9 pratybos Kvadratinės formos

1. Raskite kvadratiniu̧ formu̧:

a) ranga̧;

b) kanonines išraiškas ir užrašykite tiesinius kintamu̧ju̧ keitinius, kuriuos atlikus, gautos tos išraiškos;

c)normalia̧sias išraiškas ir užrašykite tiesinius kintamu̧ju̧ keitinius, kuriuos atlikus, gautos tos išraiškos :

1) f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 7x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2} − 8x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} − 6x_{2}x_{3}.

2) f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}x_{3}.

3) f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} − 4x_{1}x_{3}.

4) x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3}, n = 3 ;

5) x_{1}x_{2}, n = 2 ; x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4}, n = 4; x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4} + ⋯ + x_{2n−1}x_{2n};

6) x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{1}x_{4} + x_{2}x_{3} + x_{2}x_{4} + x_{3}x_{4}.

2. Ar kongruenčios šios kvadratinės formos: f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} − 2x_{2}^{2} − 2x_{1}x_{2} − 2x_{1}x_{3} − 2x_{2}x_{3}, g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = y_{1}^{2} + 5y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + 4y_{1}y_{2} − 4y_{1}y_{3} − 10y_{2}y_{3}.

3. Užrašykite tiesini̧ kintanu̧ju̧ keitini̧, kuri̧ atlikus, iš kvadratinės formos f gaunama kvadratinė forma g .

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + 14x_{3}^{2} − 2x_{1}x_{2} − 4x_{1}x_{3} + 8x_{2}x_{3}, g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = 4y_{1}^{2} + 5y_{2}^{2} + 19y_{3}^{2} + 4y_{1}y_{2} + 12y_{1}y_{3} − 6y_{2}y_{3}.

4. Su kuriomis parametro λ reikšmėmis šios kvadratinės formos yra teigiamai apibrėžtos:

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + λx_{3}^{2} − 2x_{1}x_{2} − 2x_{1}x_{3} + 6x_{2}x_{3}.

5. Neorentuotam grafui G , kurio viršūnės v_{1}, ..., v_{n}, priskiriame kvadratinȩ

forma̧ F_{G} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2, & i = j \\ −1, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos \\ 0, & jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos \end{matrix}

I̧rodykite, kad grafo

A_{n}: ∘ − ∘ − ⋯ − ∘ − ∘ , čia n viršūniu̧,

kvadratinė forma F_{A_{n}} yra teigiamai apibrėžta. 2)

D_{n}: ∘ − ∘ − ⋯ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} , čia n viršūniu̧,

kvadratinė forma F_{D_{n}} yra teigiamai apibrėžta. 3)

E_{n}: ∘ − ∘ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} ⋯ − ∘ − ∘ , čia n = 6, 7, 8 viršūniu̧,

kvadratinė forma F_{E_{n}} yra teigiamai apibrėžta. 4)

Ẽ_{7}: ∘ − ∘ − ∘ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} − ∘ − ∘ − ∘ ,

kvadratinė forma FẼ_{7} yra teigiamai pusapibrėžta, t.y. FẼ_{7} (x_{1}, x_{2}) ≥ 0 su visais x_{1}, x_{2}.

5)

Ẽ_{8}: ∘ − ∘ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} − ∘ − ∘ − ∘ − ∘ − ∘ ,

kvadratinė forma FẼ_{8} yra teigiamai pusapibrėžta, t.y. FẼ_{8} (x_{1}, x_{2}) ≥ 0 su visais x_{1}, x_{2}.

Ẽ_{6}: ∘ − ∘ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} − ∘ − ∘ ,

kvadratinė forma FẼ_{6} yra teigiamai pusapibrėžta, t.y. FẼ_{6} (x_{1}, x_{2}) ≥ 0 su visais x_{1}, x_{2}.

7)

D̃_{n}: \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} − ∘ − ⋯ − \begin{matrix}∘ \\ | \\ ∘ \\ | \\ ∘ \end{matrix} , čia n + 1 viršūnė,

kvadratinė forma FD̃_{n} yra teigiamai pusapibrėžta, t.y. FD̃_{n} (x_{1}, x_{2}) ≥ 0 su visais x_{1}, x_{2}.

8)

Ã_{n}: \begin{matrix}∘ & − & ∘ \\ | & & | \\ ⋮ & & ⋮ \\ | & & | \\ ∘ & − & ∘ \end{matrix} , čia n + 1 viršūnė,

kvadratinė forma FÃ_{n} yra teigiamai pusapibrėžta, t.y. FÃ_{n} (x_{1}, x_{2}) ≥ 0 su visais x_{1}, x_{2}.