Kontrolinis algebros namu̧ darbas . 2001 pavasario semestras. Rimantas Grigutis Operatoriaus kanoninės matricos.

Duota operatoriaus A : R^{12} → R^{12} matricos Frobeniuso forma A standartinėje bazėje.

1. Parašykite operatoriaus A matricos Frobeniuso forma̧.

2. Parašykite operatoriaus A matricos Frobeniuso-Žordano forma̧ ir bazȩ.

3. Parašykite operatoriaus A plėtininio A : C^{12} → C^{12} matricos Žordano forma̧ ir bazȩ.

4. Parašykite operatoriaus A matricos realia̧ja̧ kanoninȩ forma̧ ir bazȩ.

Pastabos. 1. Kiekvienas studentas pasirenta individualius, nepasikartojančius parametrus a ir b.

2. Darbas yra individualus.

3. Visus skaičiavimus būtina pagri̧sti.

4. Darbas turi būti atspausdintas.

5. Darba̧ galima pristatyti iki 2001 05 31 dienos 10:00 307 aud.

1 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{5} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} (t + c)^{s} . a = −2, −1, 1, 2,; b yra toks ≥ 10, kad a^{2} − 4b < 0. c ≥ 95. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

2 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{5} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{3} (t + c)^{s} . a = −4, −3, 3, 4; b yra toks ≥ 12, kad a^{2} − 4b < 0. c ≤ −95. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

A = ( \begin{matrix}F^{3} & O & O \\ O & F^{2} & O \\ O & O & J \end{matrix} ) .

3 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{5} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{3} (t + c)^{s} . a = −6, −5, 5, 6; b yra toks ≥ 15 , kad a^{2} − 4b < 0. −95 ≤ c ≤ −60. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

A = ( \begin{matrix}F^{3} & O & O & O \\ O & F & O & O \\ O & O & F & O \\ O & O & O & J \end{matrix} ) .

4 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{5} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{2} (t + c)^{s} . a = −8, −7, 7, 8; b yra toks ≥ 13, kad a^{2} − 4b < 0. 60 ≤ c ≤ 94. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

A = ( \begin{matrix}F^{2} & O & O & O \\ O & F^{2} & O & O \\ O & O & F & O \\ O & O & O & J \end{matrix} )

5 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{5} (t + c)^{2} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{2} (t + c)^{s} . a = −10, −9, 9, 10; b yra toks, kad a^{2} − 4b < 0. c ≥ 200. Jeigu a > 0, tai s = 2; jeigu a < 0, tai s = 1.

A = ( \begin{matrix}F^{2} & O & O & O & O \\ O & F & O & O & O \\ O & O & F & O & O \\ O & O & O & F & O \\ O & O & O & O & J \end{matrix} ) .

Pastaba. čia F^{i}− polinomo (t^{2} + at + b)^{i} lydinčioji matrica, o J− polinoma̧ (t + c)^{s} atitinkanti matrica.