5. GRUPIU_{‘} FAKTORIZACIJA

Gri_{‘}žkime prie grupės A sluoksniu_{‘} pogrupio B atžvilgiu.

5.24 apibrėžimas. Grupės (A, ·) pogrupis B vadinamas normaliuoju, jeigu visiems a ∈ A

a · B = B · a.

5.25 pastaba. Iš apibrėžimo matome, kad B – normalusis A pogrupis tada ir tik tada, kai a · B · a^{−1} = B visiems a ∈ A. Ši sa_{‘}lyga gali būti susilpninta:

N) Grupės A pogrupis B yra normalusis tada ir tada, kai visiems a ∈ A

a · B · a^{−1} ⊆ B.

Nurodytas sa_{‘}lygas i_{‘}rodyti paliekame skaitytojui.

5.26 pavyzdžiai. 1. Bet koks komutatyviosios grupės pogrupis yra normalusis.

2. Grupės A pogrupis B, kurio indeksas |A : B| grupėje A lygus 2, yra normalusis, nes grupės A tiek kairieji, tiek dešinieji sluoksniai B atžvilgiu yra tik du: B ir A − B.

Jeigu A = S_{n} yra n-osios eilės simetrinė grupė, o B = A_{n} – lyginiu_{‘} keitiniu_{‘} grupė (alternuojančioji grupė), tai, |S_{n}| = n!, |A_{n}| = \frac{n!}{2}. Pagal Lagranžo teorema_{‘} |S_{n} : A_{n}| = \frac{n!}{n!/2} = 2, todėl alternuojančioji grupė yra normalusis simetrinės grupės pogrupis.

Matyt, pati svarbiausia normaliu_{‘}ju_{‘} pogrupiu_{‘} savybė yra ta, kad grupės A sluoksniu_{‘} normaliojo pogrupio B atžvilgiu aibėje (žymuo A/B) galima apibrėžti grupės struktūra_{‘}. Parodysime, kaip tai padaryti.

5.27 teiginys. Tegu (A, ·) yra grupė, o (B, ·) – jos normalusis pogrupis. Tada ekvivalentumo sa_{‘}ryšis ∼ iš 5.14 teiginio turi savybe_{‘}:

jeigu a_{1} ∼ a_{2} ir c_{1} ∼ c_{2}, tai a_{1} · c_{1} ∼ a_{2} · c_{2},

t.y.,

jeigu a_{1} · B = a_{2} · B ir c_{1} · B = c_{2} · B, tai
a_{1} · c_{1} · B = a_{2} · c_{2} · B;

čia a_{1}, a_{2}, c_{1}, c_{2} – bet kurie grupės A elementai.

Teigini_{‘} i_{‘}rodyti tiesiogiai paliekame skaitytojui kaip pratima_{‘}.

Šiuo teiginiu faktoraibėje A/B apibrėžiama operacija ⊗ : (a_{1} · B) ⊗

(c_{1} · B) = def (a_{1} · c_{1}) · B yra korektiška, t.y. ji apibrėžiama sluoksniams ir nepriklauso nuo šiuos sluoksnius atstovaujančiu_{‘} elementu_{‘} a_{1} ir c_{1} (juos galima pakeisti elementais a_{2} ir c_{2}, kuriems teisinga a_{2} ∼ a_{1}, c_{2} ∼ c_{1}).

5.28 teiginys. Jeigu (A, ·) yra grupė, o (B, ·) – jos normalusis pogrupis, tai (A/B, ⊗) yra grupė. Ši grupė vadinama grupės A faktorgrupe pogrupio B atžvilgiu.

I_{‘} rodymas. 1) G1: (a · B) ⊗ (c · B) = (a · c) · B ∈ A/B su visais a, c ∈ A.

2) G2:

((a · B) ⊗ (c · B)) ⊗ (d · B) = ((a · c) · B) ⊗ (d · B) = ((a · c) · d) · B

= (a · (c · d)) · B = (a · B) ⊗ ((c · d) · B)

= (a · B) ⊗ ((c · B) ⊗ (d · B)).

3) G3: jeigu 1 yra neutralusis grupės A elementas, tai 1 · B = B – neutralusis A/B elementas: (a · B) ⊗ (1 · B) = (a · 1) · B = a · B, kai a ∈ A.

4) G4: jeigu a^{−1} yra atvirkštinis elemento a elementas grupėje A, tai

(a·B)⊗(a^{−1} ·B) = (a·a^{−1})·B = 1·B = (a^{−1} ·a)·B = (a^{−1} ·B)⊗(a·B).

△

5.29 pastabos. 1. | A/B | = |A : B|.

2. Jeigu A yra baigtinė grupė, tai | A/B | = \frac{|A|}{|B|}.

5.30 pavyzdžiai. 1. Tegu A = (S_{n}, ∘) yra simetrinė grupė, B = (A_{n}, ∘) – alternuojanti grupė, ∘ – keitiniu_{‘} kompozicija.

Faktorgrupėje ( S_{n}/A_{n}, ·), kurioje yra du elementai ε = A_{n}, α = S_{n} − A_{n}, veiksmu_{‘} lentelė yra

\begin{matrix}· & ε & α \\ ε & ε & α \\ α & α & ε \end{matrix}

2. Tegu A = (ℤ, +), B = (nℤ, +), n ∈ ℕ. Grupė A yra komutatyvioji grupė, todėl B – normalusis šios grupės

pogrupis.

Remiantis 5.14 teiginiu, kai a_{1} ≡ c_{1} (mod n), a_{2} ≡ c_{2} (mod n), tai a_{1} + a_{2} ≡ c_{1} + c_{2} (mod n).

Todėl ( ℤ/nℤ, ⊗) = (Z_{n}, +). Grupiu_{‘} struktūru_{‘} teorijoje svarbus vaidmuo tenka funkcijoms, api-

brėžtoms vienoje grupėje ir i_{‘}gyjančioms reikšmes kitoje bei išlaikančioms šiu_{‘} struktūru_{‘} operacijas.

5.31 apibrėžimas. Tegu (A, ∗), (B, ∘) yra grupės. Funkcija f : A → B vadinama grupiu_{‘} homomorfizmu, jeigu

f(a_{1} ∗ a_{2}) = f(a_{1}) ∘ f(a_{2}), su visais a_{1}, a_{2} ∈ A.

Bijektyvusis homomorfizmas vadinamas izomorfizmu.

5.32 pavyzdžiai. 1. f : ℤ → ℤ_{n}, f(m) = \overline{m} yra homomorfizmas, nes f(m_{1} + m_{2}) = \overline{m_{1} + m_{2}} = \overline{m_{1}} + \overline{m_{2}} = f(m_{1}) + f(m_{2}).

2. A = GL_{n}(ℝ) yra realiu_{‘}ju_{‘} n-osios eilės kvadratiniu_{‘} matricu_{‘} multiplikacinė grupė, B = ℝ^{∗} – nenuliniu_{‘} realiu_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} multiplikacinė grupė.

Funkcija f(M) = det M yra homomorfizmas, nes

f(M · N) = det( M · N) = det M · det N = f(M) · f(N).

3. A = S_{n} yra simetrinė grupė, B = C_{2} – dvieju_{‘} elementu_{‘} {1, −1} grupė su veiksmu_{‘} lentele

\begin{matrix}· & 1 & −1 \\ 1 & 1 & −1 \\ −1 & −1 & 1 \end{matrix}

Funkcija

sign(π) = \{ \begin{matrix}1, & kai π – lyginis keitinys, \\ −1, & kai π – nelyginis keitinys, \end{matrix}

yra homomorfizmas: sign : S_{n} → C_{2}.

Dabar pateiksime svarbiausias grupiu_{‘} homomorfizmu_{‘} savybes.

5.33 teiginys. Tegu (A, ∗), (B, ·) yra grupės, e_{A}, e_{B} – neutralieji grupiu_{‘} A ir B elementai, o f : A → B – grupiu_{‘} homomorfizmas. Tada:

1) Im f = {b ∈ B | ∃a ∈ A, f(a) = b} yra grupės B pogrupis.

2) f(e_{A}) = e_{B}.

3) f(a^{−1}) = ((f(a))^{−1}, a ∈ A. I_{‘} rodymas. 1) Sa_{‘}lygas G1−G4 aibei Im f patikrinti paliekame skaity-

tojui.

2) f(a) = f(a ∗ e) = f(a) · f(e) = f(e ∗ a) = f(e) · f(a). Taigi pagal neutraliojo elemento apibrėžima_{‘} f(e_{A}) = e_{B}.

3) f(a) · f(a^{−1}) = f(a^{−1}) · f(a) = f(e), todėl

\begin{aligned}(f(a))^{−1} & = (f(a))^{−1} · e_{B} = (f(a))^{−1} · (f(a) · f(a^{−1})) \\ & = ((f(a))^{−1} · f(a)) · f(a)^{−1} = e_{B} · f(a^{−1}) = f(a^{−1}). \end{aligned}

△

5.34 apibrėžimas. Tegu f : (A, ∗) → (B, ∘) yra grupiu_{‘} homomorfizmas. Aibė Ker f = {a ∈ A | f(a) = e_{B}; čia e_{B} – neutralus grupės B elementas} vadinama homomorfizmo f branduoliu.

5.35 pavyzdžiai. 1. Homomorfizmo f : ℤ → Z_{n}, f(m) = \overline{m}, branduolys Ker f = \{m ∈ ℤ | \overline{m} = \overline{0}\} = \{rn | r ∈ ℤ\} =< n > – ciklinis ℤ pogrupis, generuojamas skaičiumi n.

2. Homomorfizmo det : GL_{n}(ℝ) → ℝ^{∗} branduolys yra Ker det = {M ∈ GL_{n}(ℝ) | det M = 1} = SL_{n}(ℝ) – specialioji tiesinė grupė.

3. Homomorfizmo sign : S_{n} → C_{2} branduolys yra

Ker sign = {π | π − lyginis keitinys} = A_{n} − alternuojančioji grupė.

5.36 pastabos. 1. Grupiu_{‘} homomorfizmo f : (A, ∗) → (B, ·) branduolys Ker f yra normalusis pogrupis, nes jeigu a ∈ A, c ∈ Ker f, tai

f(a∗c∗a^{−1}) = f(a)·f(c)·f(a^{−1}) = f(a)·e_{B} ·f(a^{−1}) = f(a)·f(a^{−1}) = e_{B} ir todėl a ∗ c ∗ a^{−1} ∈ Ker f. Taigi pagal sa_{‘}lyga_{‘} N) Ker f – normalusis pogrupis.

2. Svarbu yra ir tai, kad jeigu N yra grupės (A, ∗) normalusis pogrupis, tai galima apibrėžti homomorfizma_{‘}

\begin{matrix}f : A → A/N, \\ f(a) = a ∗ N, \end{matrix}

kurio branduolys Ker f = N.

Kitais žodžiais sakant, bet kuris grupiu_{‘} homomorfizmo branduolys yra normalusis pogrupis ir kiekviena_{‘} normalu_{‘}ji_{‘} grupės pogrupi_{‘} galima realizuoti kaip visiškai apibrėžto homomorfizmo branduoli_{‘}. Šiuos samprotavimus apibendrina 3.13 teiginio analogas grupėms.

5.37 teorema (homomorfizmu_{‘} teorema grupėms). Tegu f : (A, ∗) → (B, ∘) yra grupiu_{‘} homomorfizmas. Tada egzistuoja vienintelis homomorfizmas \overline{f} : A/Ker f → B, kurio dėka diagrama

A  ⟶ f  B
↘ p  ↗\overline{f}
A/Ker f

yra komutatyvi, t.y. f = \overline{f} · p, \overline{f} yra grupiu_{‘} (A/Ker f, ⊗) ir f(A) izomorfizmas, o p – siurjektyvusis homomorfizmas.

5.38 apibrėžimas. Grupės A ir B vadinamos izomorfinėmis, jeigu egzistuoja izomorfizmas f : A → B. Žymėsime A ≈ B.

5.39 pastabos. 1. Grupiu_{‘} izomorfizmas yra ekvivalentumo sa_{‘}ryšis.

2. Jeigu funkcija f : A → B yra grupiu_{‘} A ir B izomorfizmas, tai ir funkcija f^{−1} : B → A yra grupiu_{‘} B ir A izomorfizmas.

5.40 pavyzdžiai. 1. ℤ/⟨n⟩ ≈ ℤ_{n}. I_{‘}domu yra ir tai, kad ciklinis sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} grupės (ℤ, +) pogrupis ⟨n⟩ ≈ ℤ : iš tikru_{‘}ju_{‘} funkcija f_{n} : ℤ → ⟨n⟩, f_{n}(m) = n · m, yra grupiu_{‘} izomorfizmas. Atkreipkime dėmesi_{‘} ir i_{‘} tai, kad (ℤ, +) ir ⟨n⟩ yra abi begalinės ciklinės grupės, kuriu_{‘} generuojantys elementai 1 arba −1 yra grupėje ℤ ir n arba −n – grupėje ⟨n⟩.

2. S_{n}/A_{n} ≈ C_{2}.

3. GL_{n}(ℝ)/SL_{n}(ℝ) ≈ ℝ^{∗}.

4. Pradėsime apibrėžimu. Tegu (A, ∗) ir (B, ∘) yra grupės. Algebrinė struktūra

(A × B, ·),

kuriai apibrėžta

(a_{1}, b_{1}) · (a_{2}, b_{2}) = (a_{1} ∗ a_{2}, b_{1} ∘ b_{2}),

vadinama grupiu_{‘} A ir B tiesiogine sandauga.

Tai, kad tiesioginė grupiu_{‘} sandauga yra grupė, paliekame patikrinti skaitytojui. Pateiksime i_{‘}domu_{‘} pavyzdi_{‘}.

Grupėje ℤ_{2} × ℤ_{3} yra šeši elementai:

(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1) ir (1, 2).

Veiksmu_{‘} lentelė šioje grupėje yra tokia:

\begin{matrix}+ & (0, 0) & (0, 1) & (0, 2) & (1, 0) & (1, 1) & (1, 2) \\ (0, 0) & (0, 0) & (0, 1) & (0, 2) & (1, 0) & (1, 1) & (1, 2) \\ (0, 1) & (0, 1) & (0, 2) & (0, 0) & (1, 1) & (1, 2) & (1, 0) \\ (0, 2) & (0, 2) & (0, 0) & (0, 1) & (1, 2) & (1, 0) & (1, 1) \\ (1, 0) & (1, 0) & (1, 1) & (1, 2) & (0, 0) & (0, 1) & (0, 2) \\ (1, 1) & (1, 1) & (1, 2) & (1, 0) & (0, 1) & (0, 2) & (0, 0) \\ (1, 2) & (1, 2) & (1, 0) & (1, 1) & (0, 2) & (0, 0) & (0, 1) \end{matrix}

Nesudėtinga i_{‘}sitikinti tuo, kad funkcija f : ℤ_{6} → ℤ_{2} × ℤ_{3}, apibrėžta lygybėmis f(\overline{0}) = (0, 0), f(\overline{1}) = (1, 1), f(\overline{2}) = (0, 2), f(\overline{3}) = (1, 0), f(\overline{4}) = (0, 1), f(\overline{5}) = (1, 2), yra grupiu_{‘} izomorfizmas: ℤ_{6} ≈ ℤ_{2} × ℤ_{3}.

Bet ar izomorfinės grupės ℤ_{8} ir ℤ_{2} × ℤ_{4}? Jei ne, tai kodėl, jei taip, tai kodėl?

Nagrinėkime ciklines grupes. Pasirodo, kad visos ciklinės grupės yra izomorfiškos arba sveiku_{‘}ju_{‘}

skaičiu_{‘} grupei ℤ, arba vienai iš grupiu_{‘} ℤ_{n}, n ∈ ℕ, priklausomai nuo to, ar kalbama apie begaline_{‘}, ar apie baigtine_{‘} cikline_{‘} grupe_{‘}.

5.41 teiginys. 1. Baigtinė ciklinė grupė, kurioje yra n elementu_{‘}, yra izomorfinė grupei ℤ_{n}:

⟨a⟩_{n} = ({a, a^{2}, …, a^{n} = e}, ·) ≈ (zzm_{n}, +)

2. Begalinė ciklinė grupė yra izomorfinė grupei ℤ. I_{‘} rodymas. 1. Funkcija φ_{n} : ℤ_{n} → ⟨a⟩_{n}, apibrėžta lygybe φ_{n}(\overline{k}) = a^{k},

yra izomorfizmas:

a) φ_{n} – homomorfizmas, nes φ_{n}(\overline{k} + \overline{l}) = a^{k} · a^{l} = φ_{n}(\overline{k}) · φ_{n}(\overline{l});

b) φ_{n} – bijekcija, nes, jeigu φ_{n}(\overline{k}) = φ_{n}(\overline{l}), tai a^{k} = a^{l} ir todėl k = l, kai 1 ⩽ k, l ⩽ n.

2. Funkcija φ_{0} : ℤ → ⟨a⟩), apibrėžta lygybėmis φ_{0}(k) = a^{k}, yra izomorfizmas:

a) φ_{0} – homomorfizmas, nes φ_{0}(k + l) = a^{k+l} = a^{k} · a^{l} = φ_{0}(k) · φ_{0}(l);

b) φ_{0} – bijekcija, nes φ_{0}(k) = φ_{0}(l) tada ir tik tada, kai a^{k} = a^{l}, a^{k−l} = e_{⟨a⟩}, t.y. k − l = 0, k = l.

△

5.42 pavyzdys. Ciklinė grupė visada komutatyvi, nes ir ℤ, ir ℤ_{n} yra komutatyvios grupės. Štai kodėl simetrinė grupė S_{n}, n ⩾ 3, nėra ciklinė: ji nėra komutatyvi: (12)(123) = (13) ≠ (23) = (123)(12).