3. GRUPĖS IR POGRUPIAI

Gerai yra žinomos sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} aibės ℤ sudėties ir sandaugos operacijos. Operacijos sa_{‘}voka_{‘} apibendrinsime bet kuriai netuščiai aibei A.

4.1 apibrėžimas. Bet kokia funkcija f : A × A → A vadinama binaria_{‘}ja (algebrine) operacija aibėje A.

Binariosios operacijos dažniausiai žymimos specialiais simboliais, pavyzdžiui, ∗, ∘, · arba +. Algebrines operacijas taip pat žymėsime šiais simboliais. Be to, simboli_{‘} a · b (dažniausiai žymima_{‘} ab be jokio žymens tarp a ir b) vadinsime elementu_{‘} a ir b sandauga, o simboli_{‘} a + b – elementu_{‘} a ir b suma, nors kartais tai yra sa_{‘}lyginiai pavadinimai.

4.2 apibrėžimas. Algebrine struktūra vadinama aibė A, kurioje apibrėžtas baigtinis operaciju_{‘} skaičius: f_{1}, f_{2}, …, f_{n}.

Norėdami algebrinėje struktūroje A išskirti kuria_{‘} nors operacija_{‘} (operacijas), pavyzdžiui, f_{1} (f_{1}, f_{2}, …, f_{k}), naudosime skliaustus (A; f_{1}) ((A; f_{1}, f_{2}, …, f_{k})) ir sakysime, kad operacija f_{1} (operacijos f_{1}, f_{2}, …, f_{k}) aibėje A apibrėžia algebrine_{‘} struktūra_{‘}. Jei algebrine_{‘} struktūra_{‘} apibrėžia sumos (sandaugos) operacija, tai tokia struktūra vadinama adicine (multiplikacine) algebrine struktūra.

4.3 pavyzdžiai. 1. Aibiu_{‘} operacijos ∪, ∩, −, △ apibrėžia algebrine_{‘} struktūra_{‘} aibės A poaibiu_{‘} aibėje 2^{A} : (2^{A}; ∪, ∩, −, △).

2. Binariosios operacijos +, ·, +_{5} sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} aibėje apibrėžia skirtingas algebrines struktūras (ℤ, +), (ℤ, ·), (ℤ, +_{5}).

Dabar apsistosime ties algebrinėmis struktūromis su viena binaria operacija. Nagrinėdami šias algebrines struktūras bendrai, binaria_{‘}ja_{‘} operacija_{‘} jose žymėsime arba simboliu ∗, arba sandaugos simboliu ·. Abiem atvejais simboliu_{‘} prasmė ta pati.

Binariosios operacijos, apibrėžtos baigtinėse aibėse, dažnai reiškiamos lentelėmis.

4.4 pavyzdys. Aibėje ℤ_{6} sudėties ir sandaugos operacijos reiškiamos lentelėmis:

+ 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4  \begin{matrix}· & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 3 & 0 & 3 & 0 & 3 \\ 4 & 0 & 4 & 2 & 0 & 4 & 2 \\ 5 & 0 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}

Iš 4.1 apibrėžimo matome, kad algebrinė struktūra (A, ∗) išsiskiria savybe:

G1 (uždarumas operacijos atžvilgiu). Visiems a, b ∈ A, tai a∗b ∈ A.

Algebrinė struktūra (A, ∗) gali taip pat pasižymėti savybėmis:

G2 (asociatyvumas). Visiems a, b, c ∈ A, teisinga lygybė (a∗b)∗c = a ∗ (b ∗ c).

Algebrinė struktūra, išsiskirianti savybe G2, dažnai vadinama asociatyvia_{‘}ja algebrine struktūra.

G3 (egzistuoja neutralusis elementas). Visiems a ∈ A egzistuoja toks e ∈ A, kad a ∗ e = e ∗ a = a. Norėdami algebrinėje struktūroje A išskirti neutralu_{‘}ji_{‘} elementa_{‘} e, žymėsime (A, ∗, e) . Adicinėje algebrinėje struktūroje neutralusis elementas vadinamas nuliu (žymuo 0), o multiplikacinėje – vienetu (žymuo 1).

4.5 teiginys. Jeigu algebrinėje struktūroje (A, ∗) egzistuoja neutralusis elementas e, tai jis yra vienintelis neutralusis elementas aibėje A.

I_{‘} rodymas. Sakykime, dar vienas elementas e′ tenkina G3: visiems a ∈ A, a ∗ e′ = e′ ∗ a = a. Tada

e′ = e′ ∗ e = e ∗ e′ = e.
△

G4 (egzistuoja atvirkštinis elementas). Visiems a ∈ A egzistuoja toks b ∈ A, kad a ∗ b = b ∗ a = e, kai e – neutralusis elementas iš G3. Elementas b vadinamas simetriniu, arba atvirkštiniu (vartosime ši_{‘} termina_{‘}), elementui a ir dažniausiai žymimas b = a^{−1}.

4.6 teiginys. Jeigu asociatyvioje algebrinėje struktūroje (A, ∗) elementui a ∈ A egzistuoja atvirkštinis elementas a^{−1}, tai jis yra vienintelis toks elementas aibėje A.

I_{‘} rodymas. Sakykime, dar vienas elementas b_{1} ∈ A tenkina G4: a∗b_{1} = b_{1} ∗ a = e. Tada

b_{1} = b_{1} ∗ e = b_{1} ∗ (a ∗ a^{−1}) = (b_{1} ∗ a) ∗ a^{−1} = e ∗ a^{−1} = a^{−1}.

△

G5 (komutatyvumas). Visiems a, b ∈ A a ∗ b = b ∗ a.

4.7 apibrėžimas. Algebrinė struktūra (A, ∗), tenkinanti:

G1, G2, G3, G4, vadinama grupe;

G1, G2, G3, G4, G5, vadinama komutatyvia_{‘}ja arba Abelio^{1}, grupe.

5.3 apibrėžimas. Tegu (A, ∗) yra grupė, o B - netuščias A poaibis. Jeigu (B, ∗) – taip pat grupė, tai B yra vadinamas grupės A pogrupiu.

Grupei yra būdingi šie teiginiai.

5.4 teiginys. Grupės (A, ∗) ir jos pogrupio (B, ∗) neutralieji elementai sutampa.

I_{‘} rodymas. Grupėje A galioja lygybės:

e_{A} ∗ e_{B} = e_{B},
e_{B} ∗ e_{B} = e_{B},
e_{A} ∗ e_{B} = e_{B} ∗ e_{B},

todėl pagal prastinimo taisykle_{‘} grupėje A teisinga e_{A} = e_{B}.

△

5.5 teiginys. Jeigu grupės (A, ∗) pogrupio (B, ∗) elementas b yra elemento a ∈ B atvirkštinis pogrupyje B, tai jis yra atvirkštinis ir pačioje grupėje A, t.y. b = a^{−1}.

1 N. H. Abel, 1802–1829, – norvegu_{‘} matematikas.

I_{‘} rodymas. Jeigu a ∈ B, tai

a ∗ b = e_{B} = e_{A} = a ∗ a^{−1}

ir pagal prastinimo taisykle_{‘} grupėje A teisinga lygybė b = a^{−1}.

Paskutiniai teiginiai visiškai apibūdina grupės pogrupi_{‘}. Tačiau dažniausiai naudojamasi tokia pogrupio charakterizacija.

5.7 teiginys. (B, ∗) yra grupės (A, ∗) pogrupis tada ir tik tada, kai:

1) B yra netuščias A poaibis;

2) visiems a, b ∈ B, a ∗ b^{−1} ∈ B. I_{‘} rodymas. Jei B yra grupės A pogrupis, tai pagal apibrėžimus sa_{‘}lygos

1) ir 2) patenkintos. Kita vertus, jei aibei B sa_{‘}lygos 1) ir 2) patenkintos, tai šioje aibėje teisingos ir grupės savybės.

a) Savybė G2 poaibiui B patenkinta, nes ji galioja grupei A.

b) Jeigu a ∈ B, tai pagal 2) a ∗ a^{−1} = e_{A} ∈ B, ir, kai a ∈ B, tai

a ∗ e_{A} = e_{A} ∗ a = a ir e_{A} = e_{B} = e. Taigi G3 patenkinta.

c) Visiems a ∈ B e ∗ a^{−1} = a^{−1} ∈ B ir

a ∗ a^{−1} = a^{−1} ∗ a = e, todėl G4 patenkinta.

d) Visiems a, b ∈ B turime b^{−1} ∈ B, (b^{−1})^{−1} ∈ B, pagal 2)

a ∗ (b^{−1})^{−1} ∈ B, o b^{−1} ∗ (b^{−1})^{−1} = e = (b^{−1})^{−1} ∗ b^{−1} = b ∗ b^{−1}, todėl

(b^{−1})^{−1} = b ir a ∗ (b^{−1})^{−1} = a ∗ b ∈ B. Taigi G1 patenkinta.

△

Baigtiniu_{‘} grupiu_{‘} pogrupiai apibūdinami kiek paprasčiau. Tam reikia šiu_{‘} apibrėžimu_{‘}.

5.8 apibrėžimai. 1. Grupėse, panašiai kaip ir monoiduose, apibrėžiamas grupės elemento laipsnis:

multiplikatyvioji operacija  adityvioji operacija
a^{n} = aa ⋯ a (n dauginamu_{‘}ju_{‘})  n · a = a + a + … + a (n dėmenu_{‘})
a^{−n} = (a^{−1})^{n}  (−n)a = n(−a)
a^{m}a^{n} = a^{m+n}  ma + na = (m + n)a

(a^{m})^{n} = a^{mn}  m(na) = (mn)a, n, m ∈ ℕ
a^{0} = 1  0 · a = 0

2. Jeigu egzistuoja toks natūralusis skaičius n ⩾ 1, kad a^{n} = 1, tai mažiausias toks skaičius n_{0}, kad a^{n_{0}} = 1, vadinamas elemento a ∈ A eile ir žymimas n_{0} = ord_{A}a. Jeigu toks natūralusis skaičius neegzistuoja, tai sakoma, kad elemento eilė yra begalinė, ir žymima ord_{A}a = ∞.

5.9 teiginys. (B, ·) yra baigtinės grupės (A, ·) pogrupis tada ir tik tada, kai:

1) B – netuščias A poaibis;

2) (B, ∗) visiems a, b ∈ B a · b ∈ B.

I_{‘} rodymas. Grupės A pogrupiui B galioja 5.7 teiginio 1) ir 2) sa_{‘}lygos. Todėl mums užtenka parodyti, kad su visais a, b ∈ B teisinga a · b^{−1} ∈ B.

a) Remiantis 2) visi sekos b = b^{1}, b^{2}, … nariai priklauso B.

b) Kadangi B – baigtinė aibė, tai egzistuoja tokie natūralieji skaičiai m ir n, 0 < m < n, kad b^{m} = b^{n}. Pasinaudoje_{‘} prastinimo taisykle grupėje, gausime

\begin{matrix}1 · b^{m} = b^{n−m} · b^{m} \\ 1 = b^{n−m}, t.y. \end{matrix}

1 ∈ B ir ord_{A}b < ∞.

c) Remiantis atvirkštinio elemento vienatinumu grupėje, iš lygybiu_{‘}

b^{ord_{A}b−1} · b = b · b^{ord_{A}b−1} = b^{ord_{A}b} = e

gauname b^{−1} = b^{ord_{A}b−1} ∈ B.

d) Jeigu a, b ∈ B, tai b^{−1} ∈ B ir pagal 2) a · b^{−1} ∈ B.

△

Norint rasti grupės elemento eile_{‘}, reikia mokėti pakankamai efektyviai skaičiuoti grupės (A, ·) elemento a laipsni_{‘} a^{n} (ypač, kai n didelis). Paprasčiausias būdas tai padaryti – atlikti n − 1 grupės veiksma_{‘}. Greitesnis kelias – tai algoritmas, grindžiamas tuo, kad skaičius n reiškiamas dvejetainėje sistemoje suma n = ∑_{i} α_{i}2^{i}; čia α_{i} arba 0, arba 1, o

a^{n} = ∏_{α_{i}=1} a^{2^{i}}.

5.11 algoritmas. Žinoma: grupės (A, ·) elementas a, n ∈ ℤ, 1 – neutralusis A elementas.

Rezultatas: algoritmas skaičiuoja x = a^{n}.

1. x := 1. Jeigu n = 0, tai x išvedamas; skaičiavimu_{‘} pabaiga. Jeigu n < 0, tai N := −n, y := a^{−1}. Jeigu n > 0, tai N := n, y := a.

2. Jeigu N nelyginis, tai x := x · y.

3. N := [N/2]. Jeigu N = 0, tai x išvedamas; skaičiavimu_{‘} pabaiga. Priešingu atveju y := y · y ir vykdoma 2.

△