4 pratybos. Didžiausias bendras daliklis.Polinomu̧ bekvadratė faktorizcija. Veiksmai K [x] / (m (x)) .

Bekvadratės faktorizacijos algoritmas. f_{0} (x) := f (x) , skaičiuojame f′_{0} (x) . f_{1} (x) :=BDD(f_{0}, f′_{0}) , skaičiuojame f′_{1} (x) . f_{2} (x) :=BDD(f_{1}, f′_{1}) , skaičiuojame f′_{2} (x) . f_{3} (x) :=BDD(f_{2}, f′_{2}) , skaičiuojame f′_{3} (x) ir t.t.

g_{≥1} (x) := \frac{f_{0} (x)}{f_{1} (x)},

g_{≥2} (x) := \frac{f_{1} (x)}{f_{2} (x)},

g_{≥3} (x) := \frac{f_{2} (x)}{f_{3} (x)}, ir t.t.

F_{1} (x) := \frac{g_{≥1} (x)}{g_{≥2} (x)},

F_{2} (x) := \frac{g_{≥2} (x)}{g_{≥3} (x)},

F_{3} (x) := \frac{g_{≥3} (x)}{g_{≥4} (x)}, ir t.t.

Taigi, f (x) = a_{n}F_{1} (x) F_{2}^{2} (x) ⋯ F_{k}^{k} (x) , čia F_{i} - bekvadračiai polinomai.

Tam kad kūne K [x] / (m (x)) , čia polinomas m (x) - neredukuojamas, galėtume rasti nenuliniam polinomui f (x) atvirkštini̧ elementa̧ reikia polinomu̧ porai f (x) ir m (x) rasti tokius polinomus q (x) ir r (x) , kad f (x) q (x) + m (x) r (x) = 1. Tada q (x) = f^{−1} (x) mod m (x) .

1. Euklido algoritmo pagalba raskite didžiausia̧ bendra̧ dalikli̧ d (x) .Parašykite d (x) tiesinȩ išraiška̧.

1) d (x) =DBD(x^{8} − 1, x^{6} − 1) ∈ Q [x] .

2) d (x) =DBD(x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + x + 1, x^{3} − 1) ∈ Q [x] .

3) d (x) =DBD(2x^{4} − x^{3} + x^{2} + 3x + 1, 2x^{3} − 3x^{2} + 2x + 2) ∈ Q [x] .

4) d (x) =DBD(x^{7} + 2x^{5} + 2x^{2} − x + 2, x^{6} − 2x^{5} − x^{4} + x^{2} + 2x + 3) ∈ Q [x] .

5) d (x) =DBD(x^{7} + 1, x^{5} + x^{3} + x + 1) ∈ Z_{2} [x] .

6) d (x) =DBD(x^{5} + x + 1, x^{6} + x^{5} + x^{4} + 1) ∈ Z_{2} [x] .

7) d (x) =DBD(x^{5} + x + 1, x^{6} + x^{5} + x^{4} + 1) ∈ Z_{2} [x] .

8) d (x) =DBD(x^{8} + 2x^{5} + x^{3} + x^{2} + 1, 2x^{6} + x^{5} + 2x^{3} + 2x^{2} + 2) ∈ Z_{3} [x] .

2. Ar polinomai su racionalaisiais koeficientais 2x^{3} −2x^{2} −3x+1 ir 2x^{2} −x−2 yra tarpusavyje pirminiai?

3. Atlikite bekvadratȩ polinomo faktorizacija̧.

1) 4x^{5} − 15x^{3} + 5x^{2} + 15x − 9;

2) 8x^{5} + 4x^{4} − 22x^{3} − 29x^{2} − 13x − 2;

3) 2x^{6} + 6x^{5} + 6x^{4} + x^{3} − 3x^{2} − 3x − 1;

4) x^{5} − 6x^{4} + 16x^{3} − 24x^{2} + 20x − 8;

5) 2x^{5} + 3x^{4} + 4x^{3} + x^{2} − 1;

6) x^{7} − 3x^{6} + 5x^{5} − 7x^{4} + 7x^{3} − 5x^{2} + 3x − 1.

4. 1) I̧rodykite, kad polinomas x^{2} + 1 yra neredukuojamas virš kūno Z_{3}.

2) Parašykite visus kūno Z_{3} [x] / (x^{2} + 1) elementus.

3) Parašykite daugybos lentelȩ kūne Z_{3} [x] / (x^{2} + 1) .

4) Parodykite, kad visi nenuliniai kūno Z_{3} [x] / (x^{2} + 1) elementai yra elemento [x + 1] laipsniai, bet ne visi kūno Z_{3} [x] / (x^{2} + 1) elementai yra elemento [x] laipsniai.

5. Atlikite veiksmus faktoržiede Q [x] / (m (x)) .

1) (x^{2} + x + 1)^{2} , m (x) = x^{3} − 1.

2) \frac{x + 2}{x − 2} , m (x) = x^{3} + x + 1 .

3) \frac{1}{x^{2} + x + 1} , m (x) = x^{3} − 2 .

6. Raskite (x + 1)^{−1} faktoržiede Z_{2} [x] / (x^{3} + x + 1) .

7. Raskite x^{2} + x + 1 atvirkšktini̧ elementa̧

1) faktoržiede Q [x] / (x^{3} − 2) ,

2) faktoržiede Z_{3} [x] / (x^{3} + 2x^{2} + x + 1) .

8. Faktoržiede Z_{3} [x] / (x^{3} + x + 1) raskite x^{−1} ir (x + 1)^{−1} ir panaudojȩ tai raskite (x^{2} + x)^{−1} .