1. Metriniu̧ erdviu̧ geometrija.

1. Raskite atstuma̧ nuo vektoriaus x iki poerdvio, apibrėžto lygtimis.

(i) x = (2, 4, 0, −1) ; \{ \begin{matrix}2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \\ 2x_{1} + 4x_{2} + 2x_{3} + 4x_{4} = 0 \end{matrix} .

(ii) x = (3, 3, −4, 2) ; \{ \begin{matrix}x_{1} + 2x_{2} + x_{3} − x_{4} = 0 \\ x_{1} + 3x_{2} + x_{3} − 3x_{4} = 0 \end{matrix} .

(iii) x = (3.3. − 1, 1, −1) ; 2x_{1} − 2x_{2} + 3x_{3} − 2x_{4} + 2x_{5} = 0 . (iv) x = (3, 3, −1, 1, −1) ; x_{1} − 3x_{2} + 3x_{4} − x_{5} = 0 .

2. I̧rodykite, kad atstumo nuo vektoriaus x iki Euklido erdvės poerdvio su baze e_{1}, ..., e_{n} kvadratas yra lygus

\begin{matrix}G & (e_{1}, ..., e_{k}, x) \\ G & (e_{1}, ..., e_{k}) \end{matrix} .

3. I̧rodykite, kad sistemos Gramo matrica G yra neišsigimusi tada ir tik tada, kada sistema yra bazė.

4. I̧rodykite, kad det G Gramo-Šmidto ortogonalizacijos proceso metu nekinta.

5. I̧rodykite, kad det G(x_{1}, ..., x_{k}) ≤ ∥x_{1}∥^{2} ⋯ ∥x_{k}∥^{2} . Lygybė galima tik tada, kai (x_{i}, x_{j}) = 0, i ≠ j ; arba, kai x_{i} = 0 su kuriuo nors i.

6. I̧rodyti, kad n -mačio stačiojo gretasienio i̧strižainės kvadratas lygus briaunu̧, išeinančiu̧ iš vienos viršūnės kvadratu̧ sumai.

7. Raskite n - mačio kubo i̧strižainiu̧, ortogonaliu̧ duotai i̧strižainei, skaičiu̧.

8. Raskite n - mačio kubo, kurio kraštinė a, i̧strižainės ilgi̧.

9. Raskite kampus tarp n -mačio kubo i̧strižainiu̧ ir briaunu̧.

10. Raskite apibrėžto apie n− mati̧ kuba̧, kurio briauna a, rutulio spinduli̧ R ir priklausomai nuo n išsprȩskite nelygybȩ R< a .

11. Apskaičiuokite gretasienio tūri̧, kai kraštinės lygios:

(i) \begin{matrix}(1, −1, 1, −1) \\ (1, 1, 1, 1) \\ (1, 0, −1, 0) \\ (0, 1, 0, −1) \end{matrix} (ii) \begin{matrix}(1, 1, 1, 1) \\ (1, −1, −1, 1) \\ (2, 1, 1, 3) \\ (0, 1, −1, 0) \end{matrix}

(iii) \begin{matrix}(1, 1, 1, 2, 1) \\ (1, 0, 0, 1, −2) \\ (2, 1, −1, 0, 2) \\ (0, 7, 3, −4, −2) \\ (39, −37, 51, −29, 5) \end{matrix} (iv) \begin{matrix}(1, 0, 0, 2, 5) \\ (0, 1, 0, 3, 4) \\ (0, 0, 1, 4, 7) \\ (2, −3, 4, 11, 12) \\ (0, 0, 0, 0, 1) \end{matrix} .

12. I̧rodykite, kad gretasienio tūriams galioja

V (a_{1}, ..., a_{k}, b_{1}, ..., b_{l}) ≤ V (a_{1}, ..., a_{k}) · V (b_{1}, ..., b_{l}) .

Lygybė galioja tik tada, kai (a_{i}, b_{j}) = 0 su visais i, j.

13. Apskaičiuokite kampa̧ tarp vektoriaus x ir poerdvio L .

(i) x = (2, 2, 1, 1) ; L = ⟨(3, 4, −4, −1) , (0, 1, −1, 2)⟩ . (ii) x = (1, 0, 3, 0) ; L = ⟨(5, 3, 4, −3) , (1, 1, 4, 5) , (2, −1, 1, 2)⟩ . (iii) x = (−3, 15, 1, −5) ; L = ⟨(2, 3, −4, −6) , (1, 8, −2, −16) , (1, −5, −2, 10)⟩ . (iv) x = (3, 1, \sqrt{2}, −2) ; L = ⟨(2, −1, 2, 1) , (−1, 2, −2, 1) , (−1, 1, −1, 0)⟩ .

14. I̧rodykite, kad jeigu bet kurie du iš k skirtingi vektoriai sudaro kampa̧ \frac{π}{3}, tai k ≤ dim V.

Apibrėžimas. Kampas tarp vektoriaus v ir poerdvio L yra kampas tarp v ir jo ortogoalios projekcijos i̧ L.

15. Raskite kampa̧ tarp poerdviu̧: ⟨(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0)⟩ ir ⟨(1, 1, 1, 1) , (1, −1, 1, −1)⟩ . Erdvėje M_{n} apibrėžta skaliarinė sandauga: (f, g) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + ⋯ + a_{n}b_{n}.

16. Tegu ervėje M_{n} duoti polinomai f_{1} (t) = 3t^{2} +2t+1 , f_{2} (t) = −t^{2} +2t+1 , f_{3} (t) = 3t^{2}+2t+5 , f_{4} (t) = 3t^{2}+5t = 2. Rakite polinoma̧ f_{0} (t) , deg f_{0} ≤ 2 , kuris būu̧ vienodai nutolȩ nuo f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}. Apskaičiuokite ši̧ atstuma̧. I̧rodykite, kad polinomas f_{0} (t) + c_{3}t^{3} + ⋯ + c_{n}t^{n} irgi vienodai nutolȩs nuo f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}. Raskite ši̧ atstuma̧.

17. Apskaičiuokite atstuma̧ tarp t^{n} ir M_{n−1}.

18. Apskaičiuokite atstuma̧ tarp t^{n} + a_{n−1}t^{n−1} + ⋯ + a_{1}t + a_{0} ir M_{n−1}.

19. Apskaičiuokite atstuma̧ tarp at^{n} + a_{n−1}t^{n−1} + ⋯ + a_{1}t + a_{0} ir M_{n−1}.

20. Tegu L = {f ∈ M_{n}, f (1) = 0} . I̧rodykite, kad atstumas tarp bet kurio

g ∈ M_{n} ir L yra \frac{g (1)}{\sqrt{n + 1}}.

21. Tegu v ∈ E fiksuotas vektorius, o L = ⟨v⟩^{⊥} . I̧rodykite, kad atstumas tarp

vektoriaus x ir L yra lygus \frac{|(x, v)|}{∥v∥}.

22. I̧rodykite, kad kampu̧, kuriuos sudaro vektorius v su poerdviu L ir su L^{⊥}, suma lygi \frac{π}{2} .