4. CIKLINĖS GRUPĖS

5.10 apibrėžimas. Tegu (A, ·) yra grupė, o a ∈ A ir ord_{A}a = n < ∞. Tada ({a^{1}, a^{2}, …, a^{n−1}, a^{n} = e}, ·) yra A pogrupis. Jis vadinamas baigtiniu cikliniu generuojamu elemento a pogrupiu ir žymimas ⟨a⟩.

Jeigu ord_{A}a = ∞, tai ({…, a^{−2}, a^{−1}, e_{A}, a, a^{2}, …, }, ∗) yra begalinis A pogrupis, vadinamas begaliniu cikliniu pogrupiu ⟨a⟩. Elementas a abiem atvejais vadinamas generuojančiuoju grupės A elementu.

Cikliniu_{‘} grupiu_{‘} pavyzdžiai:

a) sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} grupė (ℤ, +) = ⟨1⟩ = ⟨−1⟩ – begalinė ciklinė grupė;

b) grupė (Z_{n}, +) = ⟨_{n}K_{1}, +⟩ – baigtinė ciklinė grupė.

Pastebėsime, kad elemento a ∈ A eilė yra lygi ciklinio pogrupio ⟨a⟩ eilei: |⟨a⟩| = ord a, todėl, norint rasti grupės elemento eile_{‘}, tenka nagrinėti atitinkama_{‘} ciklini_{‘} pogrupi_{‘}. Tam reikia mokėti pakankamai efektyviai skaičiuoti grupės (A, ·) elemento a laipsni_{‘} a^{n} (ypač, kai n didelis). Paprasčiausias būdas tai padaryti – atlikti n − 1 grupės veiksma_{‘}.

5.12 pastaba. Reiktu_{‘} mokėti skaičiuoti grupės elemento atvirkštini_{‘} elementa_{‘}, t.y. rasti elemento eile_{‘}. Panagrinėsime ši_{‘} klausima_{‘}.

5.13 apibrėžimas. Jeigu (A, ·) yra grupė, o B, C – netušti A poaibiai, tai B · C = {a ∈ A | a = b · c, b ∈ B, c ∈ C}.

Dabar apibendrinsime sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} grupėje ℤ apibrėžta_{‘} sa_{‘}ryši_{‘} ≡ (mod n) bet kuriai grupei.

5.14 teiginys. Tegu (B, ·) yra grupės (A, ·) pogrupis. Sa_{‘}ryšis

∼= {(a_{1}, a_{2}) | a_{1} · B = a_{2} · B}, a_{1} ∼ a_{2}

yra ekvivalentumo sa_{‘}ryšis.

I_{‘}rodyti paliekame skaitytojui.

Ši_{‘} ekvivalentumo sa_{‘}ryši_{‘} atitinkančio skaidinio _{∼}π aibės vadinamos grupės A kairiaisiais sluoksniais pogrupio B atžvilgiu.

Jeigu A yra baigtinė grupė, tai skaidinys _{∼}π yra

A = B ∪ (a_{1} · B) ∪ (a_{2} · B) ∪ … ∪ (a_{m} · B), a_{1}, a_{2}, …, a_{m} ∈ A.

Panašiai apibrėžiami ir grupės A dešinieji sluoksniai pogrupio B atžvilgiu ir skaidinys π_{∼}.

Akivaizdu, jeigu A yra komutatyvioji grupė, tai kairysis sluoksnis a·B sutampa su dešiniuoju sluoksniu B · a: a · B = B · a.

5.15 pavyzdys. A = S_{3}, B = {id, (12)}.

Kairieji sluoksniai  Dešinieji sluoksniai
B  B
{(13), (132)}  {(13), (123)}
{(23), (123)}  {(23), (132)}
∼π ≠ π_{∼}.

5.16 pavyzdys. A = Z_{8}, B = \{\overline{0}, \overline{4}\}. Skirtingi kairieji (dešinieji) grupės Z_{8} sluoksniai B atžvilgiu yra

\overline{0} + B = \{\overline{0}, \overline{4}\} = B_{0},
\overline{1} + B = \{\overline{1}, \overline{5}\} = B_{1},
\overline{2} + B = \{\overline{2}, \overline{6}\} = B_{2},
\overline{3} + B = \{\overline{3}, \overline{7}\} = B_{3},
A = B_{0} ∪ B_{1} ∪ B_{2} ∪ B_{3}.

5.17 pastaba. Jeigu grupė (A, ∗) yra baigtinė, tai visi kairieji (dešinieji) sluoksniai kurio nors pogrupio B atžvilgiu yra tos pačios galios, nes dėl prastinimo taisyklės grupėje

\begin{aligned}a ∗ b_{1} & = a ∗ b_{2} ⟺ b_{1} = b_{2}, \\ c_{1} ∗ a & = c_{2} ∗ a ⟺ c_{1} = c_{2}. \end{aligned}

5.18 apibrėžimas. Grupės A pogrupio B indeksu vadinamas skaidinio π_{∼} (arba _{∼}π) aibiu_{‘} skaičius ir žymimas |A : B|.

5.19 Lagranžo^{1} teorema. Jeigu A yra baigtinė grupė, o B – A pogrupis, tai

|A| = |B| · |A : B|.

Dėl 5.17 pastabos teoremos i_{‘}rodymas akivaizdus.

5.20 pastaba. Jeigu a ∈ A, tai ord_{A}a = |⟨a⟩| dalo grupės eile_{‘} |A|.

Tačiau ne kiekvienam |A| dalikliui d galima rasti toki_{‘} a ∈ A, kad ord_{A}a = d.

5.21 pavyzdys. Tegu A = S_{3} yra 3-osios eilės keitiniu_{‘} grupė. Kadangi |S_{3}| = 3! = 6, tai šioje grupėje nerasime nei 4-osios, nei 5-osios eilės elementu_{‘}. Kita vertus, grupėje nėra taip pat ir 6-osios eilės elementu_{‘}, nes

ord (id) = 1,

ord (12) = ord (13) = ord (23) = 2, ord (123) = ord (132) = 3.

Kartu gavome, kad S_{3} nėra ciklinė grupė. Naudodamiesi paskutine pastaba pateiksime baigtinės grupės elemen-

to eilės radimo algoritma_{‘}.

5.22 algoritmas. Žinoma: eilės n grupė (A, ·); elementas a ∈ A; 1 – neutralusis grupės A elementas.

Rezultatas: elemento a eilė N = ord_{A}a .

1. Randame skaičiaus n kanonini_{‘} skaidini_{‘} n = p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}} … p_{k}^{m_{k}}; priskiriame N := n; i := 0.

2. i := i + 1. Jeigu i > k, tai N išvedame; skaičiavimu_{‘} pabaiga.

3. N := N/p_{i}^{m_{i}}, G := a^{N}.

4. Jeigu G = 1, tai vykdome 2. Kol G ≠ 1 priskiriame G := G^{m_{i}}; N := N · p_{i}. Vykdome 2.

△

Baigtiniu_{‘} cikliniu_{‘} grupiu_{‘} pogrupiu_{‘} ir elementu_{‘} eiles apibrėžia kitas teiginys.

5.43 teiginys. Tegu ⟨a⟩ = {a, a^{2}, …, a^{n} = e} yra ciklinė grupė, o φ – Oilerio funkcija.

1 J. L. Lagrange, 1736–1813, – prancūzu_{‘} matematikas ir mechanikas.

1. Visi grupės ⟨a⟩ pogrupiai yra cikliniai.

2. ord (a^{k}) = \frac{n}{DBD (k,n)}.

3. Jeigu natūralusis skaičius k yra n daliklis, tai a) grupėje ⟨a⟩ egzistuoja pogrupis, kurio eilė yra lygi k;

b) grupėje ⟨a⟩ egzistuoja pogrupis, kurio indeksas grupėje ⟨a⟩ yra lygus k.

4. a) Jeigu natūralusis skaičius k yra n daliklis, tai grupėje ⟨a⟩ yra φ(k) k-osios eilės elementu_{‘};

b) grupėje ⟨a⟩ yra φ(n) generuojančiu_{‘} šia_{‘} grupe_{‘} elementu_{‘}: tai aibė {a^{r} | 1 ⩽ r ⩽ n, DBD(r, n) = 1}.

I_{‘} rodymas. 1. Tegu B yra ciklinės grupės ⟨a⟩ pogrupis ir k – toks mažiausias natūralusis skaičius, kad a^{k} ∈ B. Parodysime, kad ⟨a^{k}⟩ = B. Jeigu a^{d} ∈ B ir d = qk + r, 0 ⩽ r < k, tai a^{d} = (a^{k})^{q} · a^{r}. Taigi a^{r} = a^{d} ·(a^{k})^{−q} ∈ B ir todėl r = 0, nes mažiausias laipsnio rodiklis, kuriuo pakėlus a gausime grupės B elementa_{‘}, yra k, o r < k. Tada d = kq, a^{d} ∈ ⟨a^{k}⟩ ir todėl B = ⟨a^{k}⟩ – ciklinė grupė.

2. Elemento a^{k} ∈ ⟨a⟩ eilė yra toks mažiausias natūralusis skaičius s = ord a^{k}, kad (a^{k})^{s} = a^{k·s} = e. Tada n yra k · s daliklis, n | k · s ir \frac{n}{DBD (k,n)} yra \frac{k·s}{DBD (k,n)} daliklis. Bet žinome, kad

DBD(\frac{k}{DBD (k, n)}, \frac{n}{DBD (k, n)}) = 1,

ir todėl \frac{n}{DBD (k,n)} | s.

Mažiausias toks s, tenkinantis šia_{‘} sa_{‘}lyga_{‘}, ir yra \frac{n}{DBD (k,n)}.

3. Tegu n = k · l.

a) Tada |⟨a^{l}⟩| = \frac{n}{DBD (n,l)} = \frac{n}{l} = k.

b) Grupės ⟨a^{k}⟩ indeksas grupėje ⟨a⟩ yra

(⟨a⟩ : ⟨a^{k}⟩) = \frac{n}{|⟨a^{k}⟩|} = \frac{n}{\frac{n}{DBD (n,k)}} = \frac{n}{\frac{n}{k}} = k.

4. Elemento a^{l} eilė yra lygi k tik tada, kai k = \frac{n}{DBD (n,l)}. Pažymėkime DBD (n, l) = d, tada n = k · d. Elemento a^{r}, 1 ⩽ r ⩽ n, eilė yra lygi k tada ir tik tada, kai DBD(n, r)

= DBD (n, l) = d. Taigi skaičius r turi:

pirma, dalytis iš d, r = d · s, 1 ⩽ s ⩽ k; antra, DBD(\frac{n}{d}, \frac{r}{d}) = (k, s) = 1.

Gavome, kad elemento a^{r} eilė yra lygi k tada ir tik tada, kai r = d · s, 1 ⩽ s ⩽ k, DBD (s, k) = 1. Tokiu_{‘} natūraliu_{‘}ju_{‘} r, 1 ⩽ r ⩽ n, tenkinančiu_{‘} šia_{‘} sa_{‘}lyga_{‘}, ir yra φ(k).

△

5.44 išvada. Jeigu grupės A eilė yra pirminis skaičius p, tai visi grupės A elementai a ≠ e_{A} yra generuojantys šia_{‘} grupe_{‘}, o pati grupė A – ciklinė.

I_{‘}rodyti paliekame skaitytojui (žr. 5.43 teiginio 4b) dali_{‘}).

5.45 pavyzdžiai. 1. Visi grupės (ℤ_{n}, +) pogrupiai yra cikliniai ir lygūs

\{0, (\overline{m})d, (\overline{m})2d, …, (\overline{m})(\frac{n}{d} − 1)\};

čia d yra n daliklis, o \overline{m} – bet kuris generuojantis grupe_{‘} ℤ_{n} elementas, t.y. DBD (m, n) = 1.

2. Visi grupės (ℤ, +) pogrupiai yra cikliniai ir lygūs

{…, −2r, −r, 0, r, 2r, …};

čia r – bet kuris natūralusis skaičius.