1. Polinomai .

Aritmetiniai veiksmai su polinomais redukcijos pagalba. Pavyzdys.

Suskaičiuosime p (x) = p_{1} (x) · p_{2} (x), čia p_{1} (x) = 5x + 2, p_{2} (x) = 8x^{2} + 3. Polinomo p (x) laipsnis lygus 3. Polinomo p (x) koeficientai yra intervale [0, 40]. Todėl parenkame pirminius

taip , kad 3 ·5 · 7 > 40. Pilnoji Liekanu̧ Sistema yra {0, 1, 2, ..., 104 = 3 · 5 · 7 − 1} (nes visi polinomu̧ koeficientai yra teigiami)

r_{3} [p_{1} (x)] ·r_{3} [p_{2} (x)] = (2x + 2) (2x^{2}) = x^{3}+x^{2} mod 3 . r_{5} [p_{1} (x)] ·r_{5} [p_{2} (x)] = 2 · (3x^{2} + 3) = x^{2}+1 mod 5 . r_{7} [p_{1} (x)] ·r_{7} [p_{2} (x)] = (5x + 2) (x^{2} + 3) = 5x^{3}+2x^{2}+x + 6 mod 7 . Tegu polinomas p (x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d . Tada

\{ \begin{matrix}a ≡ 1 (mod 3) \\ a ≡ 0 (mod 5) \\ a ≡ 5 (mod 7) \end{matrix} , išsprendus a = 40;

\{ \begin{matrix}b ≡ 1 (mod 3) \\ b ≡ 1 (mod 5) \\ b ≡ 2 (mod 7) \end{matrix} , išsprendus b = 16;

\{ \begin{matrix}c ≡ 0 (mod 3) \\ c ≡ 0 (mod 5) \\ c ≡ 1 (mod 7) \end{matrix} , išsprendus c = 15;

\{ \begin{matrix}d ≡ 0 (mod 3) \\ d ≡ 1 (mod 5) \\ d ≡ 6 (mod 7) \end{matrix} , išsprendus d = 6.

1. Duotas polinomas f (x) ∈ K [x] ir c ∈ K . Raskite polinoma̧ q (x) ∈ K[x] ir elementa̧ r ∈ K su kuriais teisinga lygybė

f (x) = (x − c) q (x) + r .

1) f (x) = 5x^{5} − 4x^{4} + 3x^{2} − 3 , K = Q , c = −2; \frac{3}{2} .

2) f (x) = x^{6} − 4x^{5} + 3x^{2} + 6x − 7 , K = Q , c = 2; −\frac{3}{2} .

3) f (x) = 2x^{6} + 2x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 , K = Z_{3} , c = 1; 2 .

4) f (x) = 3x^{7} + 5x^{6} + 4x^{4} + 3x^{2} + 4x + 5 , K = Z_{7} , c = 2; 4 .

2. HORNERio schemos pagalba raskite racionalia̧sias polinomo šaknis.

1) f (x) = 5x^{5} − 7x^{4} − 6x^{3} − 5x^{2} + 7x + 6 .

2) f (x) = 3x^{4} − 4x^{3} + 10x^{2} − 33x + 10 .

3. Redukcijos pagalba atlikite aritmetinius veiksmus su polinomais.

1) (5x + 2) (8x^{2} + 3) .

2) (5x − 2) (8x^{2} + 3) .

3) (3x + 5) (4x^{2} − 6x + 2) + (5x^{2} + 7x + 3)^{2} .

4) (8x^{3} + 5x + 3) (2x + 6) + (7x^{2} + 4x − 5)^{2} .