1. Poerdviai.

1. Raskite aritmetinės erdvės R^{n} bazės u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} keitimo baze u′_{1}, u′_{2}, ..., u′_{n} matrica̧:

\begin{matrix}u_{1} = (1, 2, 1) , & u′_{1} = (3, −1, −1) , \\ u_{2} = (−2, 3, 2) , & u′_{2} = (0, −1, −4) , \\ u_{3} = (3, 2, −1) , & u′_{3} = (5, 5, −3) . \end{matrix}

2. Žinodami aritmetinės erdvės R^{n} vektoriaus u koordinates bazėje u_{1}, u_{2}, u_{3} apskaičiuokite jo koordinates bazėje u′_{1}, u′_{2}, u′_{3}

. \begin{aligned}[u] = (1, 2, −1) , & u′_{1} = 2u_{1} − u_{2} + 2u_{3}, \\ & u′_{2} = u_{1} + u_{3}, \\ & u′_{3} = u_{1} − 2u_{2} + 2u_{3}. \end{aligned}

3. Raskite poerdviu̧ ⟨u_{1}, u_{2}, ..., u_{k}⟩ ir ⟨u_{1}, u_{2}, ..., u_{m}⟩ sumos ir sankirtos dimensija̧, kai:

\begin{matrix}u_{1} = (1, −1, 0, 2) , & u′_{1} = (2, 8, 2, 4) , \\ u_{2} = (2, 3, 1, 4) , & u′_{2} = (5, 5, 2, 10) , \\ u_{3} = (0, 5, 1, 0) , & u′_{3} = (3, −3, 0, 6) . \end{matrix}

4. Raskite poerdviu̧ ⟨u_{1}, u_{2}, ..., u_{k}⟩ ir ⟨u_{1}, u_{2}, ..., u_{m}⟩ sumos ir sankirtos bazes, kai:

\begin{matrix}u_{1} = (2, 1, 3, 1) , & u′_{1} = (1, −1, 2, 1) , \\ u_{2} = (−1, 2, −4, 2) , & u′_{2} = (2, 0, 1, −3) , \\ u_{3} = (2, 3, −1, 0) , & u′_{3} = (−1, 0, 2, −2) . \end{matrix}

5. Tegu poerdviai U, V ⊂ R^{n} apibrėžti lygtimis x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n} = 0 ir x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n} = 0 atitinkamai. I̧rodykite, kad R^{n} = U ⊕ V ir raskite vienetiniu̧ vektoriu̧ projekcijas poerdviuose U (V atžvilgiu) ir V (U atžvilgiu ) .

6. Tegu ervėje R^{4} duoti poerdviai U = ⟨(1, 1, 1, 1) ; (−1, −2, 0, 1)⟩ ir V = ⟨(−1, −1, 1, −1) ; (2, 2, 0, 1)⟩ . I̧rodykite, kad R^{4} = U ⊕ V ir raskite vektoriaus (4, 2, 4, 4) projekcijas poerd-

viuose U (V atžvilgiu) ir V (U atžvilgiu ) . 7. Nurodykite kuria̧ nors bazȩ faktorerdvėje R^{4}/V .

1) V = ⟨(1, 1, 1, 1) ; (1, 2, 3, 4)⟩;

2) V = ⟨(1, −1, 2, −1) ; (1, 0, 0, 1) ; (1, 1, 1, 1)⟩ .

8. Tegu f_{1}, f_{2} ∈ K [x] , BDD(f_{1}, f_{2}) = 1, o deg f_{1} = m_{1}, deg f_{2} = m_{2}. I̧rodykite, kad

S = K_{m_{1}+m_{2}−1} [x] = S_{1} ⊕ S_{2},

čia S_{i} = {f ∈ S | polinomas f dalijasi iš f_{i}} , i = 1, 2.