1. Lyginiai.

1. Nustatykite, kurie iš lyginiu̧ teisingi ∀n ∈ N : 1) n^{3} ≡ n(mod 3). taip

2) n^{3} + 3n ≡ 2(mod 5). ne

3) n^{4} ≡ 1(mod 5). ne

4) 2m^{3} − 3m^{2} = 1 (mod 10) . taip

2. I̧rodykite:

1) a − 5b ≡ 0(mod 19) ⟹ 10a + 7b ≡ 0(mod 19).

2) 3^{n} ≡ −1(mod 10) ⟹ 3^{n+4} ≡ −1(mod 10).

3) (m + n)^{p} ≡ m^{p} + n^{p}(mod p) , su pirminiu p ir su visais sveikaisiais m ir n .

3. Patikrinkite, ar šie skaičiai sudaro Pilna̧ja̧ Liekanu̧ Sistema̧.

1) -8253, -178, 170, 393, 165, 2000, 847,1668 (mod 8) .

2) 90, 46, 38, -87, 4, -4, 996, 34, -892 (mod 9) .

4. Patikrinkite, ar šie skaičiai sudaro Redukuota̧ja̧ Liekanu̧ Sistema̧.

1) 1585, -247, -133, -197 (mod 8, mod 12) .

2) -48, 16, 24, -3, 40, 55 (mod 7, mod 16) .

5.Raskite skaičiaus N = (1^{2} + 1) (2^{2} + 1) (3^{2} + 1) ⋯ (1000^{2} + 1) dalybos iš 3 liekana̧.

6.Pasinaudojȩ lyginiu̧ savybėmis, raskite liekana̧, kuria̧ gautumėte aritmetinȩ išraiška̧ dalydami iš skaičiaus m:

1)aritmetinė išraiška: a^{2}b − c^{3} + abcd. Čia a, b, c, d - sveikieji skaičiai. 2)aritmetinė išraiška: a^{5}bc + c^{2}d^{3}.Čia a, b, c, d - sveikieji skaičiai.

7. Dalumo požymiai.Tegu n = (a_{k}a_{k−1}...a_{2}a_{1}a_{0})_{10} = a_{k}10^{k} + ⋯ + a_{0}.

Q_{s} (n) = ∑_{i=0}^{∞} (a_{is+s−1}...a_{is+1}a_{is}) ,

tada n = ∑_{i=0}^{∞} (a_{is+s−1}...a_{is+1}a_{is}) · 10^{is}

Qs^{′} (n) = ∑_{i=0}^{∞} (−1)^{i} (a_{is+s−1}...a_{is+1}a_{is}) .

1) I̧rodyti: Su visais n ∈ N, s ∈ N teisinga n ≡ Q_{s} (n) (mod 10^{s} − 1) ,

n ≡ Qs^{′} (n) (mod 10^{s} + 1) .

2) Raskite dalumo požymius iš

i) 9,99,999; 11,101,1001. ii) 7,13,37. iii) 17,19.

8. Laipsnio a^{n} (mod m) skaičiavimas, užrašant laipsnio rodikli̧ n =∑_{i} α_{i}2^{i} .

1) Apskaičiuokite 7^{39}(mod 41).