6 pratybos. Vektoriu̧ sistemos.

1. I̧rodykite, kad aritmetinės erdvės R^{4} vektoriu̧ sistema u_{1} = (2, 1, 0, 1) ; u_{2} = (1, −2, 1, 3) ; u_{3} = (3, 4, −1, 2) yra tiesiškai nepriklausoma ir apskaičiuokite šiu̧ vektoriu̧ tiesinȩ kombinacija̧ u = 2u_{1} − 3u_{2} + 4u_{3}.

2. Patikrinkite, ar aritmertinės erdvės R^{n} vektoriu̧ sistema u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} yra tiesiškai priklausoma :

a) u_{1} = (3, 4, −2) ; u_{2} = (2, −1, 3) ; u_{3} = (7, 2, 4) .

b) u_{1} = (1, 2, 1, 1) , u_{2} = (2, 3, 1, 0) ; u_{3} = (3, 1, 1, −2) ; u_{4} = (4, 2, −1, −6) .

3. Apskaičiuokite aritmertinės erdvės R^{n} vektoriu̧ sistemos u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} ranga̧:

a) u_{1} = (1, 1, 1) ; u_{2} = (1, 2, 3) ; u_{3} = (−1, 1, −2) .

b) u_{1} = (2, 1, 1, −1) ; u_{2} = (2, 2, 3, 4) ; u_{3} = (−1, −2, −1, −3) ; u_{4} = (−1, −1, 1, 2) Matricos rangas

4. Apskaičiuokite matricos A ranga̧ elementariu̧ju̧ pertvarkiu̧ būdu:

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 & −1 \\ 3 & −1 & 4 & −1 \\ 2 & 1 & −1 & 2 \\ 0 & 3 & −5 & 4 \end{matrix} ); A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 & −1 \\ 2 & −1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & −1 & 0 \\ −1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} )

Vektorinės erdvės bazė

5. Ar vektoriu̧ sistema u_{1} = (1, −1, 2, 1) ; u_{2} = (2, 3, 1, 4) ; u_{3} = (5, −1, −1, 2) , u_{4} = (3, 2, 2, 1) sudaro aritmetinė erdvės R^{4} bazȩ?

6. I̧rodykite, kad aritmertinės erdvės R^{4} vektoriu̧ sistema u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} sudaro bazȩ ir raskite vektoriaus u koordinates toje bazėje:

u_{1} = (3, 5, 1, 2) ; u_{2} = (−1, 2, 2, 3) ; u_{3} = (2, 1, 3, 4) ; u_{4} = (−2, −3, 1, −5) , u = (−2, 3, 1, −4) .

u_{1} = (1, 2, −1, −2) ; u_{2} = (2, 3, 0, −1) ; u_{3} = (1, 2, 1, 4) ; u_{4} = (1, 3, −1, 0) ; u = (7, 14, −1, 2) .

7. Raskite vektoriu̧ u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} tiesinio apvalkalo ⟨u_{1}, u_{2}, ..., u_{m}⟩ bazȩ ir dimensija̧, kai

a) u_{1} = (1, 4, −7, 3) ; u_{2} = (−3, 10, −9, −7) ; u_{3} = (2, −3, 1, 5) ; u_{4} = (0, 11, −15, 1) .

b) u_{1} = (0, 1, 1, 1) , u_{2} = (1, 1, 1, 2) ; u_{3} = (−2, 0, 1, 1) ; u_{4} = (−1, 3, 2, −1) ; u_{5} = (1, 1, 0, −1) .

8. Ar ^{4} \sqrt{3} ∈ [1, \sqrt{3}]_{Q} ? Vektoriu̧ sistemos papildymas iki bazės.

9. Vektorinėje erdvėje R_{4} raskite dvi bazes, turinčias vektorius (1, 1, 0, 0) ir (0, 0, 1, 1) .

10. Papildykite sistema̧ iki bazės.

1) (0, 0, 1, 1, 1) , (1, 2, 1, 2, 0) aritmetinėje erdvėje virš GF (3);

2) (3, 1, −1, 1) , (−1, 2, 3, −4) , (7, 7, 3, −5) aritmetinėje erdvėje R^{4};

3) (2, 1, 1) , (3, −2, 2) aritmetinėje erdvėje virš R^{3};

4) (3, 1, 0, 2) , (2, 1, 1, 3) aritmetinėje erdvėje virš GF (5). Baziu̧ keitimo matrica

11. Raskite aritmetinės erdvės R^{n} bazės u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} keitimo baze u′_{1}, u′_{2}, ..., u′_{n} matrica̧:

a) \begin{matrix}u_{1} = (1, 2, 1) , & u′_{1} = (3, −1, −1) , \\ u_{2} = (−2, 3, 2) , & u′_{2} = (0, −1, −4) , \\ u_{3} = (3, 2, −1) , & u′_{3} = (5, 5, −3) . \end{matrix}

b) \begin{matrix}u_{1} = (1, 2, 1) , & u′_{1} = (3, 5, 8) , \\ u_{2} = (2, 3, 3) , & u′_{2} = (5, 14, 13) , \\ u_{3} = (3, 8, 2) , & u′_{3} = (1, 9, 2) . \end{matrix}

12. Žinodami aritmetinės erdvės R^{n} vektoriaus u koordinates bazėje u_{1}, u_{2}, u_{3} apskaičiuokite jo koordinates bazėje u′_{1}, u′_{2}, u′_{3}

a) \begin{matrix}u = (1, 2, −1) , & u′_{1} = 2u_{1} − u_{2} + 2u_{3}, \\ & u′_{2} = u_{1} + u_{3}, \\ & u′_{3} = u_{1} − 2u_{2} + 2u_{3}. \end{matrix}

b) \begin{matrix}u = (0, 4, −3) , & u′_{1} = 2u_{1} − u_{2} + u_{3}, \\ & u′_{2} = u_{1} + −2u_{2} + u_{3}, \\ & u′_{3} = 3u_{1} + u_{2} + 2u_{3}. \end{matrix}