1. Polinomu̧ faktorizacija.

Teorema(Redukcinis neredukuojamo polinomo požymis). Tegu p - pirminis skaičius. Tegu f (x) = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0} ∈ Z [x] , a_{n} ≢ 0 (mod p) ir polinomo f redukcija f̄mod p yra neredukuojamas polinomas virš Z_{p}. Tada

polinomas f neredukuojamas virš Q.

Teorema(EISENSTEIN’o neredukuojamo polinomo požymis).Tegu p - pirminis skaičius, o

f (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0} ∈ Z [x] , a_{n} ≢ 0 (mod p) , a_{i} ≢ 0 (mod p) , kai i = 0, ..., n − 1, a_{0} ≢ 0 (mod p^{2}) . Tada f yra neredukuojamas virš Q.

1. Euklido algoritmo pagalba raskite d (x) =DBD(x^{8} − 1, x^{6} − 1) ∈ Q [x] . Parašykite d (x) tiesinȩ išraiška̧.

2. Ar polinomai su racionalaisiais koeficientais 2x^{3} −2x^{2} −3x+1 ir 2x^{2} −x−2 yra tarpusavyje pirminiai?

3. Euklido algoritmo pagalba raskite d (x) =DBD(x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + x + 1, x^{3} − 1) ∈ Q [x] . Parašykite d (x) tiesinȩ

išraiška̧.

4. Euklido algoritmo pagalba raskite d (x) =DBD(2x^{4} − x^{3} + x^{2} + 3x + 1, 2x^{3} − 3x^{2} + 2x + 2) ∈ Q [x] . Parašykite

d (x) tiesinȩ išraiška̧.

5. Ar polinomai yra neredukuojami virš Q :

3x^{5} + 18x^{2} + 24x + 6;
7x^{3} + 12x^{2} + 3x + 45;
2x^{10} + 25x^{3} + 10x^{2} − 30.

6. Raskite polinomu̧ kanoninius skaidinius virš nurodytu̧ kūnu̧;

1) x^{5} − 10x^{4} + 24x^{3} + 9x^{2} − 33x − 12 virš Q;

2) x^{5} − 2x^{4} − 2x^{3} + 12x^{2} − 15x − 2 virš Q;

3) x^{6} + 2x^{5} − 12x^{4} − 24x^{3} + 36x^{2} + 60x − 24;

4) x^{6} + x^{5} − 12x^{4} − 12x^{3} + 36x^{2} + 24x − 12;

5) x^{4} + x virš Z_{5};

6) x^{3} + 2x^{2} + 3 virš Z_{5};

7) 2x^{3} + x^{2} + 2x + 2 virš Z_{5}.

7. Euklido algoritmo pagalba raskite d (x) =DBD(x^{7} + 2x^{5} + 2x^{2} − x + 2, x^{6} − 2x^{5} − x^{4} + x^{2} + 2x + 3) ∈ Q [x] . Parašykite d (x) tiesinȩ išraiška̧.

8. Euklido algoritmo pagalba raskite d (x) =DBD(x^{7} + 1, x^{5} + x^{3} + x + 1) ∈ Z_{2} [x] . Parašykite d (x) tiesinȩ išraiška̧.

9. Euklido algoritmo pagalba raskite d (x) =DBD(x^{5} + x + 1, x^{6} + x^{5} + x^{4} + 1) ∈ Z_{2} [x] . Parašykite d (x) tiesinȩ išraiška̧.

10. Euklido algoritmo pagalba raskite d (x) =DBD(x^{8} + 2x^{5} + x^{3} + x^{2} + 1, 2x^{6} + x^{5} + 2x^{3} + 2x^{2} + 2) ∈ Z_{3} [x] . Parašykite d (x) tiesinȩ išraiška̧.

11. Parašykite visus neredukuojamus 2-ojo ir 3-ojo laipsnio polinomus virš baigtiniu̧ kūnu̧ GF(p) , p = 2, 3, 4, 5.