DISKRETINĖS MATEMATIKOS Išankstinis egzaminas 1999.12.15, trečiadienis

1. Raskite vieneto šaknu̧ grupės E_{30} eilȩ virš kūno GF (8) .

2. Pateikite primityviosios 30-ojo laipsnio vieneto šaknies virš kūnoGF (8) apibrėžima̧.Kiek ju̧ yra ?

3. Pateikite primityvaus baigtinio kūno GF(q) elemento apibrėžima̧. Kiek ju̧ yra ?

4. Raskite polinomo x^{5} − 1 ∈ GF (7) [x] skaidymo kūna̧.

5. Virš kokio kūno primityviosios 5-ojo laipsnio vieneto šaknys virš kūno GF (7) yra taip pat ir primityvūs kūno elementais.

6. Raskite skaičiaus 7 ciklotomines aibes moduliu 5.

7. Ka̧ galite pasakyti apie polinomo x^{5} − 1 skaidini̧ virš GF (7) ?

8. Kiek neredukuojamu̧ polinomu̧ ir kokie ju̧ laipsniai ciklotominio polinomo Q_{5}(x) ∈ GF (7) [x] kanoniame skaidinyje ?

9. Polinomas x^{6} + x + 2 yra neredukuojamas virš kūno GF (3). Ar bus šis polinomas neredukuojamas virš kūno GF (81)? Atsakyma̧ pagri̧skite.

10. Jeigu polinomas iš 9. yra neredukuojamas viršGF (81), tai nurodykite bent du kūnus virš kuriu̧ jis liks neredukuojamu ir tris kūnus virš kuriu̧ jis taps redukuojamu ir nurodykite neredukuojamu̧ polinomu̧ skaičiu̧ kanoniniuose šio polinomo skaidiniuose virš šiu̧ kūnu̧.

Jeigu polinomas iš 9. yra redukuojamas viršGF (81) , tai nurodykite bent tris kūnus virš kuriu̧ jis taps neredukuojamu ir du kūnus virš kuriu̧ jis liks redukuojamu ir nurodykite neredukuojamu̧ polinomu̧ skaičiu̧ kanoniniuose šio polinomo skaidiniuose virš šiu̧ kūnu̧.

DISKRETINĖS MATEMATIKOS Išankstinis egzaminas 1999.12.15, trečiadienis Atsakymai

1. m = 15, nes 30 = 15 · 2.

2. 12.3 apibrėžimas. Ju̧ yra φ (15) .

3. Tai generuojantis multiplikacinȩ grupȩ GF (q)^{∗} elementas. Ju̧ yra φ (q − 1) .

4. GF (7^{4}), nes ord_{5} (7) = 4.

5. Virš polinomo skaidymo kūno GF (7^{4}).

6. C_{0} = {0} , C_{1} = {1, 2, 3, 4} .

7. Polinomo skaidinyje vienas pirmojo ir vienas ketvirtojo laipsnio neredukuojamas polinomas.

8. Vienas ketvirtojo laipsnio neredukuojamas polinomas.

9. Polinomas yra redukuojamas, nes BDD(6, 4) = 2 > 1 .

10. Virš kūno GF (81) polinomo kanoniame skaidinyje du trečiojo laipsnio polinomai.