1. Lyginiu̧ ir lyginiu̧ sistemu̧ sprendimas.

Trupmenu̧ modulinė aritmetika.

Norint suskaičiuoti paprastu̧ju̧ trupmenu̧ aritmetinȩ kombinacija̧ parenkamas pirminis skaičius p taip, kad jis būtu̧ didesnis už rezultato vardiklio ir skaitiklio absoliučias reikšmes. Visi modulinės aritmetikos rezultatai vykdomi tokioje Pilnoje Liekanu̧ Sistemoje mod p , kad rezultato vardiklio ir skaitiklio absoliučios reikšmės būtu̧ joje.

Pavyzdys.

x = −4 \frac{1}{5}+2 \frac{1}{3}= −\frac{21}{5}+\frac{7}{3}= (−21) ·5^{−1}+7 · 3^{−1}=

Pirminis skaičius p = 59. o Pilnoji Liekanu̧ Sistema {−28, −27, ..., 27, 28} 5^{−1} ≡ 12 (mod 59) , 3^{−1} ≡ 20 (mod 59) . =(−21) · 12 + 7 · 20 = 6 (mod 59) a = x · 15 = 6 · 15 = 96 = −28 (mod 59) .

x = −\frac{28}{15}.

1. Išsprȩskite lyginius.

1) 12x ≡ 5 (mod 5) .

2) 11x ≡ 10 (mod 16) .

3) 13x ≡ 65 (mod 78) .

4) 8x ≡ 12 (mod 20) .

5) 91x ≡ 21 (mod 56) .

6) 18x ≡ 16 (mod 22) .

7) 33x ≡ 9 (mod 39) .

8) 52x ≡ 28 (mod 60) .

9) 74x ≡ 32 (mod 94) .

10) 34 ≡ 24 (mod 38) .

11) 60x ≡ 33 (mod 84) .

12) 54x ≡ 26 (mod 62) .

2. Išsprȩskite lyginiu̧ sistemas.

1) \{ \begin{matrix}2x ≡ −1 (mod 3) \\ 3x ≡ 2 (mod 5) \end{matrix} .

2) \{ \begin{matrix}3x ≡ 6 (mod 9) \\ 5x ≡ 1 (mod 8) \end{matrix} .

3) \{ \begin{matrix}11x ≡ 2 (mod 5) \\ −x ≡ 3 (mod 6) \end{matrix} .

4) \{ \begin{matrix}12x ≡ 15 (mod 17) \\ 10x ≡ 4 (mod 19) \\ 21x ≡ 16 (mod 23) \end{matrix} .

5) \{ \begin{matrix}5x ≡ 1 (mod 23) \\ 15x ≡ 11 (mod 43) \\ 25x ≡ 21 (mod 63) \end{matrix} .

6) \{ \begin{matrix}5x ≡ 1 (mod 41) \\ 5x ≡ 1 (mod 51) \\ 5x ≡ 1 (mod 61) \end{matrix} .

7) \{ \begin{matrix}3x ≡ 1 (mod 11) \\ 5x ≡ 2 (mod 13) \\ 7x ≡ 3 (mod 15) \end{matrix} .

3. Pasinaudoje EULERio teorema apskaičiuokite.

1) 7^{9999} (mod 1000) .

2) 11^{9999} (mod 1000) .

3) 13^{9999} (mod 1000) .

4. Modulinė aritmetika su parastomis trupmenomis.

1) \frac{1}{3} − \frac{4}{3}.

2) −4\frac{1}{5} + 2\frac{1}{3}.

3) −3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{3}.