Diskretinės matematikos egzaminas 2000.12.21

1. Visais žemiau nurodytais atvejais pateikite \underline{begalinio} Z poaibio S pavyzdi̧, kuriam yra teisinga:

(a) S yra uždaras ir sudėties ir sandaugos atžvilgiu.

(b) S yra uždaras ir sudėties bet ne sandaugos atžvilgiu.

(c) S yra uždaras ir sandaugos bet ne sudėties atžvilgiu.

(d) S nėra uždaras nei sudėties, nei sandaugos atžvilgiu.

2. Realiu̧ju̧ skaičiu̧ aibėje R apibrėžtas sa̧ryšis R : aRb ⟺ a − b = a^{3} − b^{3}.

(a) I̧rodykite, kad R yra ekvivalentumo sa̧ryšis.

(b) Elementui a apibrėžkite ekvivalentumo klasȩ R atžvilgiu.

3. Parašykite visas 1,2,3,5,7 eilės grupes. Atsakymus pagri̧skite.

4. Tegu E yra funkcija E : {0, 1, 2, ..., m − 1} → {0, 1, 2, ..., m − 1} , E (a) = a^{k} (mod m) . Kiek yra tokiu̧ elementu̧ a, kad E (a) = a, kai k = 29, m = 323. Atsakyma̧ pagri̧skite.

5. Kiek yra 2-ojo laipsnio neredukuojamu̧ polinomu̧ virš GF(5)? Atsakyma̧ pagri̧skite.

6. Raskite visu̧ 2-ojo laipsnio neredukuojamu̧ polinomu̧ virš GF(5) eiles.

7. Pateikite primityvaus polinomo apibrėžima̧. Kiek yra primityviu̧ 2-ojo laipsnio polinomu̧ virš GF(5)? Atsakyma̧ pagri̧skite

8. Pateikite primityvaus baigtinio kūno elemento apibrėžima̧. Kiek yra primityviu̧ elementu̧ kūne GF(25)? Parašykite juos. Atsakyma̧ pagri̧skite.

9. Kiek yra primityviu̧ 24-ojo laipsnio šaknu̧ iš 1 virš GF(5) ? Parašykite jas. Atsakyma̧ pagri̧skite.

10. Faktorizuokite x^{24} − 1 virš GF(5).