7 pratybos. Vektoriu̧ sistemos.

1. Apskaičiuokite polinomu̧, kuriu̧ laipsniai ne didesni už 5, erdvės R_{5}[x] vektoriu̧ sistemos ranga̧:

a) 2; 2 + x; 3 + 2x + x^{2}.

b) 3x^{2} + 2x + 1; 4x^{2} + 3x + 2; 3x^{2} + 2x + 3; x^{2} + x + 1; 4x^{2} + 3x + 4

2. Raskite antros eilės matricu̧ su realiaisiais koeficientais erdvės R_{2×2} vektoriu̧ sistemos ranga̧:

a) A_{1} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ); A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} ); A_{3} = ( \begin{matrix}−1 & −2 \\ −2 & −1 \end{matrix} ); A_{4} = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} ) .

b) A_{1} = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 3 & 1 \end{matrix} ); A_{2} = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −2 & 1 \end{matrix} ); A_{3} = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} ); A_{4} = ( \begin{matrix}2 & −1 \\ 3 & −1 \end{matrix} ) .

Uždaviniuose 8-9. nagrinėjama realiu̧ju̧ funkciju̧ su vienu kintamuoju vektorinė erdvė F (R) .

3. I̧rodykite, kad funkcijos f_{1}, f_{2}, ..., f_{n} ∈ F (R) yra tiesiškai nepriklausoma sistema tada ir tik tada, kai egzistuoja tokie skaičiai a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} , kad det (f_{i} (a_{j})) ≠ 0.

4. Vektorinėje erdvėje F (R) i̧rodykite funkciju̧ sistemos tiesinȩ nepriklausomybȩ.

1) sin x, cos x;

2) 1, sin x, cos x;

3) sin x, sin 2x, ..., sin nx;

4) 1, cos x, cos 2x, ..., cos nx;

5) 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx, čia n ≥ 2;

6) 1, sin x, sin^{2} x, ..., sin^{n} x, čia n ≥ 2;

7) 1, cos x, cos^{2} x, ..., cos^{n} x, čia n ≥ 2;

8) e^{a_{1}x}, e^{a_{2}x}, ..., e^{a_{n}x}, čia a_{i} ≠ a_{j} , kai i ≠ j ir n ≥ 2;

9) x^{a_{1}}, x^{a_{2}}, ..., x^{a_{n}}, čia a_{i} ≠ a_{j} , kai i ≠ j ir n ≥ 2.

Vektorinės erdvės bazė

5. Ar vektoriu̧ sistema A_{1} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 0 \end{matrix} ); A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} ); A_{3} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ); A_{4} =

( \begin{matrix}1 & 5 \\ 0 & 3 \end{matrix} ) sudaro antros eilės matricu̧ su realiaisiais koeficientais erdvės R_{2×2} bazȩ?

6. Ne aukštesnio kaip 5-ojo laipsnio polinomu̧ erdvėje R_{5}[t] raskite polinomo f (t) = t^{5} − 2t^{4} + t^{3} + 2t^{2} − t + 1 koordinates bazėse 1) 1, t, t^{2}, t^{3}, t^{4}, t^{5};

2) 1 + t, t + t^{2}, t^{2}, t^{2} + t^{3}, t^{4} + t^{2}, t^{5} + t^{2}.

7. Ar ^{4} \sqrt{3} ∈ [1, \sqrt{3}]_{Q} ?

8. Ar begalinės sekos x = (a_{1}, a_{2}, …) sudaro vektorinȩ erdvȩ S ? Jeigu taip, kokia šios erdvės dimensija?

9. F ⊂ S , a_{k} = a_{k−1} + a_{k−2}, k = 3, 4, ... . Raskite dim F .Raskite F bazȩ .

10. V ⊂ R_{n} : (a_{1}, ..., a_{n}) ∈ V ⟺ a_{1} + ⋯ + a_{n} = 0. Raskite dim V ir V bazȩ.

Vektoriu̧ sistemos papildymas iki bazės.

11. Vektorinėje erdvėje R_{4} raskite dvi bazes, turinčias vektorius (1, 1, 0, 0) ir (0, 0, 1, 1) .

12. Papildykite sistema̧ iki bazės.

1) (0, 0, 1, 1, 1) , (1, 2, 1, 2, 0) aritmetinėje erdvėje virš GF (3);

2) (3, 1, −1, 1) , (−1, 2, 3, −4) , (7, 7, 3, −5) aritmetinėje erdvėje R^{4};

3) (2, 1, 1) , (3, −2, 2) aritmetinėje erdvėje virš R^{3};

4) (3, 1, 0, 2) , (2, 1, 1, 3) aritmetinėje erdvėje virš GF (5).

13. Polinomu̧ sistemas papildykite iki bazės ervėje R_{5} [x] :

a) t^{5} + t^{4}, t^{5} − 3t^{3}, t^{5} + 2t^{2}, t^{5} − t.

b) t^{5} + t^{4} + t^{3}, t^{5} − t^{3}, t^{5} + t^{2}, t^{5} − 1.

14. Poerdviui L = ⟨(1, 3, 0, −1) , (2, 5, 1, 2) , (1, 2, 2, 3)⟩ ∈ R^{4} raskite du skirtingus papildinius L^{c}.

15. Erdvėje R_{n} [x] raskite poerdvio {f (x) | f (1) = 0} papildini̧.

16. Raskite homogeninės tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos fundamentala̧ja̧ sprendiniu̧ sistema̧:

a)\{ \begin{matrix}9x_{1} + 21x_{2} − 15x_{3} + 5x_{4} = 0 \\ 12x_{1} + 28x_{2} − 20x_{3} + 7x_{4} = 0 \end{matrix} b) \{ \begin{matrix}14x_{1} + 34x_{2} − 7x_{3} + 63x_{4} = 0 \\ −10x_{1} − 25x_{2} + 5x_{3} + 45x_{4} = 0 \\ 26x_{1} + 65x_{2} − 13x_{3} − 117x_{4} = 0 \end{matrix}

c) \{ \begin{matrix}2x_{1} − 5x_{2} + 4x_{3} + 3x_{4} = 0 \\ 3x_{1} − 4x_{2} + 7x_{3} + 5x_{4} = 0 \\ 4x_{1} − 9x_{2} + 8x_{3} + 5x_{4} = 0 \\ −3x_{1} + 2x_{2} − 5x_{3} + 3x_{4} = 0 \end{matrix} d) \{ \begin{matrix}2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} + x_{4} = 0 \\ 3x_{1} + 2x_{2} − x_{3} − 6x_{4} = 0 \\ 7x_{1} + 4x_{2} + 6x_{3} − 5x_{4} = 0 \\ x_{1} + 8x_{3} + 7x_{4} = 0 \end{matrix} .

17. Raskite tiesinȩ homogeninȩ lygčiu̧ sistema̧, turinčia̧ a) dvi, b) tris, c) keturias lygtis, kurios fundamentalioji sprendiniu̧ sistema yra:

1) ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ −2 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 13 \\ −1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 7 \\ −8 \\ 4 \\ −5 \end{matrix} ) . 2) ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−2 \\ −8 \\ −4 \\ 2 \end{matrix} ) . 3)( \begin{matrix}15 \\ −34 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ −5 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) . 4) ( \begin{matrix}2 \\ 17 \\ −37 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ −6 \\ 1 \end{matrix} ) . 5) ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 4 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} )

3