnio polinomas f(x) ∈ K[x] virš kūno K gali būti vienareikšmiškai išreikštas sandauga

f = a p_{1}^{α_{1}}p_{2}^{α_{2}} … p_{n}^{α_{n}};

čia: a ∈ K, p_{1}, p_{2}, …, p_{n} – skirtingi unitarieji neredukuojami polinomai; α_{1}, α_{2}, …, α_{n} – natūralieji laipsnio rodikliai. Neredukuojamu_{‘} polinomu_{‘} pavyzdžiai:

1) x^{2} + 2 neredukuojamas virš ℝ, bet redukuojamas virš ℂ: x^{2} + 2 = (x + i\sqrt{2})(x − i\sqrt{2});

2) x^{2} − 2 neredukuojamas virš ℚ, bet redukuojamas virš ℝ: x^{2} − 2 = (x + \sqrt{2})(x − \sqrt{2}).

Neredukuojamu_{‘} polinomu_{‘} paieška – vienas iš pagrindiniu_{‘} klausimu_{‘}, susijusiu_{‘} su polinomu_{‘} žiedu K[x]. Žinome, kad polinomu_{‘} žiedas K[x] yra pagrindiniu_{‘} idealu_{‘} sritis. Todėl 7.24 teiginio 3 dalis polinomams skamba taip:

Tegu f(x) ∈ K[x]. Faktoržiedis K[x]/(f(x)) yra kūnas tada ir tik tada, kai f – neredukuojamas virš kūno K polinomas.

Ištirsime faktoržiedžio K[x]/(f(x)) struktūra_{‘}. Tegu f(x) polinomas virš kūno K, 0 ⩽ n = deg f(x). Faktoržiedis

K[x]/(f(x)) = {g(x) + (f(x)) | g(x) ∈ K[x] }.

Tegu deg g(x) ⩾ n. Pritaike_{‘} dalumo algoritma_{‘} polinomu_{‘} porai g(x) ir f(x), gausime g(x) = q(x) f(x) + r(x), deg r(x) < deg f(x) = n.

g(x) + (f(x)) = q(x)f(x) ∈ (f(x)) +r(x) + (f(x)) = r(x) + (f(x))

ir K[x]/(f(x)) = {r(x) + (f(x)) | r(x) ∈ K[x], deg r(x) < n}.

Aibe_{‘} r(x) + (f(x)) žymėsime [r(x)]_{f(x)}, arba tiesiog [r(x)].

Jeigu deg f(x) = 0, tai polinomas f yra vieneto daliklis (f(x) = a ∈ K) ir todėl

K[x]/(f(x)) = K[x]/K[x] = { K[x] } = {[0]}.

Tegu deg f(x) ⩾ 1. I_{‘} kūna_{‘} K galima žiūrėti kaip i_{‘} žiedo K[x]/(f(x))

pokūni_{‘}: K ⊂ K[x]/(f(x)), kuriame, jei a, b ∈ K, tai

[a]_{f(x)} = [b]_{f(x)} ⟺ a−b dalijasi iš f(x) ⟺ a−b = 0 ⟺ a = b.

Taigi funkcija f : K → K[x]/(f(x)), f(a) = [a], yra injekcija.

Tegu [x]_{f(x)} = α. Bet kuri_{‘} elementa_{‘} iš K[x]/(f(x)) galima užrašyti

[a_{n−1}x^{n−1} + a_{n−2}x^{n−2} + … + a_{1}x + a_{0}]
= [a_{n−1}][x^{n−1}] + [a_{n−2}][x^{n−2}] + … + [a_{1}][x] + [a_{0}]
= a_{n−1}[x]^{n−1} + a_{n−2}[x]^{n−2} + … + a_{1}[x] + a_{0}
= a_{n−1}α^{n−1} + a_{n−2}α^{n−2} + … + a_{1}α + a_{0}.

Taigi faktoržiedžio K[x]/(f(x)) elementai yra K-tiesinės elementu_{‘} 1, α,

α^{2}, …, α^{n−1} kombinacijos ir todėl šiuos elementus patogu i_{‘}sivaizduoti kaip polinomu_{‘} iš K[x] reikšmes α = [x]_{f(x)} (kai f(α) = 0, nes f(α) = [f(x)]_{f(x)} = [0]_{f(x)}).

7.27 pavyzdys. 1. Tegu K yra kūnas, o f(x) = ax + b, a, b ∈ K, a ≠ 0. Elementas x = −ba^{−1} yra polinomo f šaknis, todėl

\begin{matrix}K[x]/(ax + b) = \{c + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} | ax + b = 0\} \\ = \{c + a_{1}(−ba^{−1}) + … + a_{n}(−ba^{−1})^{n} | c, a_{1}, …, a_{n} ∈ K, n ∈ N\} ≈ K. \end{matrix}

2. Tegu K = ℤ yra sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} žiedas, o f(x) = 10x − 1. Faktoržiedis

ℤ[x]/(10x − 1) = {a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} | 10x − 1 = 0}

= {a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} | 10x = 1}

= {a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} | 0 ⩽ a_{i} < 10,

1 ⩽ i ⩽ n, a_{0} ∈ ℤ, n ∈ ℕ, x =,, \frac{1}{10}“\}

≈ \{a_{0} + \frac{a_{1}}{10} + \frac{a_{2}}{10^{2}} + … + \frac{a_{n}}{10^{n}} | 0 ⩽ a_{i} < 10,

a_{0} ∈ ℤ, n ∈ ℕ}

– baigtiniu_{‘} dešimtainiu_{‘} trupmenu_{‘} žiedas. Pastebėsime, kad šiuo atveju ℤ[x]/(10x − 1) nėra izomorfiškas ℤ.

7.28 pavyzdys. Polinomas f(x) = x^{2} + 1 yra neredukuojamas polinomas virš ℝ. Žinome, kad

ℝ[x]/(x_{2} + 1) = {a + b[x]_{(x^{2}+1)} | a, b ∈ ℝ}.

Pažymėkime [x]_{(x^{2}+1)} = i. Tada

\begin{aligned}i^{2} & = [x]_{(x^{2}+1)}^{2} = [x^{2}]_{(x^{2}+1)} = [x^{2} + 1 − 1]_{(x^{2}+1)} \\ & = [x^{2} + 1]_{(x^{2}+1)} − [1]_{(x^{2}+1)} = −1. \end{aligned}

Veiksmai šiame kūne turi šias savybes:

1) (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).

2) (a + ib) · (c + id) = ac + i(ad + bc) + i^{2}bd = (ac − bd) + i(ad + bc).

3) Jeigu a + ib ≠ 0, tai

(a + ib)^{−1} = \frac{a − ib}{a^{2} + b^{2}} : \frac{(a + ib)(a − ib)}{a^{2} + b^{2}}.

Kūnas ℝ[x]/(x_{2} + 1) izomorfiškas kompleksiniu_{‘} skaičiu_{‘} kūnui: izomorfizmas

iz : ℝ[x]/(x_{2} + 1) → ℂ, iz(a + b[x]_{(x^{2}+1)}) = a + ib, a, b ∈ ℝ.

Pastebėsime, jei kūnas K yra baigtinis, o m – jo elementu_{‘} skaičius, tai elementu_{‘} skaičius faktoržiedyje K[x]/(f(x)) yra lygus m^{n}; čia n = deg f.

7.29 pavyzdžiai. 1. Tegu K = GF (2), o f(x) = x + 1. Elementu_{‘} skaičius faktoržiedyje GF (2)[x]/(x + 1) yra 2^{1} = 2: GF (2)[x]/(x + 1) = {[0], [1]} ≈ GF (2).

2. Tegu K = GF (3), o f(x) = x^{2} + 1.

Elementu_{‘} skaičius faktoržiede GF (3)[x]/(x_{2} + 1) yra 3^{2} = 9 ir

GF (3)[x]/(x_{2} + 1) = {[0], [1], [2], [x], [x + 1], [x + 2], [2x], [2x + 1], [2x + 2]} = {[ab] | [ab] = [ax + b], a, b = 0, 1, 2}.

Veiksmu_{‘} lentelės komutatyviame faktoržiedyje GF (3)[x]/(x_{2} + 1) yra

\begin{matrix}+ & [00] & [01] & [02] & [10] & [11] & [12] & [20] & [21] & [22] \\ [00] & [00] & [01] & [02] & [10] & [11] & [12] & [20] & [21] & [22] \\ [01] & [01] & [02] & [00] & [11] & [12] & [10] & [21] & [22] & [20] \\ [02] & [02] & [00] & [01] & [12] & [10] & [11] & [22] & [20] & [21] \\ [10] & [10] & [11] & [12] & [20] & [21] & [22] & [00] & [01] & [02] \\ [11] & [11] & [12] & [10] & [21] & [22] & [20] & [01] & [02] & [00] \\ [12] & [12] & [10] & [11] & [22] & [20] & [21] & [02] & [00] & [01] \\ [20] & [20] & [21] & [22] & [00] & [01] & [02] & [10] & [11] & [12] \\ [21] & [21] & [22] & [20] & [01] & [02] & [00] & [11] & [12] & [10] \\ [22] & [22] & [20] & [21] & [02] & [00] & [01] & [12] & [10] & [11] \\ · & [00] & [01] & [02] & [10] & [11] & [12] & [20] & [21] & [22] \\ [00] & [00] & [00] & [00] & [00] & [00] & [00] & [00] & [00] & [00] \\ [01] & [00] & [01] & [02] & [10] & [11] & [12] & [20] & [21] & [22] \\ [02] & [00] & [02] & [01] & [20] & [22] & [21] & [10] & [12] & [11] \\ [10] & [00] & [10] & [20] & [02] & [12] & [22] & [01] & [11] & [21] \\ [11] & [00] & [11] & [22] & [12] & [20] & [01] & [21] & [02] & [10] \\ [12] & [00] & [12] & [21] & [22] & [01] & [10] & [11] & [20] & [02] \\ [20] & [00] & [20] & [10] & [01] & [21] & [11] & [02] & [22] & [12] \\ [21] & [00] & [21] & [12] & [11] & [02] & [20] & [22] & [10] & [01] \\ [22] & [00] & [22] & [11] & [21] & [10] & [02] & [12] & [01] & [20] \end{matrix}

Iš daugybos lentelės matome, kad faktoržiedyje GF (3)[x]/(x_{2} + 1) nėra nulio dalikliu_{‘}, todėl baigtinė integralumo sritis GF (3)[x]/(x_{2} + 1) yra kūnas ir polinomas f(x) = x^{2} + 1 neredukuojamas virš GF (3).

3. Tegu K = GF (2), o f(x) = x^{2} + 1. Elementu_{‘} skaičius faktoržiedyje GF (2)[x]/(x_{2} + 1) yra 2^{2} = 4 ir GF (2)[x]/(x_{2} + 1) = {[0], [1], [x], [x + 1]}.

Veiksmu_{‘} lentelės šiame žiede yra

\begin{matrix}+ & [0] & [1] & [x] & [x + 1] \\ [0] & [0] & [1] & [x] & [x + 1] \\ [1] & [1] & [0] & [x + 1] & [x] \\ [x] & [x] & [x + 1] & [0] & [1] \\ [x + 1] & [x + 1] & [x] & [1] & [0] \\ · & [0] & [1] & [x] & [x + 1] \\ [0] & [0] & [0] & [0] & [0] \\ [1] & [0] & [1] & [x] & [x + 1] \\ [x] & [0] & [x] & [1] & [x + 1] \\ [x + 1] & [0] & [x + 1] & [x + 1] & [0] \end{matrix}

Matome, kad faktoržiedis GF (2)[x]/(x_{2} + 1) nėra kūnas, nes jame yra

nulio daliklis [x + 1][x + 1] = [0]. Taigi polinomas x^{2} + 1 nėra neredukuojamas. Iš tikru_{‘}ju_{‘} x^{2} + 1 = (x + 1)^{2} virš GF (2).

Daugybos lentelė faktoržiedyje K[x]/(f(x)), čia K – baigtinis kūnas, leidžia spre_{‘}sti, redukuojamas ar neredukuojamas polinomas f(x). Tiesa, šis būdas nėra patogiausias.

7.30 apibrėžimas. Tegu K yra kūnas, o f(x) ∈ K[x]. Kūno elementas a ∈ K vadinamas polinomo f(x) šaknimi, jeigu f(a) = 0.

Polinomo f(x) šaknies a kartotinumu vadinsime toki_{‘} natūralu_{‘}ji_{‘} skaičiu_{‘} k, kad f(x) dalijasi iš (x − a)^{k}, bet nesidalija iš (x − a)^{k+1}.

Pagrindinės polinomo šaknu_{‘} savybės:

1. a ∈ K yra polinomo f(x) ∈ K[x] šaknis tada ir tik tada, kai f(x) dalijasi iš x − a.

2. Tegu a_{1}, a_{2}, …, a_{m} ∈ K – skirtingos polinomo f(x) ∈ K[x] šaknys, kuriu_{‘} kartotinumai atitinkamai lygūs k_{1}, k_{2}, …, k_{m}. Tada f(x) dalijasi iš (x − a_{1})^{k_{1}}(x − a_{2})^{k_{2}} … (x − a_{m})^{k_{m}} ir todėl k_{1} + k_{2} + … + k_{m} ⩽ deg f(x).

3. Polinomo f(x) ∈ K[x] šaknis a yra kartotinė tada ir tik tada, kai a yra taip pat polinomo f(x) išvestinės f′(x) šaknis.

7.31 teiginys. Tegu K yra kūnas, o f(x) ∈ K[x].

1. Pirmojo laipsnio polinomai neredukuojami virš K ir turi po viena_{‘} paprasta_{‘}ja_{‘} šakni_{‘}.

2. Tegu deg f(x) = 2 arba 3; f(x) neredukuojamas virš K tada ir tik tada, kai f(x) neturi šaknu_{‘} kūne K.

3. Tegu deg f(x) ⩾ 4. Ne visada polinomas f(x), neturintis šaknu_{‘} virš K, yra neredukuojamas.

I_{‘} rodymas. 1 yra apibrėžimu_{‘} išvada.

2. Neredukuojamas polinomas f(x) neturi šaknu_{‘} kūne K (žr. 7.30 1 savybe_{‘}).

Jeigu f(x) neturi šaknu_{‘}, o f(x) redukuojamas virš K, tai f(x) = g(x)h(x); čia min ( deg g(x), deg h(x)) = 1. Tegu deg g(x) = 1. Tada g(x) = ax + b, a, b ∈ K, a ≠ 0 ir g(x) šaknis yra elementas −ba^{−1}. Šis elementas yra ir f(x) šaknis. Prieštara i_{‘}rodo teigini_{‘}.

3. Tegu K = GF (2), polinomas f(x) = (x^{2} + x + 1)(x^{2} + x + 1) neturi šaknu_{‘} kūne GF (2), bet yra redukuojamas.

△

7.32 pavyzdys. Pasinaudoje_{‘} 7.31 teiginio 1 ir 2 dalimis, nesunkiai sudarysime pirmojo, antrojo ir trečiojo laipsnio neredukuojamu_{‘} polinomu_{‘} virš kūnu_{‘} iš 2 ir 3 elementu_{‘} lenteles:

f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

GF (2) GF (3)

\begin{matrix}a & b & c & d \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}  \begin{matrix}a & b & c & d \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{matrix}  \begin{matrix}a & b & c & d \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}