DISKRETINĖS MATEMATIKOS EGZAMINAS 1999.12.22

I̧RODYKITE.

1. Teorema̧ apie paprasta̧ji̧ algebrini̧ plėtini̧.

2. Teorema apie pirminius ir maksimalius idealus.

3. Teorema apie neredukuojamo polinomo eilȩ.

ATSAKYKITE.

1. Kiek skirtingu̧ faktoraibiu̧ turi aibė iš 4 elementu̧ ? Atsakyma̧ pagri̧skite.

2. Pateikite netrivialu̧ji̧ ekvivalentumo sa̧ryši̧ racionaliu̧ju̧ skaičiu̧ aibėje.

3. Faktorizuokite funkcija̧ f : Z_{12} → Z_{12}, f ([x]_{12}) = [x]_{12}^{2} .

4. Išvardinkite visas ciklines grupes izomorfizmo tikslumu. Atsakyma̧ pagri̧skite.

5. Faktorizuokite 78 -osios eilės ciklinȩ grupȩ ⟨a⟩ pogrupio ⟨a^{3}⟩ atžvilgiu. Nurodyti elementus.

6. Pateikite netrivialu̧ kokio nors žiedo požiedžio , bet ne idealo, pavyzdi̧.

7. Pateikite kuri̧ nors 9 elementu̧ kūno reiškima̧.

8. Išvardinkite visus pirminius kūnus izomorfizmo tikslumu. Koks kūno GF (343) pirminis pokūnis ?

9. Kiek skirtingu̧ pokūniu̧ , i̧skaitant trivialiuosius, yra kūne GF (4^{10}) ? Išvardinkite juos.

10. Tegu f (x) - 3-ojo laipsnio neredukuojamas polinomas virš kūno GF (8). Nurodykite tris kūnus tarp kuriu̧ turėtu̧ būti šio polinomo skaidymo kūnas. Atsakyma̧ pagri̧skite.

11. Kiek yra 12-ojo laipsnio neredukuojamu̧ polinomu̧ virš kūno GF (2). Raskite ju̧ sandauga̧. Kokio laipsnio šis polinomas ?

12. Raskite skaičiaus 9 ciklotomines aibes moduliu 11. Ka̧ galite pasakyti parašȩ jas ?

ATSAKYMAI

1. 18. 3.{[0]_{12} , [6]_{12}} , {[±1]_{12} , [±5]_{12}} , {[±2]_{12} , [±4]_{12}} , {[±3]_{12}} .

4. Z ir Z_{n}.

5. ⟨a⟩ / ⟨a^{3}⟩ ≅ ⟨a^{26}⟩ - trečiosios eilės ciklinė grupė.

8. Q ir GF (p), p - pirminins. GF (7).

9. 2^{10} − 1 = 1023 = 3 × 11 × 31. GF (2^{n}) , čia n = 1, 3, 11, 31, 33, 93, 341, 1023. Viso 8 pokūniai.

10. 8^{3} − 1 = 511 = 7 × 73, todėl skaidymo kūnas yra vienas iš GF (8^{n}), n = 7, 73, 511.

11. N_{2} (12) = \frac{1}{12} (μ (1) 2^{12} + μ (2) 2^{6} + μ (3) 2^{4} + μ (4) 2^{3} + μ (6) 2^{2} + μ (12) 2) = \frac{1}{12} (2^{12} − 2^{6} − 2^{4} + 2^{2}) = 335.

I (2, 12, x) = (x^{2^{12}} − 1) (x^{2^{6}} − 1)^{−1} (x^{2^{4}} − 1)^{−1} (x^{2^{2}} − 1) = \frac{x^{4096}−1}{(x^{64}−1)(x^{16}−1)} (x^{4} − 1) .Tai 16-ojo laipsnio polinomas.

12. {0} , {1, 9, 4, 3, 5} , {2, 7, 8, 6, 10} . Polinomo x^{11} − 1 kanoniame skaidinyje virš kūno GF (9) yra vienas pirmojo ir du penktojo laipsnio polinomai.