8 Pratybos.

Poerdviai.

1. Raskite poerdviu̧ ⟨u_{1}, u_{2}, ..., u_{k}⟩ ir ⟨u_{1}, u_{2}, ..., u_{m}⟩ sumos ir sankirtos dimensijas ir bazes, kai:

a) \begin{matrix}u_{1} = (1, −1, 0, 2) , & u′_{1} = (2, 8, 2, 4) , \\ u_{2} = (2, 3, 1, 4) , & u′_{2} = (5, 5, 2, 10) , \\ u_{3} = (0, 5, 1, 0) , & u′_{3} = (3, −3, 0, 6) . \end{matrix}

b) \begin{matrix}u_{1} = (2, 1, 3, 1) , & u′_{1} = (1, −1, 2, 1) , \\ u_{2} = (−1, 2, −4, 2) , & u′_{2} = (2, 0, 1, −3) , \\ u_{3} = (2, 3, −1, 0) , & u′_{3} = (−1, 0, 2, −2) . \end{matrix}

2. Tegu poerdviai U, V ⊂ R^{n} apibrėžti lygtimis x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n} = 0 ir x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n} = 0 atitinkamai. I̧rodykite, kad R^{n} = U ⊕ V ir raskite vienetiniu̧ vektoriu̧ projekcijas poerdviuose U (V atžvilgiu) ir V (U atžvilgiu ) .

3. Tegu ervėje R^{4} duoti poerdviai U ir V. I̧rodykite, kad R^{4} = U ⊕V ir raskite vektoriaus u projekcijas poerdviuose U (V atžvilgiu) ir V (U atžvilgiu ) :

a) U = [(1, 1, 1, 1) ; (−1, −2, 0, 1)] , V = [(−1, −1, 1, −1) ; (2, 2, 0, 1)] ir u = (4, 2, 4, 4) .

b) U = [(2, 3, 11, 5) , (1, 1, 5, 2) , (0, 1, 1, 1)] , V = [(2, 1, 3, 2) , (1, 1, 3, 4) , (5, 2, 6, 2)] ir u = (2, 0, 0, 3) .

4. Tegu f_{1}, f_{2} ∈ K [x] , BDD(f_{1}, f_{2}) = 1, o deg f_{1} = m_{1}, deg f_{2} = m_{2}. I̧rodykite, kad

S = K_{m_{1}+m_{2}−1} [x] = S_{1} ⊕ S_{2},

čia S_{i} = {f ∈ S | polinomas f dalijasi iš f_{i}} , i = 1, 2.

5. I̧rodykite, kad tolydžiu̧ realiu̧ju̧ funkciju̧, apibrėžtu̧ intervale [0, 1] , vektorinė erdvė C [0, 1] yra tiersioginė poerdviu̧ U ir W suma:

a) U = R ; W = {f (x) ∈ C [0, 1] | f (x_{0}) = 0, čia 0 ≤ x_{0} ≤ 1 − fiksuotas skaičius} .

b) U = R_{n−1} [x] ; W = {f (x) ∈ C [0, 1] | f (x_{1}) = ⋯ = f (x_{n}) = 0} , čia 0 ≤ x_{1} < ..., < x_{n} ≤ 1− fiksuoti skaičiai

6. Nurodykite kuria̧ nors bazȩ faktorerdvėje R^{4}/V .

1) V = ⟨(1, 1, 1, 1) ; (1, 2, 3, 4)⟩;

2) V = ⟨(1, −1, 2, −1) ; (1, 0, 0, 1) ; (1, 1, 1, 1)⟩ Plokštumos vektorinėse erdvėse.

Apibrėžimas.Tegu L yra vektorinės erdvės V poerdvis, o x_{0} ∈ V. Vektoriu̧ aibė P = x_{0} + L vadinama plokštuma vektorinėje erdvėje V. Jeigu dim L = dim V − 1, tai ši plokštuma vadinama hiperplokštuma. Jeigu dim L = 1, tai plokštuma vadinama tiese. Dvi plokštumos P_{1} = x_{1}+L_{1} ir P_{2} = x_{2}+L_{2} vadinamos lygiagrečiomis, jeigu arba L_{1} ⊆ L_{2} , arba L_{1} ⊆ L_{2}.

Teiginys 1. Jeigu L = [u_{1}, u_{2}, ..., u_{k}] , tai x ∈ x_{0} + L ⟺ x = x_{0} + t_{1}u_{1} + t_{2}u_{2} + ⋯ + t_{k}u_{k} . Teiginys 2. Plokštumos x_{1} + U_{1} ir x_{2} + U_{2} sutampa tada ir tik tada, kada

U_{1} = U_{2} ir x_{1} − x_{2} ∈ U_{1}.

Teiginys 3. Jeigu V = U ⊕W, tai plokštumu̧ x_{0} +U ir y_{0} +W sankirtoje vienas vektorius x_{0} + u = y_{0} + w, čia x_{0} − y_{0} = u + w, u ∈ U, w ∈ W.

Teiginys 4. Plokštumos x_{0} + U ir y_{0} + W turi netuščia̧ sankirta̧ tada ir tik tada, kai x_{0} − y_{0} ∈ U + W.

Teiginys 5. Mažiausios plokštumos, turinčios dvi iš anksto duotas tieses, dimensija yra nedidesnė už 3.

Teiginys 6. Mažiausia plokštuma, turinti plokštumas P_{1} = x_{0} + U ir P_{2} = y_{0} + W , tai plokštuma P = x_{0} + U + W + L, čia L = [y_{0} − x_{0}] − tiesė.

dim P = dim (U + W) , jeigu P_{1} ∩ P_{2} ≠ ⊘ ir dim P = dim (U + W) + 1, jeigu P_{1} ∩ P_{2} = ⊘.

Teiginys 7. Dvieju̧ tiesiu̧ T_{1} = x_{0} + U ir T_{2} = y_{0} + W klasifikacija trimatėje erdvėje . Tegu P − mažiausia plokštuma, kurioje yra tiesės T_{1} ir T_{2}.

dim (U + W) T_{1} ∩ T_{2} dim P  prasmė
1  ≠ ⊘  1  tiesės sutampa
1  = ⊘  2  tiesės lygiagrečios
2  ≠ ⊘  2  tiesės kertasi taške
2  = ⊘  3  tiesės prasilenkiančios

1. Tegu V = R_{5} - aritmetinė erdvė, o P = x_{0} + t_{1}u_{1} + t_{2}u_{2} - plokštuma. x_{0} = (2, 3, −1, 1, 1) , u_{1} = (3, −1, 1, −1, 1) , u_{2} = (−1, 1, 1, 1 − 1) . Ar vektoriai v_{1} = (1, 6, 4, 4, −2) ir v_{2} = (1, 6, 5, 4, −2) priklauso P ?

2. Kokia plokštumos P = x_{0} + L ir tiesės x = x_{1} + tq_{1} padėtis? x_{0} = (1, 0, 0, 1) , L = [(5, 2, −3, 1) , (4, 1, −1, 0) , (−1, 2, −5, 3)] .

a) x_{1} = (3, 1, −4, 1) , q_{1} = (−1, 1, 2, 1) .

b) x_{1} = (3, 0, −4, 1) , q_{1} = (−1, 1, 2, 1) .

c) x_{1} = (−2, 0, −1, 2) , q_{1} = (1, 1, −2, 1) .

3. I̧rodykite, kad tiesės x = x_{1} + tq_{1}, x = x_{2} + tq_{2} kertasi. x_{1} = (9, 3, 6, 15, −3) , q_{1} = (7, −4, 11, 13, −5) ; x_{2} = (−7, 2, −6, −5, 3), q_{2} = (2, 9, −10, −6, 4) . Raskite sankirta̧. Raskite dvimatȩ plokštuma̧, kurioje yra šios tiesės.

4. Kokia plokštumu̧ P = x_{0} + t_{1}u_{1} + t_{2}u_{2} , P = y_{0} + t_{1}v_{1} + t_{2}v_{2} padėtis?

\begin{matrix}x_{0} = & (3, 1, 2, 0, 1) & (7, −4, 0, 3, 2) & (2, −3, 1, 5, 0) & (−3, −2, 1, −1, 2) \\ y_{0} = & (1, 0, 1, 1, 0) & (6, −5, −1, 2, 3) & (0, −1, 0, 4, 1) & (−1, 0, 3, 3, 8) \\ u_{1} = & (2, −6, 3, 1, −6) & (−1, 1, 1, 1, 1,) & (3, −2, 1, 0, 1) & (1, −1, 1, 1, 3) \\ u_{2} = & (−1, 1, −1, 0, 1) & (1, 1, −1, 1, 1,) & (1, 2, 4, 0, −2) & (1, 1, −3, −3, 1) \\ v_{1} = & (0, 5, −2, −1, 6) & (1, −1, 1, 1, 1,) & (−1, 5, −2, 0, 3) & (−1, 2, 1, 2, −2) \\ v_{2} = & (−1, 3, −1, −1, 2) & (1, 1, 1, −1, 1) & (6, 3, 4, 0, 3) & (0, 1, 2, 3, 1). \end{matrix}

5. Atlikite tiesiu̧ x_{1} + P ir x_{2} + Q klasifikacija̧ erdvėje R^{4}.

6. Atlikite plokštumu̧ x_{1} + P ir x_{2} + Q klasifikacija̧ erdvėje R^{5}.

7. Raskite nehomogeninȩ tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema̧, kurios sprendiniu̧ aibė yra plokštuma x_{0} + P :

a) x_{0} = (1, 2, 0, 2, 1) , P = [(5, −2, 6, 1, −4) , (1, −4, 0, 1, −6)] ;

b) x_{0} = (1, 2, 1, 2, 1) , P = [(2, 1, 3, 0, 1) , (−3, 3, −3, −1, 5)] ;

c) x_{0} = (4, 1, 10, −3, 5) , P = [(2, 1, 3, 0, 1) , (3, −3, 3, 1, −5)] ;

d) x_{0} = (−3, 2, 1, −4, 8) , P = [(1, −4, 0, 1, −6) , (5, −2, 6, 1, −4)] .