1. Polinomu̧ bekvadratė faktorizcija. Veiksmai K [x] / (m (x)) .

Bekvadratės faktorizacijos algoritmas.

f_{0} (x) := f (x) , skaičiuojame f′_{0} (x) . f_{1} (x) :=BDD(f_{0}, f′_{0}) , skaičiuojame f′_{1} (x) . f_{2} (x) :=BDD(f_{1}, f′_{1}) , skaičiuojame f′_{2} (x) . f_{3} (x) :=BDD(f_{2}, f′_{2}) , skaičiuojame f′_{3} (x) ir t.t.

g_{≥1} (x) := \frac{f_{0} (x)}{f_{1} (x)},

g_{≥2} (x) := \frac{f_{1} (x)}{f_{2} (x)},

g_{≥3} (x) := \frac{f_{2} (x)}{f_{3} (x)}, ir t.t.

F_{1} (x) := \frac{g_{≥1} (x)}{g_{≥2} (x)},

F_{2} (x) := \frac{g_{≥2} (x)}{g_{≥3} (x)},

F_{3} (x) := \frac{g_{≥3} (x)}{g_{≥4} (x)}, ir t.t.

Taigi, f (x) = a_{n}F_{1} (x) F_{2}^{2} (x) ⋯ F_{k}^{k} (x) , čia F_{i} - bekvadračiai polinomai.

Tam kad kūne K [x] / (m (x)) , čia polinomas m (x) - neredukuojamas, galėtume rasti nenuliniam polinomui f (x) atvirkštini̧ elementa̧ reikia polinomu̧ porai f (x) ir m (x) rasti tokius polinomus q (x) ir r (x) , kad f (x) q (x) + m (x) r (x) = 1. Tada q (x) = f^{−1} (x) mod m (x) .

1. Išskaidykite polinoma̧ dvinario x − x_{0} laipsniais.

1) 2x^{4} + 3x^{3} − 6x + 2 , x_{0} = 1 .

2) x^{6} + 9x^{5} + 7x^{4} − 2x^{3} − 11x^{2} + 7x + 93 , x_{0} = −2 .

3) 2x^{7} + x^{5} − 3x^{3} + 4x − 7 , x_{0} = 2 .

4) 3x^{6} + 6x^{5} + x^{4} − 3x^{3} + 15x^{2} + 30x − 7 , x_{0} = −2 .

5) 6x^{5} − 4x^{4} + 3x2 + 5x + 7 , x_{0} = \frac{2}{3} .

6) x^{5} + 3x^{4} + 4x^{3} − 6x^{2} + 5x − 10 , x_{0} = −\frac{3}{2} .

2. Atlikite bekvadratȩ polinomo faktorizacija̧.

1) 4x^{5} − 15x^{3} + 5x^{2} + 15x − 9; 2) 8x^{5} + 4x^{4} − 22x^{3} − 29x^{2} − 13x − 2;

3) 2x^{6} + 6x^{5} + 6x^{4} + x^{3} − 3x^{2} − 3x − 1;

4) x^{5} − 6x^{4} + 16x^{3} − 24x^{2} + 20x − 8;

5) 2x^{5} + 3x^{4} + 4x^{3} + x^{2} − 1;

6) x^{7} − 3x^{6} + 5x^{5} − 7x^{4} + 7x^{3} − 5x^{2} + 3x − 1.

3. Atlikite veiksmus faktoržiede Q [x] / (m (x)) .

1) (x^{2} + x + 1)^{2} , m (x) = x^{3} − 1.

2) \frac{x + 2}{x − 2} , m (x) = x^{3} + x + 1 .

3) \frac{1}{x^{2} + x + 1} , m (x) = x^{3} − 2 .

4. Raskite (x + 1)^{−1} faktoržiede Z_{2} [x] / (x^{3} + x + 1) .

5. Raskite x^{2} + x + 1 atvirkšktini̧ elementa̧

1) faktoržiede Q [x] / (x^{3} − 2) ,

2) faktoržiede Z_{3} [x] / (x^{3} + 2x^{2} + x + 1) .

6. Faktoržiede Z_{3} [x] / (x^{3} + x + 1) raskite x^{−1} ir (x + 1)^{−1} ir panaudojȩ tai raskite (x^{2} + x)^{−1} .

7. Faktorizuokite x^{4} + x + 1 virš Z_{4} [x] / (x^{4} + x + 1)