DISKRETINĖS MATEMATIKOS EGZAMINAS 2001 01 23

1. Raskite visus baigtinio kūno GF(1024) pokūnius.

2. I̧rodykite, kad kūno K ir jo plėtinio F ⊃ K charakteristikos yra vienodos.

3. Raskite visus primityviuosius kūno GF(7) elementus.

4. Tegu β yra neredukuojamo polinomo x^{4} + x + 1 ∈GF(2) [x] šaknis. Apskaičiuokite (β^{10} + β^{5}) (β^{2} + β^{4}) .

5. I̧rodykite, kad polinomas x^{2} + x + 2 yra primityvus virš GF(3) .

6. Pateikite faktoržiedo K =GF(3) [x] / (x^{2} + x + 2) indeksu̧ lentelȩ. Ar K yra kūnas? Atsakyma̧ i̧rodyti.

7. Tegu elemento α ∈GF(q^{n}) minimalusis polinomas yra f (x) ∈GF(q) [x] , deg f (x) = d. Nagrinėjame elementu̧ seka̧: α, α^{q}, ..., α^{q^{r}}.

(a) Ar sekoje esantys elementai yra skirtingi, kai r = d ? Atsakyma̧ i̧rodyti.

(b) Jeigu r = k · d, kai k > 1, ka̧ galite pasakyti apie sekoje esančius skirtingus elementus? Atsakyma̧ i̧rodyti.

8. I̧rodykite, kad su kiekvienu neredukuojamu polinomu f (x) virš baigtinio kūno teisinga: f (x) dalijasi iš x^{n} − 1 tada ir tik tada, kada ord(f (x)) dalijasi iš n.

9. Apskaičiuokite ciklotominius polinomus Q_{2} (x) , Q_{4} (x) , Q_{8} (x) , Q_{16} (x) .

10. Ar yra primityvioji n-ojo laipsnio šaknis primityviuoju elementu kuriame nors baigtiniame kūne? Atsakyma̧ i̧rodyti.

11. Kiek yra 34-ojo laipsnio šaknu̧ iš 1 virš GF(1024)? Atsakyma̧ i̧rodyti.

12. Faktorizuokite x^{5} − 1 virš GF(2) ir virš GF(3) .

13. Raskite polinomo x^{4} − 1 skaidinio kūna̧ virš GF(3) . Atsakyma̧ i̧rodyti.

14. Raskite primityvia̧ja̧ 4-ojo laipsnio šakni̧ polinomo x^{4} − 1 skaidinio kūne K . Ar ši šaknis yra primityvusis kūno K elementas? Atsakymus i̧rodyti.