11. MINIMALAUS POLINOMO RADIMAS. POLINOMO SKAIDINIO KŪNAS

Norint rasti elemento b ∈ F (a) iš 8.12 teiginio minimalu_{‘} polinoma_{‘} virš F, galima nagrinėti lygti_{‘}:

β_{n}b^{n} + β_{n−1}b^{n−1} + … + β_{1}b + β_{0} = 0.

Elementas b yra tiesinė sistemos 1, a, a^{2}, …, a^{n−1} kombinacija. I_{‘}raše_{‘} šia_{‘} kombinacija_{‘} i_{‘} nagrinėjama_{‘}ja_{‘} lygti_{‘}, sutrauke_{‘} panašius narius ir, pagaliau, pasinaudoje_{‘} tuo, kad sistema 1, a, a^{2}, …, a^{n−1} tiesiškai nepriklausoma, gautus koeficientus prie šios sistemos nariu_{‘} prilygine_{‘} nuliui, gausime homogenine_{‘} tiesine_{‘} n lygčiu_{‘} su n+1 nežinomu_{‘}ju_{‘} β_{0}, β_{1}, …, β_{n} sistema_{‘}, turinčia_{‘} nenulini_{‘} sprendini_{‘}.

8.14 pavyzdys. Tegu K = GF (2), o m(x) = x^{3} + x^{2} + 1 – neredukuojamas polinomas virš GF (2). Tada

\begin{matrix}GF (2)[x]/(x_{3} + x_{2} + 1) & = \{α_{0} + α_{1}a + α_{2}a^{2} | α_{0}, α_{1}, α_{2} ∈ GF (2), \\ a^{3} + a^{2} + 1 = 0\}. \end{matrix}

Rasime algebrinio elemento b = a + 1 minimalu_{‘}ji_{‘} polinoma_{‘}. Nagrinėjame lygti_{‘}

\begin{matrix}β_{3}b^{3} + β_{2}b^{2} + β_{1}b + β_{0} = 0, , β_{3}, β_{2}, β_{1}, β_{0} ∈ GF (2), \\ β_{3}(a + 1)^{3} + β_{2}(a + 1)^{2} + β_{1}(a + 1) + β_{0} = 0. \end{matrix}

Atsižvelge_{‘} i_{‘} tai, kad a^{3} = a^{2} + 1, gausime

β_{3}a + β_{2}(a^{2} + 1) + β_{1}(a + 1) + β_{0} · 1 = 0,

β_{2}a^{2} + (β_{3} + β_{1})a + (β_{2} + β_{1} + β_{0}) · 1 = 0,

\begin{aligned}β_{2} & = 0, \\ β_{3} + β_{1} & = 0, \\ β_{2} + β_{1} + β_{0} & = 0. \end{aligned}

Išsprende_{‘} lygčiu_{‘} sistema_{‘} virš GF (2), gausime β_{2} = 0, β_{0} = β_{1} = β_{3}. Taigi minimalusis elemento b = a + 1 polinomas virš GF (2) yra x^{3} + x + 1.

8.15 pavyzdys. Tegu K = GF (3), o m(x) = x^{2} + x + 2 neredukuojamas polinomas virš GF (3). Tada

\begin{aligned}GF (3)[x]/(x_{2} + x + 2) & = \{[0], [1], [2], a, a + 1, a + 2, 2a, 2a + 1, 2a + 2\} \\ & = GF (3)(a). \end{aligned}

Elemento a minimalusis polinomas virš GF (3) yra x^{2} +x+2. Rasime elemento b = 2a + 2 minimalu_{‘}ji_{‘} polinoma_{‘}.

β_{2}b^{2} + β_{1}b + β_{0} = 0, β_{2}, β_{1}, β_{0} ∈ GF (3),

β_{2}(2a + 2)^{2} + β_{1}(2a + 2) + β_{0} = 0, a^{2} = 2a + 1, β_{2}(a + 2) + β_{1}(2a + 2) + β_{0} = 0, (β_{2} + 2β_{1})a + 2β_{2} + 2β_{1} + β_{0} = 0,

\begin{aligned}β_{2} + 2β_{1} & = 0, \\ 2β_{2} + 2β_{1} + β_{0} & = 0, \end{aligned}

β_{2} = β_{1} = 2β_{0} ir, kai β_{0} = 2, β_{1} = β_{2} = 1.

Gavome, kad elemento b = 2a + 2 minimalusis polinomas irgi m(x) = x^{2} + x + 2 ir todėl

GF (3)[x]/(x_{2} + x + 2) = GF (3)(2a + 2).

Be to, naujame kūne GF (3)(2a + 2) neredukuojamo virš GF (3) polinomo m(x) = x^{2} + x + 2 kanoninis skaidinys žiede GF (3)(a)[x] yra

x^{2} + x + 2 = (x − a)(x − (2a + 2)) = (x + 2a)(x + a + 1).

8.16 teiginys. Tegu f(x) ∈ K[x] yra neredukuojamas virš kūno K polinomas, o a ir b – šio polinomo šaknys kuriame nors kūno K plėtinyje. Tada paprastieji plėtiniai K(a) ir K(b) yra izomorfiški:

iz : K(a) → K(b), iz(a) = b, iz(α) = α, α ∈ K;

čia iz – kūnu_{‘} izomorfizmas.

8.17 apibrėžimas. Tegu f(x) ∈ K[x], K – kūnas. Polinomo f(x) skaidinio kūnu vadinamas kūno K plėtinys L, išsiskiriantis savybėmis:

1) f(x) = b(x − a_{1})(x − a_{2}) … (x − a_{n}) virš L,

2) L yra mažiausias kūno K plėtinys, kuriame visos polinomo f(x) šaknys a_{1}, a_{2}, …, a_{n} yra kūno L elementai.

Taip apibrėžtas polinomo f skaidinio kūnas L žymimas K(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}).

Tegu K – kūnas. Kiekvienam f(x) ∈ K[x] egzistuoja šio polinomo skaidinio kūnas.

8.18 teiginys. Du polinomo f(x) skaidinio kūnai L_{1} ir L_{2} yra izomorfiški.

I_{‘}rodymas. Tegu a ir b yra neredukuojamo polinomo p(x) ∈ K [x] šaknys. Tada homomorfizmai

u : K [x] → K (a)

ir

v : K [x] → K(b)

indukuoja izomorfizmus

ū : K [x] /(p(x)) → K (a)

ir

v̄ : K [x] /(p(x)) → K(b).

Tada iz = v̄ · ū^{−1} yra ieškomasis izomorfizmas.

Pagrindinė 8.18 teiginio išvada yra ta, kad paprastasis algebrinis plėtinys K (u) yra apibrėžtas vienareikšmiškai izomorfizmo tikslumu. Apie ˇ ši_{‘} plėtini_{‘} dar sako, kad jis gaunamas prijungiant prie kūno K neredukuojamo polinomo p ∈ K [x] šakni_{‘}. Nereikia galvoti, kad ,prijungus viena_{‘} neredukuojamo polinomo šakni_{‘}, prijungsim ir likusias, t.y. paparastieji plėtiniai K (u) ir K (v) iš 8.1 teiginio ne visada sutampa. Pavyzdžiu galėtu_{‘} būti neredukuojamas virš Q polinomas x^{4} −2 . Aišku, kad plėtinyje Q ( ^{4} \sqrt{2}) /Q , čia ^{4} \sqrt{2}− aritmetinė ketvirto laipsnio šaknis iš 2, nėra kompleksiniu_{‘} polinomo x^{4}−2 šaknu_{‘} ±i ^{4} \sqrt{2}, t.y. Q ( ^{4} \sqrt{2}) ≠ Q (i ^{4} \sqrt{2}) , nors šie kūnai ir yra izomorfiški.

8.19 teoremaTegu polinomo f ∈ K [x] laipsnis yra n > 0. Tada egzistuoja polinomo f skaidymo kūnas F virš K ir [F : K] ≤ n!.

I_{‘}rodymas. Indukcija pagal n. Jeigu n = 1, tai pats kūnas K yra polinomo f skaidymo kūnas virš K. Tegu teorema yra teisinga su visais kūnais L ⊃ K ir su bet kokiu polinomu g ∈ L [x] , kurio laipsnis yra mažesnis už n. Tegu dabar p ∈ K [x] yra polinomo f neredukuojamas daliklis ir r_{1} yra polinomo p šaknis. Tada f kaip polinomas iš K (r_{1}) [x] turi šakni_{‘} kūne K (r_{1}) ir f = (x − r_{1}) g su g ∈ K (r_{1}) [x] ir deg g = n − 1. Tada pagal indukcijos prielaida_{‘} egzistuoja toks polinomo g skaidymo kūnas F/K (r_{1}) virš K (r_{1}) , kad [F : K (r_{1})] ≤ (n − 1)!. Tada nesunku patikrinti( ir tai paliekame padaryti skaitytojams), kad F yra polinomo f skaidymo kūnas. Beto, pagal teiginius 8.7 ir 8.12 turime, kad [F : K] = [F : K (r_{1})] [K (r_{1}) : K] ≤ (n − 1)!n = n!.

I_{‘}rodyta.

Pastebėsime, kad K (r_{1}, ..., r_{n}) = K (r_{1}) (r_{2}) ⋯ (r_{n}) ir todėl pagal 8.7 išvada_{‘} polinomo f skaidymo kūnas yra vienintėlis izomorfizmo atžvilgiu.

Pavyzdys. Rasime polinomo x^{4}+4 skaidinio kūna_{‘} virš Q. Pastebėsime, kad šis polinomas nėra nereduokuojamas, nes

f (x) = (x^{4} + 4) = (x^{2} − 2x + 2) (x^{2} + 2x + 2)

Sandaugoje esantys polinomai pagal Eizenšteino kriteriju_{‘}( kai p = 2 ) nredukuojami. Turime: x^{2}−2x+2 = (x − 1 − i) (x − 1 + i) ir x^{2}+2x+2 = (x + 1 − i) (x + 1 + i) ir todėl polinomo f (x) šaknys yra ±1 ± i. Tada polinomo f (x) skaidinio kūnas yra Q (i) ir [Q (i) : Q] = 2.

Turime, kad L_{1} = K(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}), o L_{2} = K(b_{1}, b_{2}, …, b_{n}); čia b_{i} = a_{σ(i)}, σ – aibės {1, 2, …, n} keitinys, t.y. ir {a_{1}, a_{2}, …, a_{n}}, ir {b_{1}, b_{2}, …, b_{n}} yra ta pati polinomo f(x) šaknu_{‘} aibė, skiriasi, galbūt, tik tu_{‘} šaknu_{‘} užrašymo tvarka.