1. Tiesiniai atvaizdžiai ir operatoriai.

Operatoriaus matricos Žordano forma.

1.Raskite tiesini̧ operatoriu̧ A , kuriuo aritmetinės erdvės R^{3} bazės vektoriai u_{1}, u_{2}, u_{3} keičiami vektoriu̧ sistema v_{1}, v_{2}, v_{3} :

\begin{matrix}u_{1} = (1, 2, 1) , & v_{1} = (−3, 3, 6) , \\ u_{2} = (2, 1, −1) , & v_{2} = (−8, 4, 4) , \\ u_{3} = (−1, 1, 2) , & v_{3} = (5, 7, 2) . \end{matrix}

2. Aritmetinės erdvės R^{3} tiesinio operatoriaus A matrica bazėje u_{1}, u_{2}, u_{3} yra A . Raskite to operatoriaus matrica̧ A bazėje v_{1}, v_{2}, v_{3} :

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ −2 & 4 & 3 \end{matrix} ) , \begin{matrix}v_{1} = 2u_{1} + 3u_{2} − 3u_{3}, \\ v_{2} = −u_{1} + 4u_{2} − 2u_{3}, \\ v_{3} = −3u_{1} + 6u_{2} − 5u_{3}. \end{matrix}

3. I̧rodykite, kad matricu̧ ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) (∀a, b, c, d ∈ Q) daugyba iš kairės iš ma-

tricos A yra vektorinės erdvės Q_{2×2} virš kūno Q tiesinis operatorius ir raskite to operatoriaus matrica̧ bazėje u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} :

A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & −3 \end{matrix} ) , \begin{matrix}u_{1} = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , u_{2} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , \\ u_{3} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , u_{4} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) . \end{matrix}

4. Aritmetinės erdvės R^{3} tiesinio operatoriaus A matrica bazėje u_{1}, u_{2}, u_{3} yra A , o operatoriaus B matrica bazėje v_{1}, v_{2}, v_{3} yra B. Raskite operatoriaus BA matrica̧ bazėje v_{1}, v_{2}, v_{3} :

A = ( \begin{matrix}1 & −2 & 1 \\ 4 & 2 & −3 \\ 2 & −1 & 3 \end{matrix} ) , \begin{matrix}u_{1} = (3, −1, 2) , \\ u_{2} = (1, 2, 2) , \\ u_{3} = (−2, 3, 4) , \end{matrix}

B = ( \begin{matrix}−3 & 1 & 4 \\ −5 & −1 & 8 \\ 2 & 1 & −3 \end{matrix} ) , \begin{matrix}v_{1} = (11, −6, −6) , \\ v_{2} = (17, −8, −6) , \\ v_{3} = (9, −3, −2) . \end{matrix}

5. Aritmetinės erdvės R^{3} tiesinio operatoriaus A matrica bazėje u_{1}, u_{2}, u_{3} yra A , o operatoriaus B matrica bazėje v_{1}, v_{2}, v_{3} yra B. Raskite operatoriaus B + A matrica̧ bazėje u_{1}, u_{2}, u_{3} :

A = ( \begin{matrix}50 & 20 & −50 \\ −5 & −5 & 5 \\ 40 & 20 & −50 \end{matrix} ) , \begin{matrix}u_{1} = (4, −3, 3) , \\ u_{2} = (1, 1, 6) , \\ u_{3} = (4, −2, 5) , \end{matrix}

B = ( \begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 2 \end{matrix} ) , \begin{matrix}v_{1} = (2, 1, 3) , \\ v_{2} = (1, −1, 2) , \\ v_{3} = (0, 1, 2) . \end{matrix}

6. Raskite aritmetinės erdvės R^{n} tiesinio operatoriaus A vaizdo ir branduolio bazes, kai

A (u) = (2a_{1} − a_{2} − a_{3}, a_{1} + a_{2} + a_{3}, 4a_{1} + a_{2} + a_{3}) , čia u = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) .

7. Raskite aritmetinės erdvės R^{n} tiesinio operatoriaus A tikrines reikšmes ir

tikrinius vektorius, kai to operatoriaus matrica yra A = ( \begin{matrix}−22 & −10 & 19 \\ 10 & 6 & −8 \\ −26 & −10 & 23 \end{matrix} ) .

8. Raskite aritmetinės erdvės R^{n} tiesinio operatoriaus A , kurio matrica A , tikriniu̧ vektoriu̧ tiesinius apvalkalus:

A = ( \begin{matrix}−2 & 2 & −3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & −3 & 5 \end{matrix} ) .

9. Ar aritmetinės erdvės R^{n} tiesinio operatoriaus A , kurio matrica A , yra paprastosios struktūros operatorius:

A = ( \begin{matrix}1 & −2 & −2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \end{matrix} ) .

10. Sudarykite aritmetinės erdvės R^{n} bazȩ, kurioje tos erdvės tiesinis operatorius, apibrėžtas matrica A , turi diagonalinȩ matrica̧:

A = ( \begin{matrix}8 & 5 & 6 \\ −6 & −5 & −6 \\ −4 & −2 & −2 \end{matrix} ) .

11. Raskite aritmetinės erdvės R^{n} tiesinio operatoriaus A , kurio matrica A , dvimati̧ invariantini̧ poerdvi̧:

A = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & −2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) .

12. Užrašykite šias matricas Žordano forma:

A = ( \begin{matrix}7 & −16 & 20 \\ 2 & −5 & 8 \\ −1 & 2 & −1 \end{matrix} ) .

13. Užrašykite šias matricas Žordano forma ir parašykite Žordano bazes:

A = ( \begin{matrix}−4 & −38 & −51 \\ 2 & 17 & 22 \\ −1 & −6 & −6 \end{matrix} ) .

14. Kurios iš matricu̧ A, B ir C yra panašios:

A = ( \begin{matrix}12 & −9 & −36 \\ −7 & 10 & 28 \\ 4 & −4 & −13 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 4 & −4 \\ −2 & 7 & −4 \\ −1 & 2 & 1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}−2 & −10 & 5 \\ 2 & 7 & −2 \\ −1 & −2 & 4 \end{matrix} ) .

15. I̧rodykite, kad tiesinis atvaizdis tiesiškai priklausoma̧ sistema̧ atvaizduoja i̧ tiesiškai priklausoma̧ sistema̧.

16. Ar tiesinis atvaizdis tiesiškai nepriklausoma̧ sistema̧ atvaizduoja i̧ tiesiškai nepriklausoma̧ sistema̧? Ji ne, tai kurie tiesiniai atvaizdžiai tai daro?

17. Tegu V = V_{1} + V_{2}, o U = V_{1} ∩ V_{2}. A - tiesinis atvaizdis. Ar teisinga : AV = AV_{1} + AV_{2} ir AU = AV_{1} ∩ AV_{2}. Pateikite pavyzdi̧.

18. Pateikite pavyzdi̧: A : V → V , kad V ≠ ImA ⊕ KerA . 19.. Pateikite pavyzdi̧: A, B : M_{n} → M_{n} , kad ImA = ImB , KerA = KerB

, bet A ≠ B .

20. Tegu D : M_{n} → M_{n}, D (f) = f′ − diferencijavimo operatorius. Raskite ImD ir KerD.

21. Tegu H : M_{n} → M_{n}, H_{h} (f (t)) = \frac{f (t + h) − f (t)}{h} , čia h - fiksuotas. Raskite ImH ir KerH .

22. I̧rodykite, kad diferencijavimo operatorius D yra nilpotentinis, t.y. ∃q ∈ N : D^{q} = 0. Raskite nilindeksa̧ q .

23. Raskite diferencijavimo operatoriaus D :

a) tikrines reikšmes;

b) tikrinius vektorius;

c) minimalu̧ji̧ polinoma̧;

d) charakteristini̧ polinoma̧;

e) Žordano bazȩ ir matricos Žordano forma̧.

24. Raskite diferencijavimo operatoriaus H :

a) tikrines reikšmes;

b) tikrinius vektorius;

c) minimalu̧ji̧ polinoma̧;

d) charakteristini̧ polinoma̧;

e) Žordano bazȩ ir matricos Žordano forma̧.