10 pratybos Euklido erdvės. Metriniu̧ erdviu̧ geometrija.

Apibrėžimas.Tegu L - Euklido erdvės E poerdvis. Su kiekvienu x∈E egzistuoja y∈L ir toks z⊥L, kad x=y+z. Čia y vadinamas ortogonalia̧ja projekcija, o z - statmeniu i̧ L.

Apibrėžimas. Atstumas tarp vektoriaus v ir plokštumos v_{0}+L - tai statmens nuleisto iš vektoriaus v − v_{0} i̧ L ilgis.

Apibrėžimas. Atstumas tarp vektoriaus v ir poerdvio L - tai vektoriaus v statmens i̧ L ilgis.

Apibrėžimas.Atstumas tarp plokštumu̧ P_{1} = v_{1} + L_{1} ir P_{2} = v_{2} + L_{2} - tai vektoriaus v_{2} − v_{1} statmens i̧ poerdvi̧ L = L_{1} + L_{2} ilgis.

Apibrėžimas. Kampas tarp vektoriaus v ir poerdvio L yra kampas tarp v ir jo ortogoalios projekcijos i̧ L.

1. Jeigu (u, v)_{1} ir (u, v)_{2} yra Euklido erdvės skirtingos skaliarinės daugybos, tai skaliarine daugyba bus ir a (u, v)_{1} + b (u, v)_{2} , kai a, b− neneigiamieji, kartu nelygūs nuliui skaičiai. I̧rodykite .

2. Ortogonalizavimo procesu sudarykite aritmetinės erdvės R^{n} vektoriu̧ u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} tiesinio apvalkalo ortogonalia̧ja̧ bazȩ:

u_{1} = (1, 2, 1) , u_{2} = (−3, −4, −1) , u_{3} = (−4, −7, 0) .
u_{1} = (2, 3, −4) , u_{2} = (−3, −1, 5) , u_{3} = (8, −13, 16)
u_{1} = (1, 0, 0, 0) , u_{2} = (0, 2, 0, 0) , u_{3} = (0, 0, 3, 0) , u_{4} = (0.0.0.4) .
u_{1} = (1, 0, 1, 0) , u_{2} = (0, 1, 2, 0) , u_{3} = (0, 0, 1, 0) , u_{4} = (0, 0, 3, 1) .
u_{1} = (1, 1, 1, 1) , u_{2} = (0, 1, 1, 1) , u_{3} = (0, 0, 1, 1) , u_{4} = (0, 0, 0, 1) .

u_{1} = (1, 1, 1, 1) , u_{2} = (1, 1, −1, −1) , u_{3} = (1, −1, 1, −1) , u_{4} = (1, −1, −1, 1)

3. Papildykite vektoriu̧ sistema̧ u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} iki aritmetinės erdvės R^{n} ortonormuotosios bazės:

u_{1} = \frac{1}{3} (1, −2, 2) , u_{2} = \frac{1}{3} (−2, 1, 2)

4. Raskite aritmetinės erdvės R^{4} vektoriu̧ u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} tiesinio apvalkalo ortogonaliojo papildinio bazȩ;

u_{1} = (4, 1, 2, −3) , u_{2} = (2, −2, 3, 5) .

5. Apskaičiuokite aritmetinės erdvės R^{4} vektoriaus u projekcija̧ ir statmeni̧ i̧ vektoriu̧ sistemos u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} tiesini̧ apvalkala̧ ⟨u_{1}, u_{2}, ..., u_{m}⟩ :

u = (2, −3, 3, −3) ; u_{1} = (1, −1, 2, 3) , u_{2} = (−1, 3, 1, 5) .

6. Ar bus Euklido erdvės E poerdviu aibė {U = u ∈ E : (v, u) = a,čia v − fiksuotas vektorius,o a − fiksuotas skaičius}?

7.-8. Raskite vektoriaus x ortogonalia̧ja̧ projekcija̧ ir statmeni̧ i̧ L. 7.a) x = (14, −3, −6, −7) ; L = ⟨(−3, 0, 7, 6) ; (1, 4, 3, 2) ; (2, 2, −2, −2)⟩ .

b) x = (2, −5, 3, 4) ; L = ⟨(1, 3, 3, 5) , (1, 3, −5, −3) , (1, −5, −3, −3)⟩ .

8. a) x = (−3, 0, −5, 9) , L = \{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) : \begin{matrix}3a_{1} + 2a_{2} + a_{3} − 2a_{4} = 0 \\ 5a_{1} + 4a_{2} + 3a_{3} + 2a_{4} = 0 \\ a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + 10a_{4} = 0 \end{matrix} \} .

b) x = (7, −4, −1, 2) , L = \{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) : \begin{matrix}2a_{1} + a_{2} + a_{3} + 3a_{4} = 0 \\ 3a_{1} + 2a_{2} + 2a_{3} + a_{4} = 0 \\ a_{1} + 2a_{2} + 2a_{3} − 4a_{4} = 0 \end{matrix} \} .

9. Euklido erdvėje i̧rodyti : x ⊥ y ⟺ ∥x − y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} .

10. Raskite lygtis, kurios apibrėžia poerdvio L ortogonalu̧ji̧ papildini̧.

a) L = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : \begin{matrix}2x_{1} + x_{2} + 3x_{3} − x_{4} = 0 \\ 3x_{1} + 2x_{2} − 2x_{4} = 0 \\ 3x_{1} + x_{2} + 4x_{3} − x_{4} = 0 \end{matrix} \} .

b) L = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : \begin{matrix}2x_{1} − 3x_{2} + 4x_{3} − 4x_{4} = 0 \\ 3x_{1} − x_{2} + 11x_{3} − 13x_{4} = 0 \\ 4x_{1} + x_{2} + 18x_{3} − 23x_{4} = 0 \end{matrix} \} .

11. Raskite atstuma̧ nuo vektoriaus x iki poerdvio, apibrėžto lygtimis.

(i) x = (2, 4, 0, −1) ; \{ \begin{matrix}2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \\ 2x_{1} + 4x_{2} + 2x_{3} + 4x_{4} = 0 \end{matrix} .

(ii) x = (3, 3, −4, 2) ; \{ \begin{matrix}x_{1} + 2x_{2} + x_{3} − x_{4} = 0 \\ x_{1} + 3x_{2} + x_{3} − 3x_{4} = 0 \end{matrix} .

(iii) x = (3.3. − 1, 1, −1) ; 2x_{1} − 2x_{2} + 3x_{3} − 2x_{4} + 2x_{5} = 0 . (iv) x = (3, 3, −1, 1, −1) ; x_{1} − 3x_{2} + 3x_{4} − x_{5} = 0 .

12. Raskite atstuma̧ tarp tiesiu̧:

a) (5, 2, 0, 3) + t (1, 2, −4, 1) ir (3, −1, 3, 1) + t (1, 0, −1, 0) . b) (5, 4, 3, 2) + t (1, 1, −1, −1) ir (2, 1, 4, 3) + t (−3, −3, 3, 3) .

13. I̧rodykite, kad sistemos Gramo matrica G yra neišsigimusi tada ir tik tada, kada sistema yra bazė.

14. I̧rodykite, kad det G Gramo-Šmidto ortogonalizacijos proceso metu nekinta.

15. I̧rodykite, kad det G(x_{1}, ..., x_{k}) ≤ ∥x_{1}∥^{2} ⋯ ∥x_{k}∥^{2} . Lygybė galima tik tada, kai (x_{i}, x_{j}) = 0, i ≠ j ; arba, kai x_{i} = 0 su kuriuo nors i.

16. I̧rodyti, kad n -mačio stačiojo gretasienio i̧strižainės kvadratas lygus briaunu̧, išeinančiu̧ iš vienos viršūnės kvadratu̧ sumai.

17. Raskite n - mačio kubo i̧strižainiu̧, ortogonaliu̧ duotai i̧strižainei, skaičiu̧.

18. Raskite n - mačio kubo, kurio kraštinė a, i̧strižainės ilgi̧.

19. Raskite kampus tarp n -mačio kubo i̧strižainiu̧ ir briaunu̧.

20. Raskite apibrėžto apie n− mati̧ kuba̧, kurio briauna a, rutulio spinduli̧ R ir priklausomai nuo n išsprȩskite nelygybȩR< a .

21. Apskaičiuokite gretasienio tūri̧, kai kraštinės lygios:

(i) \begin{matrix}(1, −1, 1, −1) \\ (1, 1, 1, 1) \\ (1, 0, −1, 0) \\ (0, 1, 0, −1) \end{matrix} (ii) \begin{matrix}(1, 1, 1, 1) \\ (1, −1, −1, 1) \\ (2, 1, 1, 3) \\ (0, 1, −1, 0) \end{matrix}

(iii) \begin{matrix}(1, 1, 1, 2, 1) \\ (1, 0, 0, 1, −2) \\ (2, 1, −1, 0, 2) \\ (0, 7, 3, −4, −2) \\ (39, −37, 51, −29, 5) \end{matrix} (iv) \begin{matrix}(1, 0, 0, 2, 5) \\ (0, 1, 0, 3, 4) \\ (0, 0, 1, 4, 7) \\ (2, −3, 4, 11, 12) \\ (0, 0, 0, 0, 1) \end{matrix} .

22. I̧rodykite, kad gretasienio tūriams galioja

V (a_{1}, ..., a_{k}, b_{1}, ..., b_{l}) ≤ V (a_{1}, ..., a_{k}) · V (b_{1}, ..., b_{l}) .

Lygybė galioja tik tada, kai (a_{i}, b_{j}) = 0 su visais i, j.

23. Apskaičiuokite kampa̧ tarp vektoriaus x ir poerdvio L .

(i) x = (2, 2, 1, 1) ; L = ⟨(3, 4, −4, −1) , (0, 1, −1, 2)⟩ . (ii) x = (1, 0, 3, 0) ; L = ⟨(5, 3, 4, −3) , (1, 1, 4, 5) , (2, −1, 1, 2)⟩ . (iii) x = (−3, 15, 1, −5) ; L = ⟨(2, 3, −4, −6) , (1, 8, −2, −16) , (1, −5, −2, 10)⟩ . (iv) x = (3, 1, \sqrt{2}, −2) ; L = ⟨(2, −1, 2, 1) , (−1, 2, −2, 1) , (−1, 1, −1, 0)⟩ .

24. Raskite kampa̧ tarp poerdviu̧: ⟨(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0)⟩ ir ⟨(1, 1, 1, 1) , (1, −1, 1, −1)⟩ .

Erdvėje M_{n} apibrėžta skaliarinė sandauga: (f, g) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + ⋯ + a_{n}b_{n}.

25. Tegu ervėje M_{n} duoti polinomai f_{1} (t) = 3t^{2} +2t+1 , f_{2} (t) = −t^{2} +2t+1 , f_{3} (t) = 3t^{2}+2t+5 , f_{4} (t) = 3t^{2}+5t = 2. Rakite polinoma̧ f_{0} (t) , deg f_{0} ≤ 2 , kuris būu̧ vienodai nutolȩ nuo f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}. Apskaičiuokite ši̧ atstuma̧. I̧rodykite, kad polinomas f_{0} (t) + c_{3}t^{3} + ⋯ + c_{n}t^{n} irgi vienodai nutolȩs nuo f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}. Raskite ši̧ atstuma̧.

26. Apskaičiuokite atstuma̧ tarp t^{n} ir M_{n−1}.

27. Apskaičiuokite atstuma̧ tarp t^{n} + a_{n−1}t^{n−1} + ⋯ + a_{1}t + a_{0} ir M_{n−1}.

28. Apskaičiuokite atstuma̧ tarp at^{n} + a_{n−1}t^{n−1} + ⋯ + a_{1}t + a_{0} ir M_{n−1}.

29. Tegu L = {f ∈ M_{n}, f (1) = 0} . I̧rodykite, kad atstumas tarp bet kurio

g ∈ M_{n} ir L yra \frac{g (1)}{\sqrt{n + 1}}.

30. Tegu v ∈ E fiksuotas vektorius, o L = ⟨v⟩^{⊥} . I̧rodykite, kad atstumas tarp

vektoriaus x ir L yra lygus \frac{|(x, v)|}{∥v∥}.

31. I̧rodykite, kad kampu̧, kuriuos sudaro vektorius v su poerdviu L ir su L^{⊥}, suma lygi \frac{π}{2} .