6. ŽIEDAI IR IDEALAI

Iš sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} pavyzdžio matome, kad aibėje gali būti apibrėžta ne viena operacija. Mus domins algebrinės struktūros su dviem operacijomis.

6.1 apibrėžimas. Tegu R yra netuščia aibė, kurioje apibrėžtos dvi operacijos: + (sudėtis) ir · (daugyba). Jei algebrinėje struktūroje (R, +, ·) patenkintos sa_{‘}lygos:

R1: (R, +) – komutatyvioji grupė (G1−G5 sa_{‘}lygos), R2: (R, ·) – pusgrupė (G1−G2 sa_{‘}lygos), R3 (sandaugos distributyvumas sudėties atžvilgiu)

(a + b) · c = a · c + b · c c · (a + b) = c · a + c · b,

tai struktūra (R, +, ·) vadinama žiedu.

6.2 apibrėžimas. Tegu (R, +, ·) yra žiedas.

1. Jeigu (R, ·) yra monoidas (G1− G3 sa_{‘}lygos) ir neutralusis šio monoido elementas 1 ≠ 0, tai R vadinamas žiedu su vienetu.

2. Jeigu (R, ·) yra komutatyvioji pusgrupė (G1, G2, G5 sa_{‘}lygos), tai R vadinama komutatyviuoju žiedu.

3. Jeigu komutatyviajame žiede su vienetu R iš lygybės a·b = 0, a, b ∈ R, gauname arba a = 0, arba b = 0, tai žiedas R vadinamas integralumo sritimi.

4. Jeigu (R − {0}, ·) yra grupė, tai R vadinamas lauku.

5. Jeigu (R − {0}, ·) yra komutatyvioji grupė, tai R vadinamas kūnu.

6. Jeigu netuščias žiedo (kūno) R poaibis S yra žiedas (kūnas) tu_{‘} pačiu_{‘} kaip ir R operaciju_{‘} atžvilgiu, tai S vadinamas požiedžiu (pokūniu).

6.3 pavyzdžiai. 1. (ℚ, +, ·), (ℝ, +, ·), (ℂ, +, ·) yra kūnai.

2. (ℤ, +, ·) – integralumo sritis.

3. (ℤ_{p}, +, ·), p – pirminis skaičius, – integralumo sritis: jeigu \overline{m}·\overline{n} = \overline{0}, tai m · n ≡ 0(mod p) ir p | m · n. Tada arba p | m, arba p | n, t.y. arba \overline{m} = \overline{0}, arba \overline{n} = \overline{0}.

4. (ℤ_{m·n}, +, ·), m, n > 1 – natūralieji skaičiai, – komutatyvusis žiedas su vienetu, bet ne integralumo sritis: \overline{m} ≠ \overline{0} ir \overline{n} ≠ 0, bet \overline{m} · \overline{n} = \overline{0}.

Tokie nenuliniai žiedo R elementai a, b, kuriems galioja lygybė a·b = 0, vadinami nulio dalikliais.

5. (2ℤ, +, ·) – komutatyvusis žiedas be vieneto.

6. (M_{2}(ℝ), +, ·) – nekomutatyvusis žiedas su vienetu ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ir nulio

dalikliais, pavyzdžiui:

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

6.4 pastabos. 1. Jeigu žiede R yra 1, tai 1 ≠ 0 ir |R| ⩾ 2.

2. Žiede (R, +, ·) galioja:

1 · a = a · 1 = a , a ∈ R,
0 · a = a · 0 = 0 , a ∈ R,
(−a) · b = a · (−b) = −(ab) , a, b ∈ R.

3. Kiekvienas kūnas K yra integralumo sritis: jeigu a · b = 0 ir a ≠ 0, tai

0 = a^{−1} · 0 = a^{−1} · (a · b) = (a^{−1} · a) · b = 1 · b = b,

t.y. b = 0.

4. Kiekviena baigtinė integralumo sritis K yra kūnas: jeigu a_{1}, a_{2}, …, a_{n} visi skirtingi K elementai, o a ∈ K, a ≠ 0, tai a(a_{i} − a_{j}) ≠ 0, i ≠ j, nes a ≠ 0, a_{i} − a_{j} ≠ 0 ir K – integralumo sritis. Taigi aibėje {aa_{1}, aa_{2}, …, aa_{n}} = {a_{1}, a_{2}, …, a_{n}} egzistuoja toks i, 1 ⩽ i ⩽ n, kad 1 = aa_{i} ir a_{i} = a^{−1}. Taip kiekvienam nenuliniam baigtinės integralumo srities elementui galime rasti atvirkštini_{‘}.

Ši pastaba rodo, kad baigtinė integralumo sritis (ℤ_{p}, +, ·), turinti p (p – pirminis skaičius) elementu_{‘}, yra kūnas. Šis kūnas žymimas GF (p) ir vadinamas Galua^{1} kūnu, turinčiu p elementu_{‘}.

5. Vederborno^{2} teorema (be i_{‘}rodymo). Baigtinis laukas yra kūnas. Pagrindinis žiedo ir kūno skirtumas yra tas, kad žiede ne kiekvienas

nenulinis elementas turi atvirkštini_{‘}.

1 E. Galois, 1811–1832, – prancūzu_{‘} matematikas.

2 J. H. M. Wedderburn, 1882–1948, – amerikiečiu_{‘} matematikas.

6.5 pavyzdžiai. 1) Sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} žiede (ℤ, +, ·) tik du elementai 1 ir −1 turi atvirkštinius (sandaugos atžvilgiu).

2) Kvadratiniu_{‘} matricu_{‘} žiede (M_{2}(ℝ), +, ·) tik neišsigimusios matricos turi atvirkštines.

Svarbu yra ir tai, kad žiedo R elementas a, turintis atvirkštini_{‘}, tikrai nėra nulio daliklis: ab = 0 ⇒ a^{−1}(ab) = 0 ⇒ (a^{−1}a)b = 0 ⇒ b = 0.

6.6 teiginys. Visi žiedo su vienetu (R, +, ·) elementai, turintys atvirkštinius, sudaro grupe_{‘} U(R) operacijos ,,·“ atžvilgiu.

I_{‘} rodymas. Pakanka i_{‘}rodyti G1 savybe_{‘} : jeigu a, b ∈ U(R), tai a · b ∈ U(R) , nes (a · b) · (a · b)^{−1} = (a · b) · (b^{−1}a^{−1}) = a · (b · b^{−1}) · a^{−1} = a · a^{−1} = 1 ∈ U(R).

△

7.1 apibrėžimas. Žiedo (R, +, ·) poaibis I ⊆ R vadinamas idealu, jeigu patenkintos šios sa_{‘}lygos:

a) a, b ∈ I ⇒ a − b ∈ I;

b) r ∈ R, a ∈ I ⇒ ar ∈ I ir ra ∈ I.

7.2 pastabos. 1. Žiedo R idealas I yra žiedo R požiedis, bet ne kiekvienas žiedo R požiedis S yra žiedo R idealas. Štai pavyzdžiai:

a) ℤ yra ℚ požiedis, bet ne idealas, nes

1 ∈ ℤ, \frac{1}{2} ∈ ℚ bet 1 · \frac{1}{2} ∉ ℤ.

b) Diagonaliu_{‘}ju_{‘} matricu_{‘} požiedis D_{n}(ℝ) nėra idealas n-osios eilės kvadratiniu_{‘} matricu_{‘} žiede M_{n}(ℝ) .

2. Kiekviename žiede (R, +, ·) yra bent du idealai: S = {0} ir S = R. Jie vadinami trivialiaisiais.

3. Tegu duotas žiedo R su vienetu idealas I , o a yra idealo I elementas, turintis atvirkštini_{‘}. Tada I = R.

Tegu a ∈ I toks, kad a^{−1} ∈ R. Tada e = a · a^{−1} ∈ I ir bet kokiam r ∈ R r · e = r ∈ I, t.y. R = I.

Iš šios pastabos matome, kad kūnas (K, +, ·) gali turėti tik trivialiuosius idealus: I = {0} ir I = R.

4. Žiedo R idealu_{‘} sankirta ⋂ α ∈ AI_{α} yra idealas:

a) jeigu a, b ∈ ⋂ α ∈ AI_{α}, tai su visais α ∈ A, teisinga a, b ∈ I_{α} ir todėl

su visais α ∈ A, a − b ∈ I_{α}, t.y. a − b ∈ ⋂ α ∈ AI_{α};

b) jeigu r ∈ R ir a ∈ ⋂ α ∈ AI_{α}, t.y. su visais α ∈ A a ∈ I_{α} ir todėl su

visais α ∈ A, r · a ∈ I_{α}, ar ∈ I_{α}, t.y. ar ∈ ⋂ α ∈ AI_{α}, ra ∈ ⋂ α ∈ AI_{α}.

7.3 apibrėžimas. 1. Tegu (R, +, ·) komutatyvusis žiedas su vienetu, o S ⊆ R – netuščias poaibis. Idealu_{‘}, kuriu_{‘} poaibis yra S, sankirta vadinama idealu, generuotu S, ir žymima (S).

Idealas (a), a ∈ R, vadinamas pagrindiniu idealu (generuotu a) –

(a) = {ra | r ∈ R}.

2. Integralumo sritis R, kurios kiekvienas idealas J yra pagrindinis ir kuriai egzistuoja toks a ∈ R, kad J = (a), vadinama pagrindiniu_{‘} idealu_{‘} sritimi.

7.4 pavyzdys. Tegu n ∈ ℕ. Tada (n) = {n · m | m ∈ ℤ} = n · ℤ yra pagrindinis idealas žiede ℤ. Iš 5.43 teiginio žinome, kad bet kuris sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} žiedo adicinis pogrupis yra ciklinis, t.y. generuojamas vienu elementu, todėl bet kuris žiedo ℤ idealas yra pagrindinis ir ℤ – pagrindiniu_{‘} idealu_{‘} sritis.

Kitas mums svarbus pagrindiniu_{‘} idealu_{‘} žiedo pavyzdys – polinomu_{‘} virš kūno K žiedas K[x].

7.5 apibrėžimas. 1. Tegu (K, +, ·) yra kūnas. Polinomu_{‘} su koeficientais iš K aibė

K[x] = {f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{0} | a_{n}, a_{n−1}, …, a_{0} ∈ K}

i_{‘}prastu_{‘} sudėties ir sandaugos operaciju_{‘} polinomams atžvilgiu sudaro žieda_{‘}, vadinama_{‘} polinomu_{‘} virš K žiedu.

2. Tegu f(x) = a_{n}x^{n} +a_{n−1}x^{n−1} +…+a_{0} ∈ K[x], a_{n} ≠ 0. Skaičius n vadinamas polinomo f(x) laipsniu, žymima deg f(x) = n, o koeficientas a_{n} vadinamas vyriausiuoju koeficientu, žymima l(f). Jeigu polinomo vyriausias koeficientas l(f) = a_{n} = 0, t.y. f(x) = 0, tai susitarsime laikyti deg f(x) = −∞ . Polinomas f(x), kurio l(f) = a_{n} = 1, vadinamas unitariuoju.

7.6 teiginys (dalybos algoritmas). Tegu f(x) ∈ K[x] ir g(x) ∈ K[x], deg g(x) > 0. Tada egzistuoja vieninteliai polinomai q(x) ir r(x) iš K[x], tenkinantys sa_{‘}lygas:

1) f(x) = q(x) g(x) + r(x);

2) deg r(x) < deg g(x).

7.9 apibrėžimas. Tegu f(x), g(x) ∈ K, K yra kūnas. Sakoma, kad polinomas f(x) dalijasi iš polinomo g(x) (g(x) yra f(x) daliklis), jeigu egzistuoja toks polinomas h(x) ∈ K[x], kad

f(x) = g(x)h(x).

7.10 teiginys. 1. Tegu f(x) ∈ K[x]. Kūno K elementas a yra polinomo f(x) šaknis tada ir tik tada, kada f(x) dalijasi iš x − a.

2. Polinomas 0 ≠ f(x) ∈ K[x] turi ne daugiau kaip n = deg f(x) šaknu_{‘} kūne K.

7.11 teiginys. Polinomu_{‘} žiedas K[x] virš kūno K yra pagrindiniu_{‘} idealu_{‘} sritis, t.y. bet kuriam žiedo K[x] idealui I egzistuoja vienintelis unitarusis polinomas g(x) ∈ K[x], kad

I = (g(x)).

I_{‘} rodymas. Žinoma, kad polinomu_{‘} žiedas K[x] virš kūno yra integralumo sritis.

Tegu I yra nenulinis idealas K[x] ir f(x) – mažiausiojo laipsnio polinomas, priklausantis I. Polinomas g(x) = l(f)^{−1}f(x) taip pat priklauso idealui I. Belieka i_{‘}sitikinti, kad I = (g(x)).

1. Polinomas g(x) yra unitarusis polinomas.

2. Jeigu h(x) bet koks polinomas iš I, tai polinomu_{‘} porai h(x), g(x) pritaike_{‘} dalybos algoritma_{‘}, gausime

h(x) = q(x)g(x) + r(x),
q(x), r(x) ∈ K[x],
deg r(x) < deg g(x).

Bet r(x) = h(x) − q(x)g(x) ∈ I, todėl

r(x) = 0 ir h(x) = q(x)g(x).

3. Jeigu g_{1}(x) yra toks unitarusis polinomas, kad

I = (g(x)) = (g_{1}(x)), tai

g(x) = c_{1}g_{1}(x), g_{1}(x) = c g(x), c_{1}, c ∈ K[x] ir

g_{1}(x) = c c_{1}g_{1}(x), ir cc_{1} = 1, t.y. c_{1}, c ∈ K.

Taigi

g_{1}(x) = g(x).
△

7.12 teiginys. Tegu f_{1}(x), f_{2}(x), …, f_{m}(x) yra polinomai virš kūno K. Tada egzistuoja toks vienintelis unitarusis polinomas d(x) ∈ K[x], kad:

1) f_{i} dalijasi iš d visiems i, 1 ⩽ i ⩽ m;

2) jeigu f_{i} dalijasi iš g visiems i, 1 ⩽ i ⩽ m; g ∈ K[x], tai ir d dalijasi iš g.

Polinomas d vadinamas didžiausiuoju bendruoju polinomu_{‘} f_{1}, f_{2}, …, f_{m} dalikliu ir žymimas d = DBD (f_{1}, f_{2}, …, .f_{m}). Be to,

d = a_{1}f_{1} + a_{2}f_{2} + … + a_{m}f_{m}, a_{1}, a_{2}, …, a_{m} ∈ K[x] .

I_{‘} rodymas. Aibė I = {b_{1}f_{1} +b_{2}f_{2} +…+b_{m}f_{m} | b_{1}, b_{2}, …, b_{m} ∈ K[x] } yra žiedo K[x] idealas:

1) jeigu b_{i1}f_{1} + b_{i2}f_{2} + … + b_{im}f_{m} ∈ I, i = 1, 2, tai

\begin{matrix}(b_{11}f_{1} + b_{12}f_{2} + … + b_{1m}f_{m}) − (b_{21}f_{1} + b_{22}f_{2} + … + b_{2m}f_{m}) \\ = (b_{11} − b_{21})f_{1} + (b_{12} − b_{22})f_{2} + … + (b_{1m} − b_{2m})f_{m} ∈ I; \end{matrix}

2) jeigu b_{1}f_{1} + b_{2}f_{2} + … + b_{m}f_{m} ∈ I, r ∈ K[x], tai

r(b_{1}f_{1} + b_{2}f_{2} + … + b_{m}f_{m}) = (rb_{1})f_{1} + (rb_{2})f_{2} + … + (rb_{m})f_{m} ∈ I.

Kadangi K[x] yra pagrindiniu_{‘} idealu_{‘} sritis, todėl egzistuoja vienintelis unitarusis polinomas d ∈ K[x], generuojantis ideala_{‘} I = (d), t.y. polinomas d išsiskiria teiginyje esančiomis savybėmis.

△

7.16 apibrėžimas. 1. Jeigu DBD (f_{1}, f_{2}, …, f_{m}) = 1, tai sakoma, kad polinomai f_{1}, f_{2}, …, f_{m} yra tarpusavyje pirminiai.

2. Jeigu (f_{i}, f_{j}) = 1, i ≠ j, tai sakoma, kad polinomai f_{1}, f_{2}, …, f_{m} yra poromis tarpusavyje pirminiai.

Gri_{‘}žkime prie abstrakčiu_{‘} žiedu_{‘}.

7.17 apibrėžimas. Tegu (R, +, ·) ir (S, ⊕, ⊙) yra žiedai. Funkcija f : R → S vadinama žiedu_{‘} homomorfizmu, jeigu visiems a, b ∈ R

\begin{aligned}f(a + b) & = f(a) ⊕ f(b), \\ f(a · b) & = f(a) ⊙ f(b). \end{aligned}

Dar sakoma, kad žiedu_{‘} homomorfizmas yra funkcija, stabili žiediniu_{‘} operaciju_{‘} atžvilgiu.

Bijektyvus žiedu_{‘} homomorfizmas f : R → S vadinamas žiedu_{‘} izomorfizmu, o patys žiedai – izomorfiškais.

7.18 pavyzdys. Funkcija f : ℤ → ℤ_{m}, f(n) = K_{n} = \overline{n} yra žiedu_{‘} homomorfizmas, bet ne izomorfizmas, nes, pavyzdžiui,

f(0) = f(m) = \overline{0}.

7.19 apibrėžimas. Tegu f : R → S yra žiedu_{‘} homomorfizmas. Aibė

Ker f = {a ∈ R | f(a) = 0 ∈ S}

vadinama homomorfizmo f branduoliu.

Pagrindinės homomorfizmo branduolio savybės yra:

1. Homomorfizmo branduolys yra idealas. Tegu f : (R, +, ·) → (S, ⊕, ⊙) yra žiedu_{‘} homomorfizmas, tada:

1) (Ker f, +) ⊆ (R, +) – normalusis pogrupis,

2) visiems r ∈ R, r · Ker f ⊆ Ker f, Ker f · r ⊆ Ker f, nes, kai a ∈ Ker f,

\begin{matrix}f(r · a) = f(r) ⊙ f(a) = f(r) ⊙ 0 = 0, \\ f(a · r) = f(a) ⊙ f(r) = 0 ⊙ f(r) = 0. \end{matrix}

2. Tegu (R, +, ·) yra žiedas, o I – žiedo R idealas. Aibės

a + I = {a + i | i ∈ I}

sudaro žiedo R skaidini_{‘}, nes

a + I = b + I ⟺ a − b ∈ I.

Naudojantis gautu skaidiniu, konstruojama faktoraibė R/I, kurioje apibrėžiamos dvi operacijos:

\begin{matrix}(a + I) ⊕ (b + I) = (a + b) + I, \\ (a + I) ⊙ (b + I) = (a · b) + I. \end{matrix}

Jau žinome, kad (R/I, ⊕) yra komutatyvioji grupė. Operacija ⊙ apibrėžta korektiškai.

Tegu

\begin{matrix}a + I = c + I,  b + I = d + I, t.y. \\ a − c ∈ I,  b − d ∈ I. \end{matrix}

ab − cd = ab − cb + cb − cd = {(a − c)b \atop ∈ I} + {c(b − d) \atop ∈ I} ∈ I, t.y.

(a + I) ⊙ (b + I) = ab + I = cd + I = (c + I) ⊙ (d + I)

Taigi (R/I, ⊕, ⊙) yra žiedas, vadinamas žiedo R faktoržiedžiu moduliu I. Tada funkcija f : R → R/I, f(a) = a + I, yra žiedu_{‘} homomorfizmas, kurio branduolys Ker f = I.

7.20 pavyzdys. Faktoržiedis ℤ/(n) yra izomorfiškas žiedui ℤ_{n}:

( ℤ/(n), +, ·) ≈ (ℤ_{n}, +, ·).