10. KŪNU_{‘} PLĖTINIAI

Polinomu_{‘} žiedo K[x] faktorizacija neredukuojamo polinomo f(x) moduliu teikia mums nauju_{‘} kūnu_{‘} pavyzdžiu_{‘} (žr.7.29 pavyzdi_{‘}). Be to, pradinis kūnas K sutapatinamas su naujojo kūno K[x]/(f(x)) pokūniu. Šiuo atveju

sakoma, kad kūnas K[x]/(f(x)) yra kūno K plėtinys.

8.1 apibrėžimas. Jeigu F ⊆ K ir F, K yra kūnai tu_{‘} pačiu_{‘} operaciju_{‘} atžvilgiu, tai kūnas F vadinamas kūno K pokūniu, o kūnas K vadinamas kūno F plėtiniu.

8.2 teiginys. Tegu F_{i} yra kūno K pokūniai; čia i ∈ I . Tada ⋂ i ∈ IF_{i}

irgi yra kūno pokūnis.

I_{‘}rodyti paliekame skaitytojui.

8.3 apibrėžimas. Visu_{‘} kūno K pokūniu_{‘} sankirta vadinama pirminiu kūnu kūne K. Ji_{‘} žymėsime P (K).

Pastebėsime, kad pirminis kūnas P (K) yra mažiausias kūno K pokūnis, kurio plėtinys yra kūnas K.

Išsiaiškinsime, kokie būna pirminiai kūnai.

Tegu P (K) – pirminis kūnas kūne K. Kūno K elementas 1 priklauso visiems kūno K pokūniams, todėl 1 ∈ P (K) ir {k · 1 | k ∈ ℕ} ⊂ P (K).

Galimi du atvejai:

1. Elemento 1 eilė ord_{(K,+)}1 = ∞.

Kūno P (K) elementais yra 0 = 0·1, (−k)·1 = k ·(−1), k ∈ ℕ, ir todėl aibė {k · 1 | k ∈ ℤ} ⊂ P (K). Visi aibėje {k · 1 | k ∈ ℤ} esantys elementai yra skirtingi, nes vieneto eilė grupėje (K, +) – begalinė. Ši grupė yra izomorfiška sveiku_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} grupei: izomorfizmas f : ℤ → {k · 1 | k ∈ ℤ} apibrėžtas lygybe f(k) = k · 1.

Pirminiame kūne P (K) taip pat yra elementai

(n · 1) · (m · 1)^{−1} = \frac{n · 1}{m · 1}, m ≠ 0.

Taigi kūne P (K) yra aibė \{\frac{n·1}{m·1} | n ∈ ℤ, m ∈ ℕ, (n · m) = 1\}, kuri kūne K apibrėžtu_{‘} operaciju_{‘} atžvilgiu yra kūnas. Šis kūnas yra izomorfiškas racionaliu_{‘}ju_{‘} skaičiu_{‘} kūnui ℚ ir todėl yra pirminis kūnas kūne K . Šiuo atveju P (K) yra izomorfiškas (algebriškai tapatus) ℚ.

2. Elemento 1 eilė ord_{(K,+)}1 = p < ∞.

Pastebėsime, kad ord_{(K,+)}(a) = p, kai a ∈ K − {0}. Tegu ord_{K}a = r.

p · a = \underbrace{a + a + … + a}_{p} = a \underbrace{(1 + 1 + … + 1)}_{p} = a · 0 = 0,

taigi r ⩽ p. Priešingai,

\begin{aligned}r · a & = \underbrace{a + a + … + a}_{r} = 0 ⇒ r · a · a^{−1} \\ & = \underbrace{aa^{−1} + aa^{−1} + … + aa^{−1}}_{r} = r · 1 = 0, \end{aligned}

taigi p ⩽ r ir p = r = ord_{K}(a).

Skaičius p yra pirminis. Tegu, priešingai, p = s · t, 1 < s, t < p.

0 = p · 1 = s · (t · 1) = \underbrace{(t · 1) + (t · 1) + … + (t · 1)}_{s},

taigi ord_{K}(t · 1) ⩽ s < p – prieštara.

Aibė {1 · 1, 2 · 1, …, (p − 1) · 1, p · 1 = 0} kūne K esančiu_{‘} operaciju_{‘} atžvilgiu yra kūnas, izomorfiškas baigtiniam kūnui GF (p). Bet P (K)

– mažiausias kūno K pokūnis, todėl pats P (K) yra izomorfiškas kūnui GF (p).

8.4 apibrėžimas. Tegu (K, +, ·) yra kūnas. Jei ord_{(K,+)}1 = p < ∞, skaičius p yra vadinamas kūno K charakteristika, žymima char K = p, o kai ord_{(K,+)}1 = ∞, skaičius 0 yra vadinamas kūno K charakteristika, žymima char K = 0.

8.5 išvados. 1. Baigtinio kūno charakteristika yra pirminis skaičius.

2. Tegu kūno K charakteristika char K = p – pirminis skaičius. Tada

(a+b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} +b^{p^{n}}, (a−b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} −b^{p^{n}}, su visais a, b ∈ K, n ∈ ℕ.

I_{‘} rodymas. 1. Akivaizdu.

2. Pasinaudokime Niutono binomo formule

\begin{matrix}(a + b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} + C_{p^{n}}^{1}a^{p^{n}−1}b + … + C_{p^{n}}^{p^{n}−1}a · b^{p^{n}−1} + b^{p^{n}}, \\ C_{p^{n}}^{k} = \frac{p^{n}(p^{n} − 1) … (p^{n} − k + 1)}{1 · 2 · . . . · k} ∈ ℤ, 0 ⩽ k ⩽ p^{n}. \end{matrix}

Skaičius p yra pirminis, todėl, kai 1 ⩽ k ⩽ p^{n} − 1 , p iš eilės einančiu_{‘} dauginamu_{‘}ju_{‘} sandugoje 1 · 2 · . . . · k nesidalija iš p^{n} . Samprotaujant pagal indukcija_{‘} , turėsime

\begin{aligned}C_{p^{n}}^{k} & = \frac{p^{n}(p^{n} − 1) … (p^{n} − k + 1)}{1 · 2 · . . . · k} \\ & = p( \frac{p^{n−1}(p^{n} − 1) … (p^{n} − k + 1)}{1 · 2 · . . . · k} ; ∈ ℤ) ≡ 0 (mod p). \end{aligned}

Taigi (a + b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} + b^{p^{n}}.

Antroji formulė i_{‘}rodoma remiantis pirma_{‘}ja:

a^{p^{n}} = ((a − b) + b)^{p^{n}} = (a − b)^{p^{n}} + b^{p^{n}} ⇒ (a − b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} − b^{p^{n}}.

△

Kūno F plėtinys K turi savybes:

1) (K, +) yra komutatyvioji grupė;

2) visiems α ∈ F ir visiems a ∈ K sandauga α · a ∈ K;

3) visiems α, β ∈ F ir visiems a, b ∈ K:

(α + β) · a = α · a + β · a,
α(a + b) = α · a + α · b,
(α · β) · a = α(β · a),
1 · a = a.

Kūnas K yra vektorinė erdvė virš kūno F. Jeigu šios vektorinės erdvės dimensija yra baigtinis skaičius, tai sakoma, kad K yra baigtinis F plėtinys ir šio plėtinio laipsnis [K : F] = dim_{F} K.

8.6 pavyzdys. Tegu K yra baigtinis kūnas, kurio char K = p. Tada K yra GF (p) baigtinis plėtinys ir kartu vektorinė erdvė virš GF (p). Tegu [K : GF (p)] = n. Tada K ≈ (GF (p))^{n}. Taip pat matome, kad baigtinio kūno K elementu_{‘} skaičius yra lygus p^{n}.

8.7 išvada. Tegu L yra baigtinis kūno K plėtinys, o K – baigtinis kūno F plėtinys. Tada L yra baigtinis F plėtinys ir

[L : F] = [L : K] · [K : F].

8.8 apibrėžimas. Tegu K yra kūno F plėtinys, o a ∈ K. Mažiausias kūno F plėtinys, kuriam priklauso elementas a, vadinamas paprastuoju kūno F plėtiniu ir žymimas F (a). Elementas a vadinamas generuojančiu ši_{‘} plėtini_{‘} elementu.

Jeigu elementas a ∈ K tenkina lygti_{‘} α_{n}a^{n} + α_{n−1}a^{n−1} + … + α_{1}a + α_{0} = 0, α_{n}, α_{n−1}, …, α_{1}, α_{0} ∈ F, tai jis a vadinamas algebriniu kūno K elementu.

Kūno F plėtinys K vadinamas algebriniu plėtiniu, jeigu visi kūno K elementai yra algebriniai virš F elementai.

8.9 pavyzdys. 1. ℂ yra paprastasis algebrinis ℝ plėtinys: ℂ = ℝ(i). Tegu a + ib ∈ ℂ, tada polinomo f(x) = x^{2} − 2ax + a^{2} + b^{2} ∈ ℝ[x] viena iš šaknu_{‘} ir yra a + ib: f(a + ib) = 0.

2. Tegu F = GF (2) ir f(x) = x^{2} + x + 1 yra neredukuojamas polinomas virš GF (2). Žinome, kad GF (2)[x]/(x_{2} + x + 1) yra kūno GF (2) plėtinys:

GF (2)[x]/(x_{2} + x + 1) = {[0], [1], [x], [x + 1]} = GF (2)(α);

čia α = [x]. Taigi kalbame apie paprasta_{‘}ji_{‘} plėtini_{‘}. Negana to,

f_{1}(x) = x,  f_{1}([0]) = [0],
f_{2}(x) = x + 1,  f_{2}([1]) = [0],
f_{3}(x) = x^{2} + x + 1,  f_{3}([x]) = [0],
f_{3}([x + 1]) = [0],

todėl GF (2)(α) – paprastasis algebrinis GF (2) plėtinys.

8.10 apibrėžimas. Tegu K yra kūno F plėtinys, o a ∈ K – algebrinis elementas virš F. Aibė I = {g(x) ∈ F [x] | g(a) = 0} yra žiedo F [x] idealas. Polinomu_{‘} žiedas F [x] yra vyriausiu_{‘}ju_{‘} idealu_{‘} sritis, todėl egzistuoja toks vienintelis unitarusis polinomas m(x) ∈ F [x], kad I = (m(x)). Šis polinomas m(x) vadinamas minimaliuoju elemento a ∈ K polinomu virš kūno F. Polinomo m(x) laipsnis deg m(x) vadinamas elemento a laipsniu virš kūno F.

8.11 teiginys. Tegu K yra kūno F plėtinys, o m(x) – minimalusis elemento a ∈ K polinomas virš F. Tada:

1. Polinomas m(x) yra vienintelis unitarusis neredukuojamas polinomas virš F, kurio šaknis yra a: m(a) = 0.

2. Polinomas m(x) yra vienintelis unitarusis mažiausiojo laipsnio polinomas virš F, kurio šaknis yra a: m(a) = 0.

3. Polinomas m(x) yra vienintelis unitarusis polinomas virš F, tenkinantis sa_{‘}lyga_{‘}: jeigu f(x) ∈ F [x] ir f(a) = 0, tai f(x) dalijasi iš m(x).

I_{‘}rodyti paliekame skaitytojui, pastebėdami, kad visi teiginiai yra minimaliojo, kartu ir generuojančio ideala_{‘} I = {g(x) ∈ F [x] | g(a) = 0}, polinomo apibrėžimo išvados.

Minimaliu_{‘}ju_{‘} algebriniu_{‘} elementu_{‘} polinomu_{‘} paieška yra svarbus, bet ne visada lengvas uždavinys. Vėliau nurodysime tu_{‘} polinomu_{‘} radimo būdus, o dabar pasitenkinsime bendrais samprotavimais ir pateiksime pavyzdi_{‘}.

8.12 teiginys. Tegu K yra kūno F plėtinys, a ∈ K – algebrinis n-ojo laipsnio elementas virš F, kurio minimalusis polinomas yra m(x). Tada:

1. Paprastasis plėtinys F (a) – izomorfiškas kūnui F [x]/(m(x)).

2. [F (a) : F] = n, o 1, a, …, a^{n−1} yra vektorinės erdvės F (a) bazė virš F.

3. Kiekvienas kūno F (a) elementas b ∈ F (a) yra algebrinis virš F, o jo laipsnis yra n daliklis.

I_{‘} rodymas. 1. Funkcija u : F [x] → F (a), apibrėžta lygybe u(f(x)) = f(a), yra žiedu_{‘} homomorfizmas. Tada Keru = {g(x) ∈ F [x] | g(a) = 0} = (m(x)) ir F [x]/(m(x)) yra izomorfiškas u(F [x]). Bet u(F [x]) = F (a), nes:

viena vertus, a = u(x) ∈ u(F [x]), F ⊆ u(F [x]) ir todėl F (a) ⊆ u(F [x]); kita vertus, u(F [x]) = {f(a) | f(x) ∈ F [x]} ⊆ F (a).

2. a) Sistema 1, a, …, a^{n−1} yra generuojanti vektorine_{‘} erdve_{‘} F (a) sistema.

Tegu b ∈ F (a), t.y. b = f(a); čia f(x) ∈ F [x]. Pritaike_{‘} polinomu_{‘} porai f(x) ir m(x) dalumo algoritma_{‘}, gausime

f(x) = q(x) m(x) + r(x), r(x) = α_{s}x^{s} + … + α_{0}, s < n

ir b = f(a) = q(a)m(a) + r(a) = r(a) = α_{s}a^{s} + … + α_{0} · 1.

b) Sistema 1, a, …, a^{n−1} yra tiesiškai nepriklausoma vektorinėje erdvėje F (a).

Tegu α_{0} · 1 + α_{1} · a + … + α_{n−1}a^{n−1} = 0, t.y. f(a) = 0; čia

f(x) = α_{0} + α_{1}x + … + α_{n−1}x^{n−1} ∈ F [x].

Bet nenulinio polinomo, kurio viena iš šaknu_{‘} yra a, minimalus laipsnis yra n = deg m(x) ir todėl f(x) ≡ 0, t.y.

α_{0} = α_{1} = … = α_{n−1} = 0.

3. Tegu b ∈ F (a). Vektorinės erdvės F (a) dimensija dim_{F} F (a) = [F (a) : F] = n, todėl n + 1 elemento sistema 1, b, b^{2}, …, b^{n} yra tiesiškai priklausoma, t.y. atsiras tokie ne visi nuliniai elementai β_{0}, β_{1}, β_{2}, …, β_{n} ∈ F, kad

β_{0} · 1 + β_{1} · b + … + β_{n}b^{n} = 0,

t.y.

f(b) = 0, kur f(x) = β_{0} + β_{1}x + … + β_{n}x^{n} ∈ F [x].

Taigi b yra algebrinis elementas ir F (b) – baigtinis kūno F plėtinys. Be to, F (b) ⊆ F (a). Remiantis 8.7 išvada,

n = [F (a) : F] = [F (a) : F (b)] · [F (b) : F].

Gavome, kad b laipsnis, kuris lygus [F (b) : F], yra n daliklis.