1. Euklido ir unitariosios erdvės.

1. Jeigu (u, v)_{1} ir (u, v)_{2} yra Euklido erdvės skirtingos skaliarinės daugybos, tai skaliarine daugyba bus ir a (u, v)_{1}+b (u, v)_{2} , kai a, b− neneigiamieji, kartu nelygūs nuliui skaičiai. I̧rodykite.

2. Ortogonalizuokite aritmetinės erdvės R^{n} vektoriu̧ sistema̧:

u_{1} = (1, 2, 1) ,
u_{2} = (−3, −4, −1) ,
u_{3} = (−4, −7, 0) .

3. Ortogonalizavimo procesu sudarykite aritmetinės erdvės R^{n} vektoriu̧ u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} tiesinio apvalkalo ortogonalia̧ja̧ bazȩ:

u_{1} = (2, 3, −4) ,
u_{2} = (−3, −1, 5) ,
u_{3} = (8, −13, 16) .

4. Papildykite vektoriu̧ sistema̧ u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} iki aritmetinės erdvės R^{n} ortonormuotosios bazės:

\begin{matrix}u_{1} = \frac{1}{3} (1, −2, 2) , \\ u_{2} = \frac{1}{3} (−2, 1, 2) . \end{matrix}

5. Raskite aritmetinės erdvės R^{4} vektoriu̧ u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} tiesinio apvalkalo ortogonaliojo papildinio bazȩ;

\begin{matrix}u_{1} = (4, 1, 2, −3) , \\ u_{2} = (2, −2, 3, 5) . \end{matrix}

6. Apskaičiuokite aritmetinės erdvės R^{4} vektoriaus u projekcija̧ ir statmeni̧ i̧ vektoriu̧ sistemos u_{1}, u_{2}, ..., u_{m} tiesini̧ apvalkala̧ ⟨u_{1}, u_{2}, ..., u_{m}⟩ :

u_{1} = (1, −1, 2, 3) ,
u_{2} = (−1, 3, 1, 5) ,
u = (2, −3, 3, −3) .

7. Ar bus Euklido erdvės E poerdviu aibė {U = u ∈ E : (v, u) = a,čia v − fiksuotas vektorius,o a − fiksuotas skaičius}?

8. Polinomu̧ vektorinėje erdvėje M_{n} kuriuo nors būdu apibrėžta skaliarinė sandauga. I̧rodykite, kad Euklido erdvėje M_{n}egzistuoja ortogonali bazė, kurioje su kiekvienu sveiku skaičiumi k : 1 ≤ k ≤ n yra po viena̧ k - ojo laipsnio polinoma̧.

9. Tegu f_{0} (x) , f_{1} (x) , ..., f_{n} (x) ir g_{0} (x) , g_{1} (x) , ..., g_{n} (x) dvi bazės iš 17. I̧rodykite, kad, daugiausiai pakeitus numeracija̧, turėsime f_{i} = a_{i}g_{i} , a_{i} ∈ R.

10. Tegu e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} realiosios vektorinės erdvės V bazė. I̧rodyti, kad erdvėje V galima apibrėžti skaliarinȩ sandauga̧ taip, kad sistema e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} taptu̧ ortonormuota baze Euklido ervėje V.

11. Vektorinėje ervėje M_{n} apibrėžti skaliarinȩ sandauga̧ taip, kad polinomu̧

sistema 1, t, \frac{t^{2}}{2!}, ..., \frac{t^{n}}{n!} būtu̧ ortogonalia.

Apibrėžimas.Tegu L - Euklido erdvės E poerdvis. Su kiekvienu x∈E egzistuoja y∈L ir toks z⊥L, kad x=y+z. Čia y vadinamas ortogonalia̧ja projekcija, o z - statmeniu i̧ L.

12.-13. Raskite vektoriaus x ortogonalia̧ja̧ projekcija̧ ir statmeni̧ i̧ L. 12.a) x = (14, −3, −6, −7) ; L = ⟨(−3, 0, 7, 6) ; (1, 4, 3, 2) ; (2, 2, −2, −2)⟩ .

b) x = (2, −5, 3, 4) ; L = ⟨(1, 3, 3, 5) , (1, 3, −5, −3) , (1, −5, −3, −3)⟩ .

13. a) x = (−3, 0, −5, 9) , L = \{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) : \begin{matrix}3a_{1} + 2a_{2} + a_{3} − 2a_{4} = 0 \\ 5a_{1} + 4a_{2} + 3a_{3} + 2a_{4} = 0 \\ a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + 10a_{4} = 0 \end{matrix} \} .

b) x = (7, −4, −1, 2) , L = \{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) : \begin{matrix}2a_{1} + a_{2} + a_{3} + 3a_{4} = 0 \\ 3a_{1} + 2a_{2} + 2a_{3} + a_{4} = 0 \\ a_{1} + 2a_{2} + 2a_{3} − 4a_{4} = 0 \end{matrix} \} .

14. Euklido erdvėje i̧rodyti : x ⊥ y ⟺ ∥x − y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} .

15. Unitarioje erdvėje i̧rodyti : x ⊥ y ⟹ ∥x − y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} . Ar galioja atvirkštinis teiginys?

16. Unitarioje erdvėje i̧rodyti : x ⊥ y ⟺ ∥αx + βy∥^{2} = ∥αx∥^{2} + ∥βy∥^{2} su visais α, β ∈ C.

17. Unitarioje erdvėje i̧rodyti : ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2 ∥x∥^{2} + 2 ∥y∥^{2} .

18. I̧rodyti, kad bet kokiame Euklido erdvės E poerdvyje U galima parinkti ortonormuotas bazes e_{1}, ..., e_{k} ir f_{1}, ..., f_{k} taip, kad galiotu̧ : (e_{i}, f_{j}) = 0, i ≠ j ir (e_{i}, f_{i}) = 1.

Apibrėžimas. Kai E = U, tai bazės iš 27. vadinamos binormuotomis.

19. I̧rodyti, kad bet kokiai ortonormuotai Euklido erdvės bazei egzistuoja vienintėlė binormuota bazė .

20. Tegu e_{1}, ...e_{n} ir f_{1}, ..., f_{n} biortonormuotos bazės. I̧rodyti, kad ⟨e_{1}, ..., e_{k}⟩^{⊥} = ⟨f_{k+1}, ..., f_{n}⟩ su visais k.

21. Raskite biortonormuotas bazes bazei e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}.

a) e_{1} = (1, 0, 0, 0) , e_{2} = (0, 2, 0, 0) , e_{3} = (0, 0, 3, 0) , e_{4} = (0.0.0.4) .

b) e_{1} = (1, 0, 1, 0) , e_{2} = (0, 1, 2, 0) , e_{3} = (0, 0, 1, 0) , e_{4} = (0, 0, 3, 1) .

c) e_{1} = (1, 1, 1, 1) , e_{2} = (0, 1, 1, 1) , e_{3} = (0, 0, 1, 1) , e_{4} = (0, 0, 0, 1) .

d) e_{1} = (1, 1, 1, 1) , e_{2} = (1, 1, −1, −1) , e_{3} = (1, −1, 1, −1) , e_{4} = (1, −1, −1, 1) .

22. Raskite lygtis, kurios apibrėžia poerdvio L ortogonalu̧ji̧ papildini̧.

a) L = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : \begin{matrix}2x_{1} + x_{2} + 3x_{3} − x_{4} = 0 \\ 3x_{1} + 2x_{2} − 2x_{4} = 0 \\ 3x_{1} + x_{2} + 4x_{3} − x_{4} = 0 \end{matrix} \} .

b) L = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : \begin{matrix}2x_{1} − 3x_{2} + 4x_{3} − 4x_{4} = 0 \\ 3x_{1} − x_{2} + 11x_{3} − 13x_{4} = 0 \\ 4x_{1} + x_{2} + 18x_{3} − 23x_{4} = 0 \end{matrix} \} .

23. Tegu e_{1}, ..., e_{k} - orotnormuota sistema n-matėje Euklido erdvėje E. I̧rodykite,

kad ∑_{i=1}^{k} (u, e_{i}) ≤ ∥u∥^{2} , ∀u ∈ E.

Lygybė galima tada ir tik tada, kada k = n.